Chuletas y apuntes de Matemáticas de Secundaria

Introducción a la Continuidad

Continuidad Lateral

Una función f es continua en un punto x=a si es continua por ambos lados, es decir, por la derecha y por la izquierda.

Tipos de Discontinuidad

Una función f es continua en un punto a cuando existen y coinciden el valor de f(a), el límite por la derecha lim_x→a⁺ f(x) y el límite por la izquierda lim_x→a^- f(x). Cuando esto no ocurre, la función f es discontinua y a cada caso se le atribuye un nombre:

• Discontinuidad Evitable

  Se da cuando existe el límite lim_x→a f(x) = L, pero f(a) no existe o f(a) ≠ L.

• Discontinuidad de Primera Especie (de Salto)

  Se da cuando existen los límites laterales, pero son distintos. Si los límites laterales existen y son finitos, pero distintos, la discontinuidad

Distancia entre dos puntos: d=√(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²

División de un Segmento en una Razón Dada

Si los extremos de un segmento son P₁(x₁,y₁,z₁) y P₂(x₂,y₂,z₂), las coordenadas P(x,y,z) que dividen este segmento en una razón *r* se hallan mediante:

P tal que P₁P/PP₂ = r

• x = (x₁ + r * x₂) / (1 + r)
• y = (y₁ + r * y₂) / (1 + r)
• z = (z₁ + r * z₂) / (1 + r)

P tal que P₂P/PP₁ = r

• x = (x₂ + r * x₁) / (1 + r)
• y = (y₂ + r * y₁) / (1 + r)
• z = (z₂ + r * z₁) / (1 + r)

Cosenos Directores

Cosenos directores de las rectas determinadas por los puntos P₁(x₁,y₁,z₁) y P₂(x₂,y₂,z₂) en el sentido de P₁ a P₂ son:

• cos α = (x₂ - x₁) / d
• cos β = (y₂ - y₁) / d
• cos δ = (z₂ - z₁)

ÁNGULOS

porción de plano limitado por 2 semirrectas secantes en su origen.

Dos ángulos son complementarios si la suma de amplitudes es 90°.

Dos ángulos son suplementarios si la suma de amplitudes es 180°.

TIPOS DE ÁNGULOS

Consecutivos: 2 ángulos que tienen solo un lado en común.

Adyacentes: Dos ángulos sí son consecutivos y sus lados no comunes son semirrectas opuestas. Son suplementarios

Op. vértice: si tienen vértice en común y lados de uno la semirrecta opuesta de lados del otro. Son congruentes.

Á. DETERMINADOS POR 2 RECTAS CORTADOS POR UNA SECANTE

Correspondientes: ángulos no adyacentes que están en un mismo semiplano respecto a recta secante uno interno y otro externo.

Alt. Internos: ángulos internos no adyacentes están en distintos... Continuar leyendo "Tipos de ángulos y sus características" »

Este documento explora las propiedades esenciales de la suma, resta, multiplicación y división, fundamentales para comprender el comportamiento de los números en las operaciones aritméticas.

Propiedades de la Suma

• Conmutativa: El orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.

  a + b = b + a
  Ejemplo: 2 + 17 = 17 + 2
           19     = 19
          

• Asociativa: El orden en que se agrupen los sumandos no cambia el resultado de la suma. En otras palabras, el orden en que se realicen las sumas no afecta el resultado final.

  (a + b) + c = a + (b + c)
  Ejemplo: (3 + 15) + 21 = 3 + (15 + 21)
           18     + 21 = 3 + 36
           39          = 39
          

• Elemento Neutro: El elemento neutro de una operación es aquel número que, al operarse

Estadística: métodos científicos por medio de los cuales podemos recolectar, organizar, resumir, presentar y analizar datos numéricos relativos a un conjunto de individuos u observaciones y que nos permiten extraer conclusiones válidas y efectuar decisiones lógicas basadas en dichos análisis.

Estadística descriptiva: el objetivo fundamental es lograr una síntesis lo más objetiva posible de la información recogida.

Estadística inferencial: nos permite predecir o estimar valores para un individuo o un grupo mayor y probar hipótesis.

Población: conjunto de observaciones recogidas en las unidades de un grupo de personas, objetos o ideas.

Muestra: cualquier subconjunto del universo o población, que debe ser siempre representativo.

