Chuletas y apuntes de Matemáticas

Circumferència i Cercle

Circumferència: És una corba plana i tancada, els punts de la qual equidisten d'un punt interior anomenat centre. Constitueix el lloc geomètric dels infinits punts que equidisten una distància igual al radi d'un altre punt que anomenem centre.

Cercle: És la superfície plana limitada per una circumferència. El centre i el radi coincideixen amb els de la circumferència.

Angles de la Circumferència

Angle Central

Vèrtex al centre; el seu valor és el de l'arc que intercepta.

Angle Inscrit

Vèrtex sobre la circumferència; costats, les cordes; el seu valor és la meitat de l'angle central corresponent.

Angle Semiinscrit

Vèrtex sobre la circumferència; costats, una corda i una tangent; el seu valor és la meitat de l'angle...

#include <iostream>
#include "Aleatori.h"
#include <time.h>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#define SUMA 0
#define RESTA 1
#define MULTIPLICACIO 2
#define DIVISIO 3
#define FACIL 1
#define MIG 2
#define DIFICIL 3
#define MULTIPLICADOR_FACIL 8
#define MULTIPLICADOR_MIG 10
#define MULTIPLICADOR_DIFICIL 12
using namespace std;

// Declaració de variables.
int dificultat, operacio, Operand1, Operand2, opmax;
int comptadorEncerts, puntsOperacio, punts, multiplicador;
double resultat, resposta;
resultat = 0; resposta = 0; // (resultat = resposta)
int min, max;
bool error;
// srand((unsigned)time(NULL));
comptadorEncerts = 0;
punts = 0;

cout << "Benvingut al Brain Training Game! Si us plau, selecciona una dificultat:" << endl <<...

Implementación del Método de Cholesky en C++

A continuación, se presenta la estructura de clases y el código en C++ para llevar a cabo la factorización y resolución de matrices mediante el método numérico de Cholesky.

Código Fuente

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <math.h>

using namespace std;

class LuyCho { private: double l11, l12, l13, l21, l22, l23, l31, l32, l33, d1, d2, d3, x1, x2, x3, fila, columna; public: void metodo(); };

void LuyCho::metodo() { double matriz[5][5]; cout << "Digite el número de columnas" << endl; cin >> columna; cout << "Digite el número de filas" << endl; cin >> fila; int i, j;

for(i = 1; i <= fila; i++)
{
    for(j = 1; j <= columna;

Lectura de los datos

d <- read.table("C:\\File\\...\\Data.txt", header=TRUE)

Datos centrados y reducidos

ds <- scale(d, center=TRUE, scale=TRUE)

Rango de la matriz

library(matrixcalc)

matrix.rank(var(ds))

Dimensión de la matriz

dim(d)

Matriz de varianzas y covarianzas

s <- var(ds)

Traza

traza_s <- sum(diag(s))

Cálculo de valores y vectores propios

ds.ei <- eigen(s)

Valores y vectores propios redondeados a 4 decimales

ds.val <- round(ds.ei$values, 4)

ds.vec <- round(ds.ei$vectors, 4)

Proporción de la varianza explicada y varianza acumulada

pro.var <- round((ds.val/traza_s)*100, 4)

pro.var.cum <- round(cumsum(pro.var), 4)

Componentes principales o proyección de los individuos en los vectores propios

pci <- ds %*% ds.vec

Correlación

Glosario de términos matemáticos

Abscisa (coordenada X). Distancia desde un punto al eje Y en un sistema de coordenadas X y. Sus números de un par ordenado con los que se representan las coordenadas de un punto en el plano.

Aceleración. Relación entre el cambio de velocidad de un móvil y el cambio de tiempo registrado.

Acotado. Que tiene límites.

Ángulo. Amplitud de rotación de una semirrecta. El punto de rotación se llama vértice.

Aproximación. Acercamiento o estimación de un valor dado.

Área. La medida, en unidades cuadradas, de una superficie o región.

Binomio. Expresión algebraica de dos términos.

Binomios conjugados. Dos binomios con términos iguales que poseen entre sí signos contrarios. Ejemplo: (a + b) y (a − b).

Cilindro.

