Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Anàlisi de la Funció F(x) = (x²+x)²

A) Domini i Punts de Tall

El domini de la funció F(x) = (x²+x)² és tot el conjunt dels nombres reals (Dom = R), ja que és una funció polinòmica.

Punts de Tall

• Amb l'eix de les x (y=0):

0 = x⁴ + 2x³ + x²

0 = x²(x² + 2x + 1)

0 = x²(x + 1)²

Les solucions són x = 0 i x = -1.

Per tant, els punts de tall amb l'eix de les x són (-1, 0) i (0, 0).

F(0) = (0² + 0)² = 0

El punt de tall amb l'eix de les y és (0, 0).

B) Asimptotes

Com que la funció és polinòmica, no té asimptotes.

C) Derivada i Punts Crítics

La funció és F(x) = x⁴ + 2x³ + x².

La seva primera derivada és F'(x) = 4x³ + 6x² + 2x.

Per trobar els punts crítics, igualem la derivada a zero:

F'(x) = 0 → 4x³... Continuar leyendo "Anàlisi de Funcions Matemàtiques: Domini, Punts de Tall, Derivades i Continuïtat" »

Dominio de una Función

Punto de Acumulación

Un punto x = a es un punto de acumulación del dominio de una función si todo entorno de centro a contiene elementos del dominio de la función, distintos de a. No es necesario que a pertenezca al dominio de la función.

Punto Aislado

Un punto x = a es un punto aislado del dominio de una función si existe algún entorno de centro a en el cual el único punto del dominio de la función es a.

Continuidad de una Función

Continuidad en un Punto de Acumulación

Si f es una función, a pertenece al dominio de f y a es un punto de acumulación del dominio de f: f es continua en x = a si: . Una función no es continua en un punto de acumulación de su dominio si no está definida en el punto, no existe el... Continuar leyendo "Dominios, Derivadas e Integrales de Funciones" »

Estadística

Estadística: Es la rama de las matemáticas que se encarga de recopilar, organizar y procesar datos con el fin de inferir las características de la población objetivo.

Tipos de estadística

Descriptiva: Es la técnica que se encarga de la recopilación, presentación, tratamiento y análisis de los datos, con el objeto de resumirlos, por lo general en gráficas y tablas.

Inferencia: Saca conclusiones o generalizaciones acerca de parámetros de una población basándose en el estadígrafo o estadígrafos de una muestra de población.

Universo y variable

Universo: Conjunto finito o infinito de todos los posibles individuos que cumplen ciertas propiedades.

Variable: Una característica que asume valores; es el objetivo de estudio.

Tipos

Solucionari (Lozano / Nunes)

Opció A: Text de Josep Lozano, Crim de germania, València, Tres i Quatre, 1981, p. 188-189.

Tema:

La necessitat s’imposa per damunt de la por i de les normes/ La crueltat/ La repressió/ La pobresa i la necessitat de robar/ La intolerància religiosa

Parts bàsiques del text:

• Primera part: marc general de l’acció
• Segona part: la història es focalitza sobre el cos penjat (sensacions negatives)
• Tercera part: la història es focalitza sobre el cos penjat (sensacions positives)
• Quarta part: desenllaç de la narració

Cinc exemples de recursos expressius de caràcter literari presents al text:

Text literari, fonamentalment narratiu i descriptiu. Presenta l’estructura de plantejament, nuc i desenllaç de l’acció. S’organitza... Continuar leyendo "Anàlisi literària: Crim de germania" »

Propiedades y Significados de Medidas de Tendencia Central

1. Propiedades de la Media Aritmética

• Intervienen todos los valores del conjunto de datos.
• Es un número comprendido entre el máximo y el mínimo de los datos.
• Puede tener un valor distinto a los valores de la variable.
• Es sensible a los valores atípicos (outliers).
• Es sensible al cambio de origen: si se suma o resta una constante a todos los valores, la media también se suma o resta esa constante.
• Es sensible al cambio de escala: si se multiplican o dividen todos los valores por una constante, la media también se multiplica o divide por esa constante.
• La suma de las desviaciones de los datos respecto a la media es igual a 0.
• Hay que tener en cuenta los valores nulos en su cálculo.
• La media

Conceptos Fundamentales de Probabilidad

Definiciones Clave

• Experimento: Se clasifica en:
  • Determinista: Su resultado se conoce de antemano.
  • Aleatorio: Su resultado no se puede predecir antes de realizarlo.
• Suceso elemental: Cada uno de los posibles resultados individuales de un experimento.

