Geometria Analítica: Rectes i Circumferències en el Pla

Equacions de la recta en el pla

Per a un punt P(x₀, y₀) i un punt qualsevol de la recta, definim el vector director de la recta com v = (vₓ, vᵧ), el qual és paral·lel a la mateixa. Les formes d'expressar la recta són:

• Equació vectorial: (x, y) = (x₀, y₀) + k(vₓ, vᵧ)
• Equacions paramètriques: x = x₀ + k · vₓ; y = y₀ + k · vᵧ
• Equació contínua: (x - x₀) / vₓ = (y - y₀) / vᵧ
• Equació general o implícita: Ax + By + C = 0
• Equació explícita: y = mx + n (on m és el pendent i n l'ordenada a l'origen)
• Equació canònica: x/p + y/n = 1

Posicions relatives entre dues rectes

Donades dues rectes expressades com Ax + By + C = 0 i ax + by + c = 0:

• Rectes incidents: Si A/a ≠ B/b, les rectes es tallen en un punt.
• Rectes paral·leles: Si A/a = B/b ≠ C/c.
• Rectes coincidents: Si A/a = B/b = C/c.

Perpendicularitat i angles

La perpendicularitat de rectes es compleix quan el producte dels seus pendents és m · m' = -1. En termes de vectors, el producte escalar de dos vectors perpendiculars és nul: u · v = 0.

L'angle de dues rectes es calcula mitjançant la fórmula: u · v = |u| · |v| · cos(α), d'on s'extreu que α = arccos((u · v) / (|u| · |v|)).

Càlcul de distàncies en el pla

• Distància entre dos punts: d(P, P') = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
• Distància d'un punt a una recta: d(P, r) = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
• Distància entre dues rectes: Si són paral·leles, es busca un punt qualsevol d'una d'elles i es calcula la distància d'aquest punt a l'altra recta.

La circumferència i altres llocs geomètrics

Sigui P(x, y) un punt de la circumferència i C(a, b) el seu centre. L'equació ordinària és (x - a)² + (y - b)² = r², que es pot desenvolupar com x² + y² + mx + ny + p = 0, on:

• m = -2a
• n = -2b
• p = a² + b² - r²

Posicions relatives i tangències

Per a una circumferència tangent a una recta, busquem la distància de la recta al centre, que serà igual al radi, per trobar l'equació. Les posicions relatives de rectes i circumferències són:

• Secant: Dos punts en comú.
• Tangent: Un punt en comú.
• Exterior: Cap punt en comú.

Posicions relatives de dues circumferències

• Secants: Dos punts en comú.
• Tangents exteriors: 1 punt i d(C, c) = r₁ + r₂.
• Tangents interiors: 1 punt i d(C, c) ≠ r₁ + r₂.
• Interiors: Cap punt i d(C, c) ≤ r₁ + r₂.
• Exteriors: Cap punt i d(C, c) > r₁ + r₂.

Recta tangent, potència i eix radical

Per trobar la recta tangent a una circumferència en un punt P on es tallen: trobem el centre C, busquem la recta que passa per P i C, i finalment trobem la perpendicular a aquesta recta.

Punt i circumferència

• El punt P pertany si d(C, P) = r.
• El punt P és interior si d(C, P) < r.
• El punt P és exterior si d(C, P) > r.

La potència d'un punt respecte d'una circumferència es defineix com p = d² - r²:

• Si d > r (p > 0), el punt és exterior.
• Si d < r (p < 0), el punt és interior.
• Si d = r (p = 0), el punt pertany a la circumferència.

Eix i centre radical

L'eix radical de dues circumferències s'obté de la diferència de les seves equacions: (M - m)x + (N - n)y + P - p = 0. El centre radical de tres circumferències s'obtindrà com el punt d'intersecció entre dos eixos radicals.