Chuletas y apuntes de Matemáticas

Ejercicios de Cálculo Multivariable

Ejercicio 1: Estudio de la Diferenciabilidad

Consigna: Estudie la diferenciabilidad de f(x, y) definida como:

• f(x, y) = x + (x * y²) / (x² + y²) si (x, y) ≠ (0, 0)
• f(0, 0) = 0

Solución paso a paso:

• Estudio de la Continuidad en (0, 0): Calculamos el límite de f(x, y) cuando (x, y) → (0, 0). El término (x * y²) / (x² + y²) se puede escribir como x * [y² / (x² + y²)]. Como 0 ≤ y² / (x² + y²) ≤ 1, el término entre corchetes está acotado. El producto de una función que tiende a 0 por una función acotada tiende a 0. Por lo tanto, f es continua en (0, 0).
• Cálculo de Derivadas Parciales en (0, 0):
  • fₓ(0, 0) = 1
  • fᵧ(0, 0) = 0
• Prueba de Diferenciabilidad: Al evaluar el límite del resto mediante

BLOQUE 1: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) de Primer Orden (con y')

TIPO A: Variables Separables

• ¿Cómo identificarlo?: Puedes dejar todas las 'y' multiplicando con su 'dy' en un lado, y todas las 'x' (o 't') multiplicando con su 'dx' en el otro.
• Pasos para resolverlo:
  1. Escribe y' como (dy/dx).
  2. Pasa todo lo que tenga 'y' al lado izquierdo junto al 'dy', y todo lo que tenga 'x' al lado derecho junto al 'dx'. Deben quedar multiplicando, nunca sumando abajo.
  3. Integra ambos lados por separado: ∫ f(y) dy = ∫ g(x) dx.
  4. Pon la constante "+ C" en un solo lado (normalmente en el de la x).
  5. Si el problema lo permite, despeja la 'y' para dejar la solución explícita.

TIPO B: Lineales de Primer Orden (Método del depósito)

• ¿Cómo identificarlo?: Hay

1. Introducción a la Estadística

La estadística es la ciencia que se encarga de organizar, resumir y analizar datos para facilitar la toma de decisiones informadas.

Ramas de la Estadística

• Estadística Descriptiva: Se enfoca en resumir y describir las características de un conjunto de datos (por ejemplo, el promedio de edades en una clase).
• Estadística Inferencial: Se dedica a sacar conclusiones y generalizaciones para toda una población a partir del estudio de una muestra (por ejemplo, las proyecciones de encuestas políticas).

Conceptos Fundamentales

• Población (N): Representa la totalidad de los elementos a estudiar (ejemplo: todos los alumnos de un liceo).
• Muestra (n): Es una parte representativa de la población (ejemplo: 30 alumnos seleccionados

¿Qué se entiende por juego de suma cero?

Juego de suma cero: Es un escenario donde los agentes compiten entre sí y el total de ganancias y pérdidas entre los agentes es constante; la ganancia de uno es la pérdida del otro. Un ejemplo es el ajedrez, porque si un jugador gana, el otro pierde y no hay posibilidad de un beneficio mutuo.

¿Cómo se define un estado en un CSP?

Un estado se define por una asignación de valores a algunas o todas las variables. Las asignaciones pueden clasificarse como:

Tipos de asignación

• Asignación legal: Es un estado donde la asignación no viola ninguna restricción.
• Asignación completa: Es aquella en la que se asigna cada variable; una solución a un CSP es una asignación consistente y completa.
• Asignación

Conceptos Fundamentales de Estadística Descriptiva

Tipos de Datos y Frecuencias

Datos unidimensionales

Son aquellos que hacen referencia a una característica independiente de las restantes, que podríamos observar en un conjunto de objetos o individuos de estudio. Ejemplos: hombres y mujeres entrevistados; libros leídos por persona.

