Resolución de Ecuaciones Diferenciales: Métodos de Primer y Segundo Orden

BLOQUE 1: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) de Primer Orden (con y')

TIPO A: Variables Separables

• ¿Cómo identificarlo?: Puedes dejar todas las 'y' multiplicando con su 'dy' en un lado, y todas las 'x' (o 't') multiplicando con su 'dx' en el otro.
• Pasos para resolverlo:
  1. Escribe y' como (dy/dx).
  2. Pasa todo lo que tenga 'y' al lado izquierdo junto al 'dy', y todo lo que tenga 'x' al lado derecho junto al 'dx'. Deben quedar multiplicando, nunca sumando abajo.
  3. Integra ambos lados por separado: ∫ f(y) dy = ∫ g(x) dx.
  4. Pon la constante "+ C" en un solo lado (normalmente en el de la x).
  5. Si el problema lo permite, despeja la 'y' para dejar la solución explícita.

TIPO B: Lineales de Primer Orden (Método del depósito)

• ¿Cómo identificarlo?: Hay sumas o restas que te impiden separar las variables, pero cumple la estructura: y' + P(x)*y = Q(x).
  Nota: La y' debe estar sola. Si tiene algo delante, divide toda la ecuación por ese término antes de empezar.
• Pasos para resolverlo (Usando la derivada del producto):
  1. Identifica claramente quién es P(x) y quién es Q(x).
  2. Calcula el Factor Integrante, μ(x):
     μ(x) = e^( ∫ P(x) dx )
     Regla de oro: Si la integral te da un logaritmo, ej: ln(x^-5), simplifica usando e^(ln(f(x))) = f(x) antes de seguir.
  3. Multiplica toda tu ecuación estándar por μ(x):
     μ(x)*y' + μ(x)*P(x)*y = μ(x)*Q(x)
  4. Compacta el lado izquierdo usando la fórmula de la derivada del producto:
     d/dx [ μ(x) * y ] = μ(x) * Q(x)
  5. Integra ambos lados respecto a x para quitar la derivada de la izquierda:
     μ(x) * y = ∫ ( μ(x) * Q(x) dx )
  6. Resuelve la integral de la derecha, añade el "+ C" al final y despeja la 'y' pasando μ(x) dividiendo al otro lado.

TIPO C: Trayectorias Ortogonales

• Pasos para resolverlo:
  1. Deriva la familia de curvas original de forma implícita y elimina la constante 'C' despejándola o combinando ecuaciones. Así obtienes la EDO original.
  2. Condición de perpendicularidad: Cambia la y' por (-1 / y'), o lo que es lo mismo, cambia (dy/dx) por (-dx/dy).
  3. Resuelve la nueva EDO (suele salir por variables separables o por homogéneas haciendo el cambio y = u*x).

BLOQUE 2: EDO Lineales de Segundo Orden — Ejercicios 62 al 72

Estructura general: a*y'' + b*y' + c*y = f(x). La solución final siempre será: y = y_h + y_p.

PASO 1: Encontrar la Solución Homogénea (y_h)

Iguala la ecuación a cero (a*y'' + b*y' + c*y = 0) y escribe su ecuación característica:
a*r² + b*r + c = 0
Resuelve con la fórmula de la ecuación de segundo grado. Dependiendo del resultado aplicas uno de estos 3 casos:

• Caso 1: Dos raíces reales distintas (r1 ≠ r2):
  y_h = C1 * e^(r1*x) + C2 * e^(r2*x)
• Caso 2: Una única raíz real doble (r1 = r2 = r):
  y_h = C1 * e^(r*x) + C2 * x * e^(r*x)
  (¡Obligatorio meter la 'x' en el segundo término para que no sean iguales!).
• Caso 3: Raíces complejas conjugadas (r = α ± βi):
  y_h = e^(α*x) * [ C1 * cos(β*x) + C2 * sen(β*x) ]
  Donde 'α' es la parte real y 'β' es el número que acompaña a la 'i' (sin signo e indicando valor positivo).

PASO 2: Encontrar la Solución Particular (y_p)

Mira qué función hay a la derecha del igual, f(x), y propone una y_p con la misma forma usando constantes (A, B, C...):

• Si f(x) es un polinomio de grado 2 (ej: x²): Propón y_p = A*x² + B*x + C
• Si f(x) es una exponencial (ej: e^(3x)): Propón y_p = A * e^(3x)
• Si f(x) es un seno o coseno (ej: cos(2x)): Propón ambos juntos -> y_p = A*cos(2x) + B*sen(2x)

ALERTA DE RESONANCIA: Compara los términos de tu propuesta y_p con los de tu y_h. Si alguno se repite, el método fallará. Solución: Multiplica toda tu propuesta y_p por 'x' (o por 'x²' si la raíz era doble) antes de derivar.

