Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Los beneficios de una empresa en sus primeros 8 años vienen dados, en millones de euros, por la función

a) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: B ‘(t) = 3t2/ 4 -6t + 9= 0 ; t=2 ; t=6. La función es creciente en el intervalo: (0,2) U (6,8) y decreciente en el intervalo: (2,6). Tiene un máximo relativo en el punto (2,8) y un mínimo relativo en (6,0). Calculamos los extremos absolutos.
Para ello vemos los valores que toma la función en los extremos del intervalo [0,8]. -B(0)= 0 ; -B(8)=8. Por lo tanto, el máximo absoluto es 8 y se alcanza para t=2 y t=8. El mínimo absoluto es 0 y se alcanza para t=0 y t=6. B) Hacemos la gráfica de la función: Viendo la gráfica, observamos que los beneficios crecen en los años... Continuar leyendo "Optimización de Funciones y Derivadas: Análisis y Aplicaciones" »

Problema 1: Estudio de Continuidad, Derivabilidad y Recta Tangente

Sea la función definida a trozos:

f (x) =

• 1/(2-x) si x < 1
• x² - 6x + 6 si x ≥ 1

a) Continuidad y Derivabilidad

La función racional 1/(2-x) es continua y derivable en ℝ - {2}. La función polinómica x² - 6x + 6 es continua y derivable en ℝ. Por lo tanto, solo necesitamos estudiar la continuidad y la derivabilidad en el punto de unión, x = 1.

Estudio de la Continuidad en x = 1:

• Límite de x cuando tiende a 1 por la izquierda de 1/(2-x) = 1.
• Límite de x cuando tiende a 1 por la derecha de x² - 6x + 6 = 1.
• Evaluación de la función en el punto: f(1) = 1² - 6(1) + 6 = 1.

Dado que el límite por la izquierda es igual al límite por la derecha y ambos son iguales a f(1), la... Continuar leyendo "Resolución de Problemas de Cálculo Diferencial: Funciones, Derivadas y Puntos Clave" »

Introducción a los Procedimientos Estadísticos en SPSS

En SPSS podemos utilizar diferentes procedimientos para obtener estadísticos y gráficos. La mayoría se encuentran en los menús Estadísticos Descriptivos y Gráficos.

Estadísticos Descriptivos con SPSS

Utilizaremos el procedimiento Frecuencias del menú Estadísticos Descriptivos para obtener una descripción de las variables cualitativas de la matriz de datos.

Vamos ahora a describir el procedimiento de SPSS para obtener estadísticos descriptivos de variables cuantitativas. Seleccionamos nuevamente Estadísticos Descriptivos del menú Analizar.

Naturaleza de los Datos

Distribución Normal o Paramétrica

Distribución normal o paramétrica

Distribución No Paramétrica

Distribución no paramétrica

Pruebas

Sea la función f ( x ) = xcubo -24xcuadrado +4x

a) Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero: f ''(x) = 6x - 48 = 0 ; x = 8, que no está en su dominio. La función es cóncava en el intervalo (-∞,8) y convexa en el intervalo (8,+∞). Tiene un punto de inflexion en (8, -992). B) La ecuación de la tangente es: y -f(-2) = f’(-2)(x+2). F(-2)= (-2)cubo -24(-2)
cuadrado + 4(-2) = -112. F’(x)= 3xcuadrado - 48x +4 ; f’(-2)= 12+96+4=112. Sustituyendo, tenemos que: y -f(-2) = f’(-2)(x+2) ; y+112= 112(x+2) ; y=112x +112. C) Calculamos la primera derivada. F’(x)= 3xcuadrado -48x +4 ; f’(1)= 3(1)cuadrado -48 por 1+ 4= -41<0. Es="">0.> Derivadas:
f(x) = (x2 -5)cubo/3-xcuadrado = f’(x) = 3(x2-5)cuadrado por 2x (3-x2)... Continuar leyendo "Optimización de Funciones y Cálculo de Derivadas en Problemas de Cálculo" »

Geometría Molecular: Pares de Electrones y Distribución Espacial

La siguiente tabla relaciona la fórmula AB_nE_m de una molécula con el número de pares de electrones enlazantes y no enlazantes, la distribución electrónica y la geometría molecular resultante según la teoría VSEPR.

