Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Lagrange-ren Teorema

Funtzio bat baldin bada:

1. Jarraitua [a,b] tartean: f(1) = lim f(x)
2. Deribagarria (a,b) tartean: f´(1-) = f´(1+)

Orduan, existitzen da c ∈ (a,b) puntu bat (edo gehiago) non f´(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a) betetzen den.

Grafikoki, puntu bat dago non zuzen ukitzailea sekantearen paraleloa den.

Rolle-ren Teorema

Aurreko baldintzez gain, f(a) = f(b) betetzen bada, orduan existitzen da c ∈ (a,b) non f´(c) = 0 den.

Grafikoki, puntu bat dago non zuzen ukitzailea abzisa-ardatzarekiko paraleloa den.

Parametroak

• P(a,b) puntua: f(a) = b
• Minimoa edo maximoa x = 3 puntuan: f´(3) = 0
• Inflexio-puntua x = 3 puntuan: f´´(3) = 0
• Muturra x = 10, y = 8 puntuan: f(10) = 8 eta f´(10) = 0
• Ukitzailea x = 5 puntuan: f´(5) = m

Adierazpen Grafikoa

• Izate-

Método científico: pasos

El método científico se compone de una serie de etapas sistemáticas para investigar fenómenos. A continuación se enumeran los pasos principales:

1. Observación: La observación de un fenómeno o conjunto de datos que plantea una pregunta o problema.
2. Pregunta de investigación: Después de observar, se formula una pregunta específica que se busca responder mediante la investigación.
3. Investigación preliminar: Realizar una investigación preliminar para comprender lo que se sabe sobre el tema.
4. Hipótesis: Es la declaración fundamentada que sugiere una posible respuesta a la pregunta de investigación.
5. Diseño experimental: Se planifica cómo se llevará a cabo la investigación para probar la hipótesis.
6. Recopilación

Derivació de funcions de funcions

Derivació de funcions de funcions.

Exemples de derivació

1) Derivar la funció: y = ln (1 + x + 3x²).

Fem:

u = (1 + x + 3x²) ➔ y = ln u

Aleshores:

y' = ^dy⁄_du = ¹⁄_u

^du⁄_dx = 1 + 6x

Per tant:

^dy⁄_dx = ^dy⁄_du · ^du⁄_dx = ¹⁄_{(1 + x + 3x²)} · (1 + 6x)

2) Derivar la funció: y = √(1 + 4x + 5x²) ➔ Fem: √U.

Si fos √U, la seva derivada seria:

¹⁄_(2·√U) = ¹⁄_{(2·√(1 + 4x + 5x²))}

La qual haurem de multiplicar per la derivada de la quantitat subradical:

y' = ¹⁄_{(2√(1 + 4x + 5x²))} · (4 + 10x) = ^{(2 + 5x)}⁄_{√(1 + 4x + 5x²)}

3) Derivar: y = ln(x + √(a² + x²)). La derivada d'un logaritme és: ¹⁄_{(x + √(a² + x²))}

Multiplicant per la derivada de la funció que segueix al "ln", que és alhora una funció... Continuar leyendo "Derivació de Funcions: Regles i Exemples" »

Este documento presenta una colección de ejercicios resueltos de derivación, aplicando las reglas fundamentales del cálculo diferencial. Cada problema ilustra la aplicación de una o varias reglas de derivación, como la regla del cociente, la regla del producto, la regla de la cadena y la regla de la potencia, con sus respectivas soluciones paso a paso.

Regla del Cociente

La regla del cociente se utiliza para derivar funciones que son el cociente de dos funciones diferenciables. Si f(x) = u(x)/v(x), entonces su derivada es:

  d   u   v du/dx − u dv/dx
  — ( — ) = —————————
  dx  v         v²

Problema 1: Derivada de una Función Racional

  d   c²+x²
  — (—————)
  dx  −c²+x²

Aplicando la regla del... Continuar leyendo "Dominando las Derivadas: Ejercicios Resueltos de Cálculo Diferencial" »

Sea la función f(x)= 3elevado a x si x≤1 ; x2-6x +8 si x>1

A) Estudiamos la continuidad en x =1. F(1)= 3 ;
luego lim de x tiende a 1 por la izquierda (3 elevado a x) = 3. Lim de x tiende a 1 por la derecha de (x2 -6x+8) =3. F(1)= lim de x tiende a 1 de f(x)=3. Luego es continua en R. Calculamos la función derivada:
F’(x)= 3 elevado a x por ln 3 si x<1 ;="" 2x-6="" si="" x="">1. F’(1izquierda) = 3 ln 3. F’(1derecha) = 4. No son iguales, por lo tanto no es derivable en x=1. B) La ecuación de la recta tangente es: y - f (3) = f ' (3) ( x - 3) ; f(3) = -1 ; f’(3) = 0. Sustituyendo, tenemos: y - (-1) = 0 (x-3) ; y= -1.

