Chuletas y apuntes de Matemáticas

Competencia Perfecta

Obtención de Variables de Equilibrio a Largo Plazo (LP)

Equilibrio LP: P = CMg

1. 1- Calcular CMg y CTMe.
2. 2- Igualar CMg y CTMe.
3. 3- Sustituir q en el CMg.
4. 4- Sustituir P en la demanda.
5. 5- Calcular el número de empresas en la industria: n = (valor del paso 4) / (valor de q del paso 2).
6. 6- Calcular los beneficios: B = P * Q - CT (con los valores de q).

Cálculo de Variables de Equilibrio a Corto Plazo (CP) con Caída de la Demanda

1. 1- Calcular la oferta de la empresa (qs): qs -> P = CMg (calculado en el apartado 1).
2. 2- Calcular la oferta de la industria (Qs): Qs = n (calculado en el apartado 5) * qs. Ejemplo: Qs = 100P - 200.
3. 3- Igualar Qs = Qd para encontrar el nuevo equilibrio.
4. 4- Sustituir P en Qs para obtener Q. Ejemplo: Q(P del

Tipus de Funcions

Funcions Racionals

Definició: Les funcions racionals són aquelles l'expressió algebraica de les quals és un quocient de polinomis del tipus: F(x) = P(x)/Q(x), amb Q(x) ≠ 0.

Funció de Proporcionalitat Inversa

Definició: És una funció racional del tipus F(x) = K/x, amb K ≠ 0. La seva gràfica és una hipèrbola.

Funcions Exponencials

Les funcions exponencials més senzilles són del tipus F(x) = a^x, en què 'a' és un nombre real positiu (a > 0) i diferent d'1 (a ≠ 1).

Característiques de les Funcions Exponencials

• Domini: Tots els nombres reals (ℝ).
• Recorregut: (0, +∞). La 'y' sempre pren valors positius.
• Sempre passa pel punt (0,1).
• Si a > 1, la funció és creixent.
• Si 0 < a < 1, la funció és decreixent.

Gerra Hotzaren Ezaugarriak

Blokeen Ezaugarriak

• Mendebaldeko blokea: Sistema politiko demokratikoa, ekonomia kapitalista eta ideologia liberala.
• Bloke komunista: Sistema politiko totalitarioa, ekonomia planifikatua eta ideologia marxista.

Elkarren Aurkako Erabilera

• Armamentu-norgehiagoka etengabea, batez ere armategi nuklearrari dagokionez.
• Propaganda ideologikoa.
• Subertsioa eta aurkako blokearen espioitza, zerbitzu sekretuen bidez (CIA eta KGB).
• Eragin-eremuen mugatzea, desadostasunik gabe.
• Presio politiko eta ekonomikoak, bai estatu aliatuei, bai aurkako blokekoei.
• Tokiko gerrak, lurraldeak hedatzeko.

Gerra Hotzeko Gertakari Garrantzitsuak

Marshall Plana (1948)

AEBek sortutako diru-laguntza programa, Europako herrialde kapitalisten ekonomia suspertzeko.... Continuar leyendo "Gerra Hotza: Ezaugarriak, Gertakariak eta Ondorioak" »

Estadística Descriptiva

Definiciones y Cálculos

• Xi: Valor de la variable estadística.
• fi: Frecuencia absoluta (número de veces que se repite Xi).
• Fi: Frecuencia absoluta acumulada (sumatorio de fi).
• hi: Frecuencia relativa (fi dividido por el número total de datos).
• Hi: Frecuencia relativa acumulada (sumatorio de hi).
• Pi: Porcentaje (hi multiplicado por 100).
• xifi: Producto de Xi por fi.

Cálculo de la Moda

La moda se determina identificando el valor de Xi que corresponde al valor más alto de fi.

Cálculo de la Mediana

Para calcular la mediana, se divide el número total de datos entre 2. Se busca este valor (o el siguiente superior) en la columna Fi. El valor de Xi correspondiente es la mediana. Si el valor coincide exactamente con un valor en... Continuar leyendo "Estadística Descriptiva y Ecología: Conceptos Clave" »

Definición de Perpendicularidad

Dos **rectas p y q** son perpendiculares cuando se cortan formando **ángulos iguales**, que se denominan **ángulos rectos**.