Datos bidimensionales

Son aquellos que hacen referencia simultáneamente a dos características de un conjunto de objetos o individuos de estudio. Ejemplo: el sexo que lee más.

Distribución de frecuencia

Es la forma tradicional de organizar información referente a una característica de un conjunto de sujetos u objetos. También se conoce con el nombre de tabla de frecuencias.

Frecuencia absoluta

Indica el número... Continuar leyendo "Conceptos Clave de Estadística: Frecuencias, Datos y Gráficos" »

Ciclos Económicos y Caracterización de Variables

Los Ciclos Económicos son las fluctuaciones cíclicas de la actividad económica, entendidas como las oscilaciones recurrentes de la economía. Estas se caracterizan por una fase de expansión (tasa de crecimiento positiva, donde la serie se mueve desde la máxima desviación negativa hasta la máxima desviación positiva), seguida de una fase de recesión (tasa de crecimiento negativa), seguida a su vez de expansión, y así sucesivamente.

Medición de la Relación Cíclica de Variables

Para caracterizar un indicador económico respecto al Producto Interno Bruto (PIB), se evalúan tres dimensiones clave:

1. Sensibilidad de Respuesta o Amplitud (Volatilidad)

Este indicador compara la amplitud de... Continuar leyendo "Fundamentos de Macroeconomía: Ciclos Económicos, Volatilidad y Expectativas Racionales" »

Tipus de Funcions Matemàtiques: Guia Completa

Funció Real de Variable Real

Una funció real, f, de variable real és una relació que associa a cada nombre real, x, un únic nombre real, y = f(x). Es pot expressar d'aquesta manera: f: R → R, on x ↦ y = f(x). La variable x s'anomena variable independent i la variable y és la variable dependent.

Domini i Recorregut d'una Funció

Donada una funció f: R → R tal que y = f(x):

• El domini de la funció és el conjunt dels valors per als quals la funció està definida. Es representa amb Dom f.
• El recorregut de la funció és el conjunt de valors que agafa la funció. Es representa amb Im f.

Funcions Polinòmiques

Funcions Polinòmiques de Primer Grau (Funcions Afins)

S'anomenen funcions afins i són... Continuar leyendo "Tipus de Funcions Matemàtiques: Guia Completa i Característiques" »

¿Qué es la probabilidad?

Rama de las matemáticas que estudia los fenómenos con incertidumbre

Orígenes:

Siglo XVI en Francia, No hay muchos términos estandarizados

Teoría de la probabilidad:

Estudia modelos deterministas, cuando no se pueden realizar simplificaciones para conocer con precisión el resultado se utilizan modelos aleatorios

Experimento:

Cualquier procedimiento capaz de generar resultados observables

Exp. Determinista:

Al repetirse bajo las mismas condiciones da el mismo resultado

Exp. Aleatorio:

Al repetirse bajo las mismas condiciones da distintos resultados. Se clasifican en:
Discretos (resultados exactos, puntuales y contables. Ej. Num de personas que cruzan la puerta), Continuos (los resultados son cualquier valor dentro de un... Continuar leyendo "Fundamentos Esenciales de la Probabilidad: Conceptos y Aplicaciones Matemáticas" »

1. Teorema Central del Límite

Consideremos un **conjunto de variables aleatorias** X₁, X₂, ..., Xn, independientes y todas ellas con la misma distribución, de media **μ** y varianza **σ²**. Entonces, si n ≥ 30 (tamaño de muestra suficientemente grande), la variable de la media muestral (X̄) sigue una distribución **Normal** N(μ, σ²/n).

2. Nivel de Significación en Contraste de Hipótesis

¿Qué mide el **nivel de significación** de un contraste de hipótesis? Mide la **probabilidad máxima** de cometer un **error de Tipo I**, es decir, rechazar la hipótesis nula (H₀) cuando esta es verdadera. Representa el **riesgo** que el investigador asume al tomar la decisión de rechazar H₀.

3. Influencia del Tamaño de la Muestra en