  Ejemplos: (cara) o (sello) al lanzar una moneda; (1), (2), (3), etc., al lanzar un dado.

• Espacio muestral (E): Conjunto formado por todos los sucesos elementales posibles.
  • Ejemplo Moneda: E = {cara, sello}
  • Ejemplo Dado: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Suceso compuesto (o aleatorio): Cualquier subconjunto del espacio muestral.
  • Ejemplo (Dado): Que salga impar: A = {1, 3, 5}
  • Ejemplo (Dado): Que salga número > 3: B = {4, 5, 6}

La Probabilidad

La Probabilidad es un número entre... Continuar leyendo "Fundamentos de Probabilidad: Conceptos Esenciales y Tipos de Sucesos" »

Physis: L'Essència del Devenir

Ens podem referir a Physis com allò no òntic que està darrere del naixement dels ens i de la seva evolució; és a dir, allò que hi ha al darrere i que s'està produint.

Logos: L'Ordre i la Regulació de la Presència

Logos: Substantiu que prové del verb que significa "ajustar" o "seleccionar". És allò no òntic implicat en la presència de les coses i que determina si són presents i com ho són; és a dir, allò que està darrere les coses regulant el que es fa present i el que deixa de fer-se.

Aletheia: El Desvetllament de la Veritat

Aletheia: Substantiu format per un prefix negatiu i la paraula "oblit", "enigma", "foscor". El significat general és "trencar l'oblit", "desfer l'enigma", "fer-se present".... Continuar leyendo "Conceptes Filosòfics i Estratègies de Màrqueting: Una Anàlisi" »

Preguntes i Respostes

26. Són medicaments d'ús restringit:

c. D'ús hospitalari

27. S'hauria d'anotar en el llibre d'estupefaents:

c. ECM, estupefaents, psicòtrops i fórmules magistrals

28. En el cupó precinte d'un medicament s'hi poden trobar els següents símbols:

EQ, • , i

29. El CN d'un medicament:

c. Consta de 6 dígits i un de control i està al superior dret.

30. Pel que fa a la substitució de medicaments amb recepta:

b. Substituir en situacions excepcionals, el farmacèutic diligenciarà la recepta.

31. Quan l'usuari sol·licita un medicament pel seu nom comercial i el tècnic li dona i tanca la venda:

a. Dispensació verdadera

32. Dels següents, quins consideres medicaments complexos:

Febrectal supositoris, insulina Lantus, Turbohaler,

Subespacios Vectoriales

• Un subconjunto V de un espacio vectorial Rⁿ es un subespacio vectorial (SEV) de Rⁿ si verifica que:

1. El vector 0 de Rⁿ está en V.
2. ∀ u, v ∈ V ⇒ u+v ∈ V.
3. ∀ u ∈ V y ∀ λ ∈ R ⇒ λu ∈ V

Teoremas sobre Subespacios Vectoriales

Teorema 2.1

La ecuación vectorial x₁a₁ + x₂a₂ + · · · + x_qa_q = b es equivalente al sistema lineal cuya matriz ampliada es [ a₁ a₂ . . . a_q | b ].

Teorema 2.2

(a) Dados los vectores v₁, v₂, . . . v_p de un subespacio vectorial V, el conjunto H = Gen{v₁, v₂, . . . , v_p} es un subespacio vectorial. (b) Además se verifica que H ⊆ V

Teorema 2.3

Sean A = [ a₁ a₂ . . . a_n ] una matriz (m×n) y b un vector de R^m. La ecuación matricial Ax = b tiene las mismas soluciones que la ecuación vectorial... Continuar leyendo "Subespacios Vectoriales y Transformaciones Lineales en Álgebra Lineal" »

Optimització: Resolució de Problemes de Màxims i Mínims

Per resoldre problemes d'optimització, seguim els següents passos:

1. Llegir bé l'enunciat i identificar les funcions implicades.
2. Unir les funcions en una sola, si és necessari.
3. Derivar la funció resultant.
4. Igualar la derivada a zero per obtenir els punts crítics (valors de x).
5. Representar els punts crítics a la recta real per buscar màxims i mínims.
6. Obtenir conclusions basades en els resultats.

Activitat 1: Suma de Quadrats Mínima

La suma de dos nombres no negatius és 36. Troba'ls per tal que la suma dels seus quadrats sigui la més petita possible.

• Sigui x el primer nombre.
• El segon nombre serà 36 - x.
• Volem que la suma dels seus quadrats sigui mínima.

Per tant, la funció a minimitzar... Continuar leyendo "Problemes d'Optimització i Geometria: Càlcul de Màxims i Mínims" »