Chuletas y apuntes de Matemáticas

Teorema (Taylor):

Sea f : A ⊆ R → R una función con derivadas continuas de orden n en un entorno Ea,r, siendo a un punto interior de A.

Entonces, para cada x ∈ Ea,r, se cumple: f (x) = f (a)+f´(a)(x −a)+ 1/2f´´(a)(x-a)² +. . .+1/n!. F⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ+Rn(x). Donde lımx→aRn(x)/(x − a)ⁿ= 0

Primitiva:

Definici ́on: Si f : A ⊆ R → R es una función continua e I un intervalo contenido en A, se dice que F es una primitiva de f en I si se cumple que F´(x)=f (x) ∀x ∈ I.

Integraci ́on por partes:

Teorema: Si f , g : [a, b] → R son funciones con derivada continua entonces: S_a^bf´(x)g(x)dx = f (b)g(b) − f (a)g(a) −S_a^bf (x)g´(x)dx

Teorema fundamental del C ́alculo Integral:

Teorema:Si f : [a, b] → R es continua entonces F : F(...

Introducción a las Estructuras Matemáticas

El estudio de las secuencias matemáticas y los patrones numéricos constituye una de las bases fundamentales del álgebra moderna. A través de la formalización de expresiones algebraicas, es posible descomponer sistemas complejos en elementos comprensibles.

Componentes y Notación

En este documento se analizan diversas disposiciones de caracteres que simulan estructuras de datos y matrices formales. El uso de variables como [Gp], [HS], y [kf] permite modelar relaciones abstractas.

Progresiones y Sucesiones

Las sucesiones representadas mediante corchetes y operadores reflejan cómo los valores numéricos interactúan bajo reglas predefinidas. Observa los siguientes bloques de código estructurado:

• Sistemas

Desarrollo de la Encuesta

Penetración / Repetición / Consumo / Desarrollo / Afinidad.

Desarrollo de las Cuestiones

Tipo de encuesta: enc, contenido, concreto, orden, estético, prueba, difuso.

Tipos de Preguntas

• Libertad de elección: abiertas (abi), cerradas (cerr).
• Cantidad: única (unic), múltiple (multip), dicotómica (dicotomi).
• Finalidad: filtro, cuerpo, censal.
• Forma de la pregunta: directa, indirecta.

Medición de la Actitud

Rankings, ratings, clasificación y selección.

Escalas de Actitud

• Simple (2 puntos).
• Likert (5 puntos).
• Diferencial semántico (7 puntos).
• Numérica.

Muestreo

Muestreo Aleatorio / Representativo

• Simple
• Sistemático
• Estratificado
• Por conglomerados

Muestreo No Aleatorio

• Por conveniencia
• Por juicio
• Bola de nieve
• Por cuotas

Parámetros Estadísticos

• N:

Integración por sustitución

∫₀¹ 2x eˣ² dx

u = x² ⇒ du = 2x dx; x = 0 → u = 0, x = 1 → u = 1

∫₀¹ eᵘ du = [eᵘ]₀¹ = e¹ − e⁰ = e − 1

∫₀^(π/2) sin x cos x dx

u = sin x, du = cos x dx

[u²/2]₀¹ = 1/2

I = ∫₀¹ x / (x² + 1)² dx

Sustitución: u = x² + 1 → du = 2x dx → x dx = 1/2 du

Límites: x = 0 → u = 1; x = 1 → u = 2

Cálculo: 1/2 ∫₁² u⁻² du = 1/2 [u⁻¹ / (−1)]₁² = 1/2 (−1/2 + 1)

Resultado: 1/4

∫₀¹ x³ eˣ⁴ dx (con u = x⁴)

Sustitución: u = x⁴ → du = 4x³ dx → x³ dx = 1/4 du

Límites: x = 0 → u = 0; x = 1 → u = 1

Cálculo: 1/4 ∫₀¹ eᵘ du = 1/4 [eᵘ]₀¹ = 1/4 (e − 1)

Resultado: (e − 1)/4

∫₀^(π/4) tan x sec² x dx

Sustitución: u = tan x → du = sec² x...

Cálculo de Vigas de Hormigón Armado

Viga de un tramo

Cálculo de V° de 1 solo tramo:

Análisis de cargas

Análisis de cargas D y L | DL1 y DL2 | Reacciones: RDL1, luz L1/2 - RDL2, luz L2/2 | RLL1 y RLL2

HyD: h/20 | D: h - cc - Øest - ØL/2 | ADC: RDL1 + RDL2 + Pprop | V° (h·b·25 kN/m³) = kN/m | RLL1 + RLL2 = kN/m

Combinaciones de carga (CCD)

U = 1,2·D + 1,6·L | U = 1,4·D = kN/m

Solicitación: M_máx U = U·luz²/8 | V_a = V_b = U·L/2

Dimensionamiento: M_n = M_u/0,90 | k_d = d/√(M_n/b) | Armadura: A_st = k_e·M_n/d

Viga de un tramo, armadura doble

Dimensionamiento: k_d = d/√(M_n/b) | k_d/k_d' últ. num. | e = d'/d | A_st = k_e·M_n/d | A_sc = k'_e·M_n/d

Viga de dos tramos

Combinaciones y solicitaciones

ACD: U = 1,2·D + 1,6·L ; U = 1,4·D = kN/m

Solicitaciones:...

