Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

1) Posición Relativa de 2 rectas en el espacio

Matrices A y A*

Paralelas

Secantes

Coincidentes

Se cruzan

Rango A {Ur, Us}

1

2

1

2

Rango A* {Ur,Us,Pr,Ps}

2

2

1

3

2) Dependencia o independencia de vectores

A) Determinante (u, v, w) no es 0 => son linealmente dependientes

B) Determinante (u, v, w) =0 => son Linealmente independientes

3) Posición de 2 rectas como intersección de 2 Planos

r: { Ax+By+Cz+D=0s: { A´´x+B´´y+C´´z+D´´

{ A´x+B´y+C´z+D´=0{ A´´´x+B´´´y+C´´´z+D´´´=0

Esto forma un sistema de 4 ecuaciones Y 3 incógnitas y si tomamos las matrices A y A* , puede ocurrir:

Rango A*=4

SI

SE CRUZAN

Rango A=3

Rango A*=3

SCD

SE CORTAN EN UN PUNTO

Rango A=2

Rango A*=3

SI

PARALELAS

Rango A=2

Rango A*=2

SCD

COINCIDENTES

4) Posición Relativa Recta y Plano

Una... Continuar leyendo "Posiciones Relativas de Rectas y Planos en el Espacio 3D" »

Evolució i Variació Social del Català

Evaluación de Conceptos en Métodos Numéricos

• La factorización de Cholesky es una manera de resolver sistemas de ecuaciones de forma lineal: V
• El método de bisección establece que toda función en un intervalo cerrado [a, b] toma todos los valores intermedios: V
• El método de la secante aproxima el cero de una función evaluando la derivada: F (se evalúa en la función)
• Las sucesiones de aproximaciones generadas por el método de la secante utilizan P0=a y P1=b: V
• El objetivo de Newton-Raphson para estimar la solución de una ecuación es producir aproximaciones sucesivas: V
• Lo que busca Newton-Raphson es la raíz de corte en el eje Y: FALSO (la raíz del punto con el eje X)
• El método de Simpson busca el área bajo y sobre la curva debido a

Conceptos Fundamentales de Estadística

Estadística: Métodos matemáticos para recolectar, organizar e interpretar datos, así como para esbozar conclusiones y tomar decisiones razonables basados en tales análisis.

Población: Colección de un número finito o virtualmente infinito de datos sobre algún fenómeno de interés.

Muestra: Subconjunto representativo seleccionado de una población que debe reflejar las características esenciales de la población de la cual fue tomada.

Muestra Aleatoria o Equiprobable: Es una muestra en la que cada miembro o parte de la población tiene igual probabilidad de ser incluido.

Espacio Muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. (En un yacimiento, son los sondajes)... Continuar leyendo "Fundamentos de Estadística y Geología Minera: Conceptos Esenciales y Normativas" »

Ecuaciones de la Recta y el Plano en el Espacio (R³)

Ecuaciones de la Recta

• Ecuación Vectorial:

  $(x, y, z) = (a_1, a_2, a_3) + k \cdot (v_1, v_2, v_3)$

• Ecuación Paramétrica:

  $x = a_1 + k \cdot v_1$

  $y = a_2 + k \cdot v_2$

  $z = a_3 + k \cdot v_3$

• Ecuación Continua:

  $$\frac{x - a_1}{v_1} = \frac{y - a_2}{v_2} = \frac{z - a_3}{v_3}$$

• Ecuación Implícita (o General): La recta se define como la intersección de dos planos:

  $$\begin{cases} Ax + By + Cz + D = 0 \\ A'x + B'y + C'z + D' = 0 \end{cases}$$

Ecuación del Plano

• Ecuación General (Implícita):

  $Ax + By + Cz + D = 0$

Conceptos Fundamentales de Vectores

• Vector Fijo (o Ligado): Vector representado por un segmento orientado $\vec{AB}$.
• Vectores Equipolentes: Vectores fijos que tienen la misma dirección,

Probabilidad

La probabilidad es una rama de las matemáticas que estudia los fenómenos aleatorios. A continuación, se presentan algunas de sus fórmulas fundamentales:

Probabilidad Condicionada

Se refiere a la probabilidad de que ocurra un evento B, sabiendo que ya ha ocurrido un evento A. Se expresa como:

P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)

Teorema de Bayes

Permite calcular la probabilidad de un evento A, dado que ha ocurrido un evento B, utilizando información previa. Se expresa como:

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

Probabilidad Total

Se utiliza para calcular la probabilidad de un evento R que puede ocurrir a través de diferentes caminos o eventos mutuamente excluyentes (A, B, C). Se expresa como:

P(R) = P(A) · P(R|A) + P(B) · P(R|B) + P(C) · P(R|C)

Ecuaciones

Metodo Hipotetiko Deduktiboa

Metodo Hipotetiko Deduktiboa:

• Protokolozko enuntziatuek enpirikoki egiaztatzeko moduko fenomenoak azaltzen dituzte.
• Legeak enuntziatu unibertsalak dira, eta fenomeno jakin batzuen portaera edo erlazio erregularrak eta iraunkorrak izaten dituzte aztergai. Hasieran hipotesiak izaten dira, egiaztatu gabeko enuntziatuak, eta egiaztatuta geratzen direnean, lege naturaltzat hartzen dira. Esperientziak bihurtzen ditu lege.
• Teoriak enuntziatu unibertsalak dira, eta horietatik zientzia baten lege guztiak deduzi daitezke. Zientziei batasuna ematen diete, eta haietan oinarrituz lege berriak aurki daitezke.

Urratsak:

1. Behaketa eta/edo esperimentazioa.
2. Azalpenezko hipotesia.
3. Hipotesiak matematikoki formulatu.
4. Egiaztatu edo faltsuak jazo.

Ontogenesia

Izaki bizidunak etengabe aldatzen dira. Baina aldaketa horiek bi motatakoak dira. Alde batetik, izaki bakoitzak eraldaketak izaten ditu, jaio aurretik hasi eta hil arte. Aldaketa horri ontogenesia deritzo. Bestalde, espezieak ere etengabe eraldatzen dira; ez dira banakako aldaketak, espezie esaten diogun multzo osoarenak baizik.

Filogenesia

Filogenesia deritzon kontzeptuak espezieak denboran zehar aldatu direla adierazten du: espezie batzuetatik beste batzuk sortu dira, eta horrenbestez filum edo leinu bat osatzen dute.

Fixismoa

Espezie bakoitza aldaezina zela ulertzen zuten, baita betierekoa zela ere. Horregatik, azalpen horiei oro har teoria fixista esaten zaie.

Eboluzionismoaren hastapenak

Lamarck izan zen espezieen eboluzio biologikoari... Continuar leyendo "Bizitzaren Eboluzioa eta Gizakiaren Jatorria" »