Variable:

En una chocolatería hay 900 bombones envasados en cajas de 6 y 12 unidades. ¿Cuántas cajas hay de cada clase si en total tienen 125 cajas? N.º de cajas de 6 bombones: x N.º de cajas de 12 bombones: y.

 Por el desierto va una caravana formada por camellos y dromedarios, con un total de 440 patas y 160 jorobas. ¿Cuántos camellos y dromedarios hay en la caravana? (Recuerda que los camellos tienen dos jorobas y los dromedarios tienen una.) N.º de camellos: x N.º de dromedarios: y.

Pedro le dice a María: «Si cambias los billetes de 10 € que tienes por billetes de 5 € y los billetes de 5 € por billetes de 10 €, seguirás teniendo el mismo dinero». ¿Cuánto dinero tiene María, si en total son 20 billetes? N.º de billetes de... Continuar leyendo "Solo son dinero las monedas y los billetes" »

Galicia no Primeiro Terzo do Século XX

A Galicia de comezos do século XX seguía sendo un país esencialmente rural cun forte atraso económico. As capas superiores da sociedade correspondían á Igrexa e á fidalguía, que eran os propietarios da terra. O campesiñado, empobrecido, continuaba tendo que emigrar a América coma no século anterior.

A II República e o auxe cultural

O 14 de abril de 1931 ten lugar a instauración da Segunda República e comeza unha etapa de intensa actividade política e cultural. Esta etapa corresponderá co desenvolvemento do nacionalismo e cun extraordinario crecemento da literatura.

O Movemento Agrario ou Agrarismo

Trátase dun movemento reivindicativo do campesiñado, que se organiza e crea sociedades e sindicatos... Continuar leyendo "Galicia no Primeiro Terzo do Século XX: Sociedade e Cultura" »

PRIMERA EVALUACIÓN: 1. Dada la función real f(x):                         . A) Calcula el dominio de definición. B) Estudia la continuidad.
C) Estudia y clasifica los tipos de discontinuidad si los hubiese.

2. Se ha investigado el tiempo (T, en minutos) que se tarda en realizar una prueba de atletismo en función del tiempo de entrenamiento (x, en días) es:  a) Estudia la continuidad y derivabilidad de T(x) en x=30. B) ¿Algún deportista tardará más de 10 minutos en finalizar la prueba?

3. Se considera la función real de variable real definida por: f(x)= x^3+ax^2+bx; a, b   R a) ¿Qué valores deben tomar a y b para que f tenga un máximo relativo en el punto
P(1,4)? B) Para que a=-2 y b=-8, determínense los... Continuar leyendo "Cálculo Avanzado: Problemas de Continuidad, Optimización y Aplicaciones de Integrales" »

Funciones Lineales: y = mx + n

Afines: y = mx + n

Constantes: y = n

Lineales: y = mx

Para representar la función en una gráfica a partir de la ecuación:

1. Realizamos una tabla de valores.
2. Con los puntos obtenidos, dibujamos la gráfica.

Para hallar la ecuación teniendo la gráfica:

1. Buscamos dos puntos en la gráfica.
2. Calculamos la pendiente (m): (y2 - y1) / (x2 - x1).
3. Calculamos la ordenada al origen (n) escogiendo uno de los puntos y sustituyendo los valores de x, y, y m en la ecuación y = mx + n.
4. Escribimos la ecuación completa.

Para hallar la ecuación con los puntos de corte:

1. Primero, encontramos el punto de corte con el eje x (donde y = 0).
2. Luego, encontramos el punto de corte con el eje y (donde x = 0).

Funciones Cuadráticas

Características

CONCEPTOS Geométricos 

Circulo: Es una figura geométrica plana delimitada por una línea curva llamada circunferencia

Características 

1. centro: es un punto ubicado en la parte media de la figura
2. tiene un diámetro: es una línea recta que une dos vértices opiuestos de la circunferencia, pasando por el centro de la figura 
3. radio: segmento que une el centro con cualquier parte de loa circunferencia 

una ecuación es una igualdad que relaciona incógnitas con términos independientes, en las que el objetivo es encontrar el valor de la incógnita termino (algebraico)

las ecuaciones de segundo grado son aquellas que cuentan con dos o tres términos el que no puede faltar es el termino cuadrático. Todas las ecuaciones deberán estar igualadas a... Continuar leyendo "ecuaciones" »