Mediatriz de un Segmento

La **mediatriz m** del segmento **AB** es la recta **perpendicular** al segmento que pasa por su **punto medio**.

Todo punto **P** perteneciente a la mediatriz **equidista** de los extremos **A** y **B** del segmento, cumpliendo: **PA = PB**. Esto indica que el **lugar geométrico** de los puntos del plano que equidistan de dos puntos fijos **A** y **B** es la recta **m**, mediatriz del segmento **AB** definido por dichos puntos.

Construcción de la Mediatriz de un Segmento AB

Para dibujar la mediatriz, seguimos los siguientes pasos:

1. Dibujamos dos puntos **P y Q** que

Cinética Química: Velocidad de Reacción

La velocidad de reacción en función de la conversión se define como: (-r_A) = C_A0 · k · (1 - X_A)

• -r_A = C_A0 · dX_A/dt = -dC_A/dt
• k(T) = A₀ · exp(-E_a / (R · T))
• R = 8,314 J/mol·K = 1,982 cal
• A₀ = Factor de frecuencia
• ln(k₁/k₂) = (E_a/R) · (1/T₂ - 1/T₁) (T en Kelvin)

Interpretación Gráfica

• Orden 1: Si se grafica ln(C_A0/C_A) vs t, la pendiente es k = y/x.
• Energía de Activación: ln(k) = ln(k₀) - (E_a/R) · (1/T). La pendiente m = -E_a/R.

Método Integral y Diferencial

Método Integral

Se utiliza t(min), X_A, C_A, donde X_A = 1 - (P_A/P_A0) y k₁ = r_A / C_Aⁿ.

• Orden 0 (A → B): (-r_A) = k → (C_A0 - C_A) = k · t → C_A0 · X_A = k · t
• Orden 1 (A → B): (-r_A) = k · C_A → ln(C_A0/C_A) = k · t → -ln(1 - X_A) = k · t
• Orden

Identidades Trigonométricas Fundamentales

Suma y Diferencia de Ángulos

• Seno de la suma: sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β
• Coseno de la suma: cos(α + β) = cos α cos β − sen α sen β
• Tangente de la suma: tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 − tan α tan β)
• Nota: Las fórmulas para la diferencia (α - β) se obtienen sustituyendo β por -β y usando las identidades de ángulos negativos.

Ángulo Doble

• Seno del ángulo doble: sen(2α) = 2 sen α cos α
• Coseno del ángulo doble: cos(2α) = cos²α − sen²α
• Tangente del ángulo doble: tan(2α) = (2 tan α) / (1 − tan²α)

Ángulo Mitad

• Seno del ángulo mitad: sen(α/2) = ±√[(1 − cos α) / 2]
• Coseno del ángulo mitad: cos(α/2) = ±√[(1 + cos α) / 2]
• Nota: El signo ± depende

Números Primos y Potenciación

Números primos menores a 100: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Un número es primo si la suma de sus cifras no es múltiplo de 3.

Reglas de Potenciación

• mⁿ = b: Si la base es positiva, el resultado es positivo.
• (-m)ⁿ = +b: Si la base es negativa y el exponente es un número par, el resultado es positivo.
• (-m)ⁿ = -b: Si la base es negativa y el exponente es un número impar, el resultado es negativo.

Potenciación de números decimales

• 1.1² = 1.21
• 0.4² = 0.16
• 0.03² = 0.0009
• 0.2³ = 0.008

Criterios de Divisibilidad

Criterio de divisibilidad por 2

Un número es divisible por 2 si termina en cero o cifra par.

Ejemplos: 24, 238, 1024.

Criterio de divisibilidad por

Prueba T: Interpretación y Aplicaciones

La Prueba T es una herramienta estadística utilizada para sacar conclusiones sobre la importancia de la gestión económica y otros factores, en función de si los individuos están o no en una determinada condición. A continuación, se detallan los pasos para su interpretación y los tipos de variables requeridas.

Interpretación de la Prueba T

Para interpretar los resultados de una Prueba T, se deben considerar los siguientes puntos:

• Importancia de la primera tabla: La segunda tabla muestra un grado de significación para la prueba de Levene sobre la igualdad de varianzas de 0.654, que es mayor que 0.05. Por lo tanto, se acepta la hipótesis nula (H₀). Esto implica que la significación bilateral para