Tabla de geometrías moleculares

• Fórmula: AB_nE_m, donde A es el átomo central, B los átomos enlazados y E los pares de electrones no enlazantes.
• Pares enlazantes: número de enlaces sigma formados por el átomo central.
• Pares no enlazantes: número de pares de electrones libres sobre el átomo central.
• Distribución: disposición de todos los pares de electrones alrededor del átomo central.
• Geometría: forma espacial de los átomos en la molécula.

Geometrías con

1. La diversitat lingüística

Aproximadament, hi ha entre 6.000 i 6.800 llengües al món. Es preveu que al segle XXI desapareixeran 2.000 llengües.

2. Classificació de les llengües

Es classifiquen segons criteris lingüístics i criteris d'ús.

2.1 Criteris lingüístics

2.1.1 Classificació genètica

Es basa en la noció de parentiu lingüístic. Una família lingüística és el conjunt de llengües que presenten un origen comú i comparteixen característiques lèxiques i estructurals. Es creu que una llengua no documentada (l'indoeuropeu) va ser la que va originar totes les altres.

2.1.2 Classificació tipològica

Es basa en les similituds estructurals, és a dir, en la manera de formar unitats lingüístiques. S'agrupen en tres grups:

• Llengües

1. Verdadero o Falso: Conceptos Fundamentales

• (V) En la función f(x) = 2x + 3, la gráfica es una línea recta y su pendiente es m = 2.
• (F) Todas las funciones trigonométricas son continuas. Nota: Pueden ser discontinuas.
• (F) En todas las funciones, el término independiente (que no tiene "x") representa la ordenada en el origen. Nota: En algunas representa la pendiente.
• (V) La gráfica de una función cuadrática puede ser abierta hacia arriba o hacia abajo.
• (F) Una función polinómica puede ser continua o discontinua. Nota: Solo puede ser continua.
• (F) En una función constante, la variable dependiente (y) adopta diferentes valores dependiendo del valor de la variable independiente (x). Nota: Tiene solo una variable.
• (V) La función f(x) = sen(

Problema 1: Determinación de Parámetros y Estudio de una Función por Tramos

Se nos presenta la función definida por tramos:

f(x) = ax² - 2x si x ≤ 2

f(x) = x/2 - b si x > 2

a) Cálculo de los Parámetros 'a' y 'b'

Para que la función f(x) sea continua en ℝ, debe ser continua en el punto de unión x = 2.

• La función f(x) = ax² - 2x es continua en ℝ, en particular para x ≤ 2.
• La función f(x) = x/2 - b es continua en ℝ, en particular para x > 2.

La condición de continuidad en x = 2 implica que f(2) = lim (x→2⁻) f(x) = lim (x→2⁺) f(x).

• Calculamos el valor de la función y el límite por la izquierda: f(2) = lim (x→2⁻) (ax² - 2x) = a(2)² - 2(2) = 4a - 4.
• Calculamos el límite por la derecha: lim (x→2⁺) (x/2 - b)

Secciones Cónicas: Definiciones y Lugares Geométricos

Elipse

• Definición: Lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante.
• Propiedad 2: Lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la focal de centro el otro foco.
• Circunferencia focal: Tiene su centro en un foco y su radio es la constante k (2a = AB). Existen dos.
• Circunferencia principal: Lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las infinitas tangentes a la elipse. Su centro es el de la elipse y su radio es el semieje mayor (oa).

Hipérbola

• Definición: Lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a otros dos puntos fijos

Problema 1

Sea P(t) el porcentaje de células, de un determinado tejido.

a) Continuidad en t=5

Estudiamos la continuidad solo en t=5, ya que t² es continua en R y en particular en 0 ≤ t ≤ 5; y la función (100t - 250) / (t + 5) es continua en R - {-5} y en particular en t > 5.

lim (x → 5^-) de t² = 25.

lim (x → 5⁺) de (100t - 250) / (t + 5) = 25.

Igualamos los límites: P(5). Es continua.

b) Derivabilidad en t=5

Calculamos la función derivada:

P'(t) = 2t si 0 < t < 5

P'(t) = 750 / (t+5)² si t > 5

P'(5^-) = 10.

P'(5⁺) = 7.5.

No son iguales. No es derivable en t=5.

c) Monotonía

Estudiamos la monotonía.

2t = 0 ; t = 0. La función es creciente en 0 ≤ t ≤ 5, ya que P'(1) = +. En t = 0 tiene un mínimo absoluto o relativo.

750 / (t+5)² =... Continuar leyendo "Análisis de Continuidad, Derivabilidad y Monotonía de Funciones" »