Salario año t en € de año s: ( salario año t/ IPCt )* IPCs

IPCt: (coste cesta año t/ coste cesta año b) *100

qA=qA(PA,POB,Y,G,Z); q=q(P,t,r,N) 

Si dda:
Dcha: ↑p↑q ; izq: ↓p↓q / Si ofer: dcha:↓p↑q ; izq: ↑p↓q 

ep=-(V% q dda/ V% p) ; Epo=(V% q ofer/V% p)=(dq/dp)*(p/q)

FUO: Completitud, reflexividad, transitividad, no saturac(decre), cont, convex estr, suavidad.

RMS²/¹:u1/u2 = dq2/dq1 / ejemplo de q1½*q2½ = q2/q1

*RMS²/¹:u1/u2 = p1/p2 ; *p1q1+p2q2=Y  

Variable endógena:q1,q2 ; Variable exógena:p1,p1,Y

FDM: q2=q2(p1,p2,Y) ; q1=q1(p1,p2,Y)-->Curva Engel:q1=q1(Y) ; Curva dda ordinaria de q1: q1=q1(p1) ; Curva dda Cruzada de q1: q1=q1(p2) ; Curva dda cruzada q2: q2=q2(p1)

FDG homog grado 0: t⁰*q1(p1,p2,Y)

Elasticidad: EYqi=...

Ejercicios de Bonos

Value of a coupon rate plain vanilla: PV = Cupón / (1 + YTM) + ... + (Cupón + 100) / (1 + YTM)^n.

Duration = suma de las respuestas por separado del PV multiplicado por su respectivo año, dividido entre el total del PV.

Modified duration = Duration / (1 + YTM)

Total annual return

¿Cuánto vale mi cupón ahora?

Si lo reinviertes al x%, ¿cuánto vale? = Cupón × (1 + % al que lo inviertes)

¿Cuánto vale el bono cuando se vende en n años?

Cupón + 100 / YTM (que vendes), y se escribe 1,0... y después el YTM.

Sumas todo lo que has recibido:

Lo reinvertido + cupón o cupones + venta del bono.

Total return = (Valor final / Valor inicial)^(1/n) − 1

Modified duration y convexidad

ΔP ≈ (−MD × diferencia YTM) + ((1/2) × Convexidad

U.8 Cálculo y diseño de intercambiadores de calor de carcasa y tubos

P.1 Intercambiador de calor de carcasa y tubos (1 paso por carcasa y 2 pasos por tubos)

Se pide el número de tubos, el paso de tubo y la longitud de paso.

1. Caudal de agua fría

Q = m_c · h_lv

m_f = m_c · h_lv / c_pf / (t_fs − t_fe)

2. Número de tubos

n = 4 · m_f / (π · d_i² · ρ_f · u_f)

N_t = ceil(n)

3. Recalculamos la velocidad

u_f1 = 4 · n_f / (ρ_f · π · d_i² · n_t)

4. Longitud de tubo y número de pasos

Re_f = ρ_f · u_f1 · d_i / μ_f

5. Ecuación de Dittus-Boelter

h_i = k_f · 0,023 · Re_f^4/5 · Pr_f^0,4 / d_i

U_o = 1 / (d_o/d_i/h_i + d_o · ln(d_o/d_i)/(2K) + 1/h_o)

C_f = n_f · c_pf

C_min = C_f

C_r = 0

Q_max = C_min · (t_sat − t_fL)

ε = Q / Q_max

6. Cálculo del NTU

NTU = −ln(1 − ε)

A = NTU · C_min /...

Arco de curva tangente a dos rectas con radio conocido

Distancia y acimut

Ω = Os − Oe

Distancia entre tangentes: dist tangentes = R × tan(Ω/2)

Coordenadas de las tangentes con la distancia anterior.

Longitud del arco: arco = (π × R × Ω) / 200

Número de puntos kilométricos (PK)

Nº PK = a / ai

Todos los PK = ...

a = PK actual − PK anterior

Ω = (a × 200) / (R × π)

c = 2 × π × sen(Ω/2)

Oc = Oe ± (Ω/2)

Bisectriz

c = 2 × R × sen(Ω/4)

Oc = Oe ± (Ω/4)

PK B

pk B = a/2 + pk que teden

a = (π × R × Ω) / 200

Curva circular que pasa por dos puntos conocidos y acimut de la tangente en uno de ellos

Acimut y distancia AB

c = distancia AB

Ω = (Ota − Oab) × 2

R = c / (2 × sen(Ω/2))

a = (Ω × π × R) / 200

Oao = Ota − 100

Coordenadas de O = distancia...

Programa en C/C++: Verificación de Vector Capicúa y Sumas Condicionales

El siguiente programa implementa un menú interactivo en consola para trabajar con vectores (arreglos unidimensionales). Permite ingresar elementos, verificar si la estructura es capicúa (simétrica o palíndroma), sumar los valores pares y sumar aquellos elementos ubicados en índices impares.

Código Fuente Corregido

#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>

// Función para cargar los datos en el vector
void cargar(int vector[100], int &dim) {
    int i;
    printf("Introduce la dimensión del vector: ");
    scanf("%i", &dim);
    for (i = 1; i <= dim; i++) {
        printf("Introduce el elemento %i: ", i);
        scanf("%i", &vector[i]);