Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Continuidade de Funcións

Podemos distinguir distintos tipos de descontinuidade:

• De salto: \(i_1 = \lim f(x) \neq \lim f(x) = i_2\)
• De 2ª especie: Algún dos límites (ou ambos) non existen.
• Evitables: \(\lim f(x) \neq f(a)\), cando \(x\) tende a \(a\).

Propiedades das Funcións Continuas

Se \(f(x)\) e \(g(x)\) son funcións continuas en \(x = a\), entón tamén son continuas en \(x = a\) as funcións:

• \(f + g\)
• \(f - g\)
• \(f \cdot g\)
• \(f/g\) (se \(g(a) \neq 0\))

Casos particulares:

• A función polinómica, \(y = P(x)\), é continua en todo \(\mathbb{R}\).
• A función racional, \(y = \frac{P(x)}{Q(x)}\), é continua en todo \(\mathbb{R}\) excepto nos puntos que anulan o denominador.
• A función irracional, \(y = \sqrt[n]{P(x)}\), é continua no seu dominio.

... Continuar leyendo "Continuidade e Derivabilidade de Funcións" »

Punto:es adimensionado.Se repesenta en mayusculas.Línea:sucesión ilimitada de puntos.L recta:tiene 1 diversión,la longitud.Plano:Es bidimensional(profundidad y anchura)PCil ortogon:paralelas a LT,paralelas entre si y perpendiculares a las rectas de proyección.Plano bisector:lugar geómetrico,condicion en la que cualquier punto se encontrara a la misma distancia.Los planos se forman: apartir de 3ptos no alineados,2 rectas que se corten, 2 rectas paralelas, 1 punto exterior a una recta.La línea recta es una sucesión ilimitada de puntos en la misma dirección y sentido.

Els Escacs: Un Joc Mil·lenari

Els escacs són un joc de tauler de naturalesa recreativa i competitiva per a dos jugadors. També és conegut com a escacs occidental o escacs internacionals per a diferenciar-lo dels seus predecessors i d'altres variants actuals. La forma actual del joc sorgeix al sud-oest d'Europa en la segona meitat del segle XV, després d'haver evolucionat des dels seus antics orígens perses i indis.

Els escacs pertanyen a la mateixa família del xiangqi i del shogi i, segons els historiadors de l'escaquisme, tots ells es van originar del xaturanga, que es practicava a l'Índia al segle VI dC.

Els escacs són un dels jocs més populars del món, practicat per milions de persones en torneigs (d'aficionats i professionals),... Continuar leyendo "Escacs: Història, Regles i Notació del Joc de Tauler" »

Operacions amb Funcions:

Suma

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = 5x + 3 + 2x - 1.

Resta

(f - g)(x) = f(x) - g(x) = 5x + 3 - (2x - 1) = 5x + 3 - 2x + 1 = 3x + 4. // (f - g)(x) = 3x + 4.

Multiplicació

(f · g)(x) = f(x) · g(x) = (5x + 3) · (2x - 1) = 10x² - 5x + 6x - 3 = (f · g)(x) = 10x² + x - 3.

Divisió

(f / g)(x) = f(x) / g(x) = fracció: 5x + 3 entre 2x - 1.

Funció Composta

A(x), B(f(x)), C(g(f(x))) = (g · f)(x) // EJ: (g o f)(x) = g[f(x)] // f(x) = x³ + x² - 7x + 1 // g(x) = 4√(x - 1) entre x² + 2. // (g o f)(x) = g[x³ + x² - 7x + 1] = 4√(x³ + x² - 7x + 1 - 1) entre (x³ + x² - 7x + 1)² + 2.

Funció Inversa

(f o f^-1)(x) = (f^-1 o f)(x) = x = y // aïllar la x i després canviar la x per la y // f(x)y = 2x - 1 -- y + 1 = 2x -- fracció de y + 1 entre... Continuar leyendo "Operacions amb Funcions Matemàtiques" »

e oberta

- Sílaba següent amb i  EXP: església, dénia, sénia, sépia o séquia 

- Sílaba següent amb u

- Esdrúixoles  EXP: llémena, témpores, sémola, Dénia, Enguera, feréstega, església o térbola 

- Vainas científiques  EXP: (- acabades en edre, ense, teca o ema)

- Paraules acabades en (ecta/e epta/e)

- Abans de l i ll  EXP: belga o selva 

- Abans de rr       i         rr+ consonant

- Acabades en ndr..  EXP: en infinitius acabats en (endre)

-eu  EXP: creu, greu , neu, meu, teu, seu 

O oberta

- Sílaba següent amb "i, u"

- Esdrúixoles   EXP: fórmula, góndola, pólvora, tómbola, escórpora o tórtora. 

- Acabades en os/a  EXP: glucosa, rabosa o sosa.

- Acabades en oc/a EXP: boc, boca ,joca o moca.

