Conceptos Clave de Cálculo Diferencial: Derivadas, Teoremas y Asíntotas
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Estudio de Funciones y Derivadas
- Máximos o mínimos: f'(x) = 0
- Puntos de inflexión (concavidad o convexidad): f''(x) = 0
Cálculo de Asíntotas
- Asíntota Vertical (A.V.): lim f(x) (x → excepción al dominio) = ∞. (Siempre realizar límites laterales si existen).
- Asíntota Horizontal (A.H.): lim f(x) (x → ±∞) = número.
- Asíntota Oblicua (A.O.):
- lim f(x) (x → ∞) / x = m (en cruz).
- lim f(x) (x → ∞) [f(x) - m · x] = n.
- Grado del numerador mayor que el denominador: El límite tiende a ∞.
Recta Tangente
La ecuación de la recta tangente es: y - y₀ = m · (x - x₀)
Demostración de Intersección entre Funciones
Si se pide demostrar que f(x) y g(x) se cortan en un punto: se igualan, se pasa todo a un lado y se iguala a 0. Se busca un intervalo sustituyendo valores hasta obtener dos resultados con distinto signo. Se sustituye el valor c donde aparezca la x para obtener f(c).
Teoremas Fundamentales
Teorema de Bolzano
Sea f(x) una función continua en [a, b] y que cumpla que el signo de f(a) es distinto al signo de f(b), entonces existe al menos un valor c perteneciente al intervalo (a, b) que cumple que f(c) = 0.
Teorema de Rolle
: Si una función es continua y derivable en un intervalo y toma valores iguales en sus extremos, existe un punto donde la derivada primera se anula. Entonces, existe un punto c que pertenece (a,b) tal que f´(c) = 0 , es decir, con tangente horizontal.
Teorema de L’Hopital:Sean f y g dos funcionescontinuas definidas en el intervalo [a,b], derivables en (a,b) y sea c perteneciente a (a,b) tal que f(c)=g(c)=0 y g'(x)≠0 si x≠c. Si existe el límite L de f'/g' en c, entonces existe el límite de f/g (en c) y es igual a L.
Teorema de Weierstrass: Si una función f es continua en un intervalo compacto (cerrado y acotado) {\displaystyle [a,b]}entonces hay a
Pasos para optimización: Se saca función que queremos optimizar SUELE SER EL AREA // Con los datos que nos dan sacamos otra función que relacione x e y // Se despeja x o y y se mete en el paso 1, se deriva y se iguala a 0. Se despeja la X y se pone en intervalo esa X para ver si es máx. o mín.
Funcion evitable -> Limites laterales distintos
Funcion inevitable -> Limite lateral = infinito, o no existe f(x))