Áreas y volúmenes

Áreas: Aesf: 4πr² = πD² — Vesf: 4/3·πr³ — Acil: πDL — Vcil = πLr²

Etanol

C = Cmin/Cmax = 0; NTU = UA/Cmin, sacamos ε, sacamos Qmax con Tce y Tfe, sacamos Q con Qmax y ε, con Q sacamos Tsc = 79.81 ºC y metanol con Q = ṁ·Hfg, ṁ = 0.03 kg/s.

Radiación

Eb = σT⁴ — superficie irradiada Q = 0 — R₁ = (1 - ε₁)/(A₁·ε₁) — R₁₂ = 1/(A₁·F₁₂) (ambos ejes).

Dos esferas

1 pequeña; F₁₁ + F₁₂ = 1; F₁₂ = 1 — A₁·F₁₂ = A₂·F₂₁; sacamos F₂₁, Q₁₂ = (J₁ - J₂)/(r₁ + r₁₂ + r₂), sacamos Q₁₂ = Q₁ = -Q₂; Qconv = h·A₂·(T₂ - Tamb), sacamos h.

Triángulo

1 normal; 2 y 3 aislados y negros; calculamos J₁, J₂, J₃, σT⁴. F₁₂ = F₁₃ =...

Unidade didáctica 7: Construción e instalacións

Construción e instalacións das vivendas. Resumo

O proxecto de construción

Para que sexa posible a construción dun edificio é precisa a intervención de moitas persoas con diferentes niveis de cualificación: profesionais técnicos para elaborar o proxecto e dirixir a execución da obra, e traballadores cualificados de todos os oficios que interveñen nela. Para que cada un saiba o que ten que facer e como executalo é imprescindible a elaboración do proxecto de construción.

O proxecto de construción dun edificio é o conxunto de documentos nos que se reflicten os cálculos e traballos a realizar para a construción dun edificio, incluíndo a verificación do cumprimento da normativa urbanística,...

Ejercicios de Cálculo Multivariable

Ejercicio 1: Estudio de la Diferenciabilidad

Consigna: Estudie la diferenciabilidad de f(x, y) definida como:

• f(x, y) = x + (x * y²) / (x² + y²) si (x, y) ≠ (0, 0)
• f(0, 0) = 0

Solución paso a paso:

• Estudio de la Continuidad en (0, 0): Calculamos el límite de f(x, y) cuando (x, y) → (0, 0). El término (x * y²) / (x² + y²) se puede escribir como x * [y² / (x² + y²)]. Como 0 ≤ y² / (x² + y²) ≤ 1, el término entre corchetes está acotado. El producto de una función que tiende a 0 por una función acotada tiende a 0. Por lo tanto, f es continua en (0, 0).
• Cálculo de Derivadas Parciales en (0, 0):
  • fₓ(0, 0) = 1
  • fᵧ(0, 0) = 0
• Prueba de Diferenciabilidad: Al evaluar el límite del resto mediante

Polinomio de Taylor y Límites

Dada la función: f(x) = e^(-2x) + ∫₀^(x²) e^(t²) dt

(a) Calcule el polinomio de Taylor de orden 2 de f en 0

Evaluamos f(0): f(0) = e⁰ + ∫₀⁰ e^(t²) dt = 1 + 0 = 1

Calculamos la primera derivada f'(x): Por el Teorema Fundamental del Cálculo y la regla de la cadena: d/dx [ ∫₀^(x²) e^(t²) dt ] = e^((x²)²) · d/dx(x²) = 2x · e^(x⁴). Por lo tanto: f'(x) = -2 e^(-2x) + 2x e^(x⁴). Evaluando en x = 0: f'(0) = -2 e⁰ + 2(0) e⁰ = -2 + 0 = -2.

Calculamos la segunda derivada f''(x): f''(x) = d/dx [ -2 e^(-2x) + 2x e^(x⁴) ] = 4 e^(-2x) + 2 e^(x⁴) + 2x (4x³ e^(x⁴)) = 4 e^(-2x) + 2 e^(x⁴) + 8x⁴ e^(x⁴). Evaluando en x = 0: f''(0) = 4(1) + 2(1) + 0 = 6.

Construimos el Polinomio de Taylor