Para terminar y_p:

1. Deriva tu propuesta para tener y_p' e y_p''.
2. Sustituye y_p, y_p' e y_p'' en la ecuación original con f(x).
3. Agrupa los términos e iguala los coeficientes de ambos lados de la ecuación para montar un sistema.
4. Resuelve el sistema para hallar los valores exactos de las letras (A, B...) y sustitúyelos en tu y_p.

BLOQUE 3: Métodos Numéricos (Aproximaciones) — Ejercicios 73 al 79

TIPO A: Integración Numérica (Áreas del tipo ∫ de a hasta b de f(x)dx)

Te darán un número de subdivisiones (N). Calcula primero el paso de avance:
h = (b - a) / N
Monta los puntos de tu intervalo: x_0 = a, x_1 = a + h, x_2 = a + 2h... hasta x_N = b.

1. Fórmula de los Trapecios:
   Área = (h / 2) * [ f(x_0) + 2*f(x_1) + 2*f(x_2) + ... + 2*f(x_N-1) + f(x_N) ]
   (Mnemotecnia: El primero y el último van multiplicados por 1; todos los del medio van multiplicados por 2).
2. Fórmula de Simpson (Obligatorio que N sea un número par):
   Área = (h / 3) * [ f(x_0) + 4*f(x_1) + 2*f(x_2) + 4*f(x_3) + ... + 4*f(x_N-1) + f(x_N) ]
   (Mnemotecnia: El primero y el último van solos. Los puntos con subíndice impar se multiplican por 4, y los de subíndice par se multiplican por 2).

TIPO B: Resolución Numérica de EDOs (Método de Euler)

Te dan y' = f(x,y), una condición inicial (x_0, y_0) y un tamaño de paso 'h'. Fórmulas para avanzar paso a paso:

• x_(n+1) = x_n + h
• y_(n+1) = y_n + h * f(x_n, y_n)

Pasos para la tabla:

1. Calcula la pendiente actual evaluando tu función: y'_n = f(x_n, y_n).
2. Calcula la nueva y_(n+1) haciendo: y_actual + h * y'_n.
3. Avanza la x haciendo: x_actual + h.
4. Repite el proceso tantas veces como pasos te pida el problema para llegar al punto deseado.

Consideraciones Importantes

1. PROHIBIDO LOGARITMOS EN SUMAS: Jamás apliques ln() a ambos lados si hay sumas involucradas. ln(A + B) NO ES ln(A) + ln(B).
2. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN: Para hacer ∫ ( x * e^(x²) dx ), necesitas un 2 dentro de la integral (la derivada de x²). Pon el 2 dentro multiplicando y saca un 1/2 fuera dividiendo. Te queda: (1/2) * e^(x²).
3. ORDEN EN LOS PVI: En problemas con condiciones iniciales (como y(0)=1), NUNCA busques C1 y C2 usando solo la solución homogénea si la ecuación es completa. Saca primero la solución total (y = y_h + y_p), luego calcula su derivada (y'), y solo al final del todo sustituyes los datos de las condiciones para montar el sistema de ecuaciones.

Ejemplos Prácticos Resueltos

1. TIPO: MEZCLAS EN DEPÓSITOS (Lineal de Primer Orden)

Enunciado tipo: Tanque con 50L iniciales (10% alcohol). Entran 4 L/min al 50%. Salen 5 L/min. Ecuación: y' + [salida/V(t)]*y = entrada_pura

• V_inicial = 50
• Entra = 4 L/min al 50% alcohol -> Entrada_pura = 4 * 0.5 = 2
• Sale = 5 L/min -> V(t) = 50 + (4 - 5)*t = 50 - t
• Condición inicial: y(0) = 50 * 0.10 = 5

PLANTEO DE LA EDO ESTÁNDAR: y' + (5 / (50 - t)) * y = 2

RESOLUCIÓN PLANTILLA:

1. Factor integrante (μ):
   μ(t) = e^( ∫ (5 / (50 - t) dt) ) = e^( -5 * ln(50 - t) ) = (50 - t)^-5 = 1 / (50 - t)⁵
2. Aplicar derivada del producto:
   d/dt [ y / (50 - t)⁵ ] = 2 / (50 - t)⁵
3. Integrar ambos lados:
   y / (50 - t)⁵ = ∫ ( 2 * (50 - t)⁻⁵ dt )
   y / (50 - t)⁵ = 2 * [ (50 - t)⁻⁴ / (-4) * (-1) ] + C
   y / (50 - t)⁵ = 1 / (2 * (50 - t)⁴) + C
4. Despejar Solución General:
   y(t) = (50 - t) / 2 + C * (50 - t)⁵
5. Cazar constante C con y(0) = 5:
   5 = 50 / 2 + C * (50)⁵
   5 = 25 + C * (50)⁵ --> -20 = C * (50)⁵ --> C = -20 / (50⁵)
6. Solución Particular Final:
   y(t) = (50 - t) / 2 - 20 * [ (50 - t) / 50 ]⁵