- Acabades en oç ... Continuar leyendo "Regles d'ortografia i fonètica" »

Anàlisi de la Funció F(x) = (x²+x)²

A) Domini i Punts de Tall

El domini de la funció F(x) = (x²+x)² és tot el conjunt dels nombres reals (Dom = R), ja que és una funció polinòmica.

Punts de Tall

• Amb l'eix de les x (y=0):

0 = x⁴ + 2x³ + x²

0 = x²(x² + 2x + 1)

0 = x²(x + 1)²

Les solucions són x = 0 i x = -1.

Per tant, els punts de tall amb l'eix de les x són (-1, 0) i (0, 0).

Amb l'eix de les y (x=0):

F(0) = (0² + 0)² = 0

El punt de tall amb l'eix de les y és (0, 0).

B) Asimptotes

Com que la funció és polinòmica, no té asimptotes.

C) Derivada i Punts Crítics

La funció és F(x) = x⁴ + 2x³ + x².

La seva primera derivada és F'(x) = 4x³ + 6x² + 2x.

Per trobar els punts crítics, igualem la derivada a zero:

F'(x) = 0 → 4x³... Continuar leyendo "Anàlisi de Funcions Matemàtiques: Domini, Punts de Tall, Derivades i Continuïtat" »

Dominio de una Función

Punto de Acumulación

Un punto x = a es un punto de acumulación del dominio de una función si todo entorno de centro a contiene elementos del dominio de la función, distintos de a. No es necesario que a pertenezca al dominio de la función.

Punto Aislado

Un punto x = a es un punto aislado del dominio de una función si existe algún entorno de centro a en el cual el único punto del dominio de la función es a.

Continuidad de una Función

Continuidad en un Punto de Acumulación

Si f es una función, a pertenece al dominio de f y a es un punto de acumulación del dominio de f: f es continua en x = a si: . Una función no es continua en un punto de acumulación de su dominio si no está definida en el punto, no existe el... Continuar leyendo "Dominios, Derivadas e Integrales de Funciones" »

Solucionari (Lozano / Nunes)

Opció A: Text de Josep Lozano, Crim de germania, València, Tres i Quatre, 1981, p. 188-189.

Tema:

La necessitat s’imposa per damunt de la por i de les normes/ La crueltat/ La repressió/ La pobresa i la necessitat de robar/ La intolerància religiosa

Parts bàsiques del text:

• Primera part: marc general de l’acció
• Segona part: la història es focalitza sobre el cos penjat (sensacions negatives)
• Tercera part: la història es focalitza sobre el cos penjat (sensacions positives)
• Quarta part: desenllaç de la narració

Cinc exemples de recursos expressius de caràcter literari presents al text:

Text literari, fonamentalment narratiu i descriptiu. Presenta l’estructura de plantejament, nuc i desenllaç de l’acció. S’organitza... Continuar leyendo "Anàlisi literària: Crim de germania" »

Propiedades y Significados de Medidas de Tendencia Central

1. Propiedades de la Media Aritmética

• Intervienen todos los valores del conjunto de datos.
• Es un número comprendido entre el máximo y el mínimo de los datos.
• Puede tener un valor distinto a los valores de la variable.
• Es sensible a los valores atípicos (outliers).
• Es sensible al cambio de origen: si se suma o resta una constante a todos los valores, la media también se suma o resta esa constante.
• Es sensible al cambio de escala: si se multiplican o dividen todos los valores por una constante, la media también se multiplica o divide por esa constante.
• La suma de las desviaciones de los datos respecto a la media es igual a 0.
• Hay que tener en cuenta los valores nulos en su cálculo.
• La media

... Continuar leyendo "Propiedades y Significados de Medidas de Tendencia Central y Componentes de Gráficos Estadísticos" »

Conceptos Fundamentales de Probabilidad

Definiciones Clave

• Experimento: Se clasifica en:
  • Determinista: Su resultado se conoce de antemano.
  • Aleatorio: Su resultado no se puede predecir antes de realizarlo.
• Suceso elemental: Cada uno de los posibles resultados individuales de un experimento.

  Ejemplos: (cara) o (sello) al lanzar una moneda; (1), (2), (3), etc., al lanzar un dado.

• Espacio muestral (E): Conjunto formado por todos los sucesos elementales posibles.
  • Ejemplo Moneda: E = {cara, sello}
  • Ejemplo Dado: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Suceso compuesto (o aleatorio): Cualquier subconjunto del espacio muestral.
  • Ejemplo (Dado): Que salga impar: A = {1, 3, 5}
  • Ejemplo (Dado): Que salga número > 3: B = {4, 5, 6}

La Probabilidad

La Probabilidad es un número entre... Continuar leyendo "Fundamentos de Probabilidad: Conceptos Esenciales y Tipos de Sucesos" »