Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