Chuletas y apuntes de Matemáticas de Primaria

Problema 2.34: Arreglos de Personas en una Fila

a) Formación de 6 personas para abordar un autobús

Solución

Este es un problema de permutaciones de 6 elementos distintos. Cuando se trata de formar personas en una fila, el orden es importante. Aplicando el Teorema 2.3 de Permutaciones (o el concepto de factorial para la disposición de n elementos distintos), el número de maneras posibles es:

6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 maneras.

b) 3 personas específicas insisten en estar una después de la otra

Solución

Si 3 personas específicas (llamémoslas A, B, C) insisten en estar una después de la otra, podemos tratarlas como un único bloque o unidad. Las otras 3 personas (D, E, F) son individuos separados.

1. Primero, consideramos las 3 personas

Conceptos Fundamentales del Cálculo: Derivada e Integral

Definición de Derivada de una Función en un Punto $x_0$

Sea una función $f$ definida al menos en un intervalo abierto $(a,b)$, y sea $x_0$ un punto perteneciente a dicho intervalo.

Sea $h$ un incremento positivo o negativo del punto $x_0$, de modo que $x_0 + h$ pertenezca también al dominio $(a,b)$.

Formamos el cociente incremental:

$$\frac{f(x_0+h) – f(x_0)}{h}; \quad h \neq 0$$

El numerador y el denominador representan los incrementos de la variable dependiente y de la variable independiente, respectivamente. Este cociente representa la "variación media" de la función $f$ cuando $x$ varía de $x_0$ a $x_0+h$.

Cálculo de la Derivada

Luego, estudiamos el límite de dicho cociente cuando... Continuar leyendo "Fundamentos del Cálculo Diferencial e Integral: Derivadas y Técnicas de Integración" »

1. Problema de Cinemática: Carrera de Autos (Jairo y Pedro)

La aceleración instantánea ($a$) se define como la segunda derivada de la distancia ($x$) respecto al tiempo ($t$):

$$ \frac{d^2 x}{dt^2} = a $$

Integrando a ambos lados respecto a $t$, y considerando $a$ como una constante (cte), obtenemos la velocidad instantánea ($v$):

$$ v = \frac{dx}{dt} = at + c $$

Al inicio de la carrera, como ambos corredores parten del reposo, en $t=0$, $v=0$. Por lo tanto, $c=0$.

Integrando nuevamente respecto a $t$, se obtiene la posición:

$$ x = \frac{1}{2} at^2 + c_1 $$

En $t=0$, la posición inicial $x=0$, por lo que $c_1 = 0$. Así, la ecuación general de posición para los corredores es:

$$ X = \frac{1}{2} at^2 \quad \text{o} \quad t = \sqrt{\frac{... Continuar leyendo "Resolución Detallada de Problemas de Cinemática y Ecuaciones Diferenciales" »

Problemas Resueltos con Ecuaciones Diferenciales

2.2.23: Problema de Mezclas

Un tanque contiene 400 litros de agua y 2 kg de sal. Se introduce una solución con una concentración de 0.3 kg/L de sal a una tasa de 10 L/min. Simultáneamente, la mezcla sale del tanque a la misma tasa. ¿Cuál es la masa de sal en el tanque después de 10 minutos?

La tasa de cambio de la cantidad de sal en el tanque, A(t), se describe por la ecuación:

(dA/dt) = rapidez de entrada de sal - rapidez de salida de sal

Rapidez de entrada de sal:

ReCe = (10 L/min) * (0.3 kg/L) = 3 kg/min

El volumen en el tanque es constante, V = 400 L.

La concentración de sal en la solución que sale es:

Cs = A(t) / V = A(t) / 400 kg/L

Rapidez de salida de sal:

RsCs = (10 L/min) * (A(t) / 400... Continuar leyendo "Resolución de Problemas de Mezclas, Interés Compuesto y Carreras con Ecuaciones Diferenciales" »

Supuestos de la Regresión Múltiple

El modelo de regresión múltiple requiere el cumplimiento de un conjunto de supuestos previos. Sin ellos, la interpretación de los resultados puede ser considerablemente errónea. Estos supuestos son:

1. Linealidad

La linealidad se refiere a que la relación entre la variable criterio (dependiente) y las variables pronosticadoras (independientes) se ajusta, en promedio, a una línea recta. Representa el grado en que el cambio esperado en la variable criterio asociado a un cambio unitario en una variable pronosticadora es constante a lo largo del rango de valores de dicha variable pronosticadora. La linealidad se examina con facilidad mediante el estudio de la distribución de los residuos frente a los valores... Continuar leyendo "Supuestos Fundamentales y Extracción en Regresión Múltiple" »

Introducción a la Dinámica de Sistemas Mecánicos

Este documento presenta la resolución de varios problemas relacionados con la dinámica de sistemas mecánicos, utilizando el formalismo de Lagrange para derivar las ecuaciones de movimiento y determinar características vibratorias como frecuencias naturales y coeficientes de amortiguamiento. Se abordan diferentes configuraciones de sistemas, incluyendo barras, ruedas y combinaciones de masa-resorte-amortiguador.

1. Sistema de Barra con Múltiples Restricciones

Se considera un sistema de barra con restricciones en sus extremos, donde se busca obtener la ecuación de movimiento utilizando el desplazamiento vertical u(t) del punto G como coordenada generalizada, bajo la hipótesis de pequeños... Continuar leyendo "Modelado y Solución de Problemas de Vibraciones Mecánicas" »

Introducción al Método de Correspondencias

El método de correspondencias es una técnica relativamente nueva. Su formulación y desarrollo matemático se debe a Jean-Paul Benzecri.

Definición y Propósito

El método de correspondencias es un intento de extender el análisis factorial al tratamiento de variables categóricas.

Se trata de reducir el volumen de datos, con la menor pérdida posible de información (al igual que en el análisis factorial).

También, el método de correspondencias es una técnica de interdependencia, ya que no existen variables explicativas y variables a explicar.

Al igual que en el análisis factorial, se trata de analizar el sistema de interrelaciones entre las categorías de las variables.

En el método de correspondencias,... Continuar leyendo "Método de Correspondencias: Visualización y Reducción Dimensional de Datos Categóricos" »

Conceptos Fundamentales de Ángulos

• Ángulo cóncavo: Su amplitud es mayor que 180° y menor que 360°.
• Ángulo convexo: Su amplitud es menor que 180°.
• Ángulos complementarios: La suma de sus amplitudes es igual a 90°.
• Ángulos suplementarios: La suma de sus amplitudes es igual a 180°.
• Ángulos adyacentes: Tienen un lado en común y los otros dos lados son semirrectas opuestas. Son suplementarios.
• Ángulos opuestos por el vértice: Sus lados son semirrectas opuestas, y son iguales.
• Ángulos correspondientes: Son iguales y deben cumplir con la condición de ser uno interno y otro externo, encontrándose sobre la misma región de la transversal (derecha o izquierda).
• Ángulos alternos: Son ángulos iguales que deben cumplir con la condición de ser