Sea la función f(x)= x3 -1

a) Corte con el eje X ; y= 0 ; x3 -1= 0 ; x=1 ; (1,0). Corte con el eje Y ; x=0... Continuar leyendo "Calcule la ecuación dela recta pasa por (3,1)y (-2,-3) es F x Creciente" »

Conceptos Fundamentales del Cálculo Diferencial

Definición de Elasticidad de una Función

Consideremos una función $f: A \to \mathbb{R}$ derivable y no nula en un punto interior $x_0 \in A$. Se define la elasticidad de $f$ en el punto $x_0$ como la expresión:

$e_f(x_0) = \left( \frac{x_0}{f(x_0)} \right) \cdot f'(x_0)$

Teoremas Clave en Derivabilidad

Teorema de Rolle

Sea $f(x)$ una función que satisface las siguientes hipótesis:

1. $f(x)$ es continua en el intervalo cerrado $[a,b]$.
2. $f(x)$ es derivable en el intervalo abierto $(a,b)$.
3. $f(a) = f(b)$.

Entonces, existe al menos un número $c \in (a,b)$ tal que $f'(c) = 0$.

Demostración del Teorema de Rolle (Casos)

Caso 1: La función es constante

Si $f(x) = \text{cte}$, entonces $f'(x)=0$ para todo $x... Continuar leyendo "Fundamentos Esenciales del Cálculo Diferencial: Elasticidad, Teoremas y Extremos de Funciones" »

Feixisme: definició i característiques

Feixisme: model polític que va començar a Itàlia i Alemanya entre guerres. El terme designa reaccions violentes i autoritàries contra l'expansió de la igualtat entre ciutadans democràtics i socialistes.

• Nacionalisme exacerbat: racista; defensa l'exaltació d'una «raça» per garantir la unitat nacional. Inclou l'eliminació o persecució de grups per expandir-se amb una política militarista i imperialista.
• Exaltació de l'Estat: l'Estat es col·loca per damunt dels drets i llibertats individuals; tota institució ha d'estar al servei de l'Estat.
• Rebuig al liberalisme i a la democràcia: nega la igualtat entre ciutadans i la sobirania popular; no tolera la separació de poders, rebutja el parlamentarisme

Álgebra

Fracciones Algebraicas

Operaciones con polinomios

Sumar los siguientes polinomios

R

Para obtener x – 5 ¿Qué expresión debe restarse de x³ -4x² + 8?

R

¿Qué número debe sumarse a x + 4y, para obtener 3x -4y?

R 2x - 8y

Reducir la siguiente expresión

R

Cuál será el consciente de dividir:

Simplificar:

-{ -[- (a + b –c)]} – {+[- (c –a +b)]} + [ - { -a + (-b)}]

R -a +b +2c

Multiplicar

Ecuaciones de primer grado:

Ecuaciones simultaneas de Primer Grado

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

PRODUCTOS NOTABLES

FACTORIZACION

Determinar el factor FALTANTE

Ecuaciones de 2⁰ grado

PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Dividir el número 106 en... Continuar leyendo "Álgebra: Guía completa con ejercicios resueltos" »

Ejercicios Resueltos de Álgebra

Conceptos Básicos

Exponentes y Potencias

A) Los exponentes se multiplican para elevar una potencia a otra potencia.

Ecuaciones

C) Igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas para determinados valores de la incógnita.

D) Ecuación.

Tipos de Números

C) N Z Q R

C) 25, 4, 3.12, 2.1825, 1.4444, -2, -5

Operaciones Algebraicas

B) 3a - 6b + 2c + 3d

A) x² - 1

B) Coeficiente = -4. Representa el número de veces que intervienen como sumando.

A) [Q1]: (a+b)²

[Q2]: 2a + 3a

B) Tres factores: 3x, x + 3, x + 3

B) (x² + y²) (x + y)(x - y)

C) -8x + 5y + 7

A) V, V, V

A) [1], [3], [4]

A) a = b => b = a

B) Hallar dos números cuya suma sea 24 y su diferencia sea 6.

A) 3x = 300 => x = 100 pesos.

B) 5/8 de hora.

B) 0, 1, 2, 3, 4,