2. EJEMPLO TIPO: SEGUNDO ORDEN COMPLETA CON RAÍCES COMPLEJAS Y PVI

Ecuación tipo: y'' - 4y' + 13y = 0 con y(0) = -1, y'(0) = 2

RESOLUCIÓN PLANTILLA:

1. Ecuación característica:
   1*r² - 4*r + 13 = 0
   r = [ 4 ± √( (-4)² - 4*1*13 ) ] / 2
   r = [ 4 ± √( 16 - 52 ) ] / 2 = [ 4 ± √(-36) ] / 2
   r = [ 4 ± 6i ] / 2 --> r = 2 ± 3i (α = 2, β = 3)
2. Escribir Solución General:
   y(x) = e^(2x) * [ C1 * cos(3x) + C2 * sen(3x) ]
3. Derivar la Solución General (Regla del producto):
   y'(x) = 2*e^(2x) * [ C1*cos(3x) + C2*sen(3x) ] + e^(2x) * [ -3*C1*sen(3x) + 3*C2*cos(3x) ]
4. Sistema para buscar C1 y C2:
   Usando y(0) = -1:
   -1 = e⁰ * [ C1 * cos(0) + C2 * sen(0) ] --> -1 = 1 * [ C1 * 1 + 0 ] --> C1 = -1
   
   Usando y'(0) = 2 (sabiendo que C1 = -1):
   2 = 2*e⁰ * [ (-1)*1 + 0 ] + e⁰ * [ 0 + 3*C2*1 ]
   2 = 2 * (-1) + 3*C2
   2 = -2 + 3*C2 --> 4 = 3*C2 --> C2 = 4/3
5. Solución Particular Final:
   y(x) = e^(2x) * [ -cos(3x) + (4/3) * sen(3x) ]

3. SEGUNDO ORDEN CON FUERZA DERECHA (Búsqueda de y_p)

Ecuación tipo: y'' + y' - 2y = x²

1. Solución Homogénea (y_h):
   r² + r - 2 = 0 --> (r - 1)*(r + 2) = 0 --> r1 = 1, r2 = -2
   y_h = C1 * e^(1x) + C2 * e^(-2x)
2. Proponer y_p según el lado derecho (Polinomio Grado 2):
   y_p = A*x² + B*x + C
   y_p' = 2*A*x + B
   y_p'' = 2*A
3. Sustituir en la EDO original ( y'' + y' - 2y = x² ):
   (2*A) + (2*A*x + B) - 2*(A*x² + B*x + C) = x²
   -2*A*x² + (2*A - 2*B)*x + (2*A + B - 2*C) = 1*x² + 0*x + 0
4. Sistema de coeficientes:
   Grado 2: -2*A = 1 --> A = -1/2
   Grado 1: 2*A - 2*B = 0 --> 2*(-1/2) = 2*B --> B = -1/2
   Grado 0: 2*A + B - 2*C = 0 --> 2*(-1/2) + (-1/2) - 2*C = 0 --> -1 - 1/2 = 2*C --> C = -3/4
5. Solución Total (y = y_h + y_p):
   y(x) = C1*e^x + C2*e^(-2x) - (1/2)*x² - (1/2)*x - 3/4

4. TIPO: RESOLUCIÓN NUMÉRICA POR MÉTODO DE EULER

Enunciado tipo: Resolver y' = 2y + 3x, con inicial y(1) = 3, usando paso h = 0.5. Buscar y(2).

• DATOS INICIALES: x_0 = 1, y_0 = 3, h = 0.5
  Función pendiente: f(x,y) = 2y + 3x
• ITERACIÓN 1 (Para buscar x_1 y y_1):
  Pendiente actual: y'_0 = 2*(y_0) + 3*(x_0) = 2*(3) + 3*(1) = 6 + 3 = 9
  Siguiente x: x_1 = x_0 + h = 1 + 0.5 = 1.5
  Siguiente y: y_1 = y_0 + h * y'_0 = 3 + 0.5 * 9 = 3 + 4.5 = 7.5
• ITERACIÓN 2 (Para buscar x_2 y y_2):
  Pendiente actual: y'_1 = 2*(y_1) + 3*(x_1) = 2*(7.5) + 3*(1.5) = 15 + 4.5 = 19.5
  Siguiente x: x_2 = x_1 + h = 1.5 + 0.5 = 2.0 (¡Llegamos al objetivo!)
  Siguiente y: y_2 = y_1 + h * y'_1 = 7.5 + 0.5 * 19.5 = 7.5 + 9.75 = 17.25

RESULTADO FINAL: y(2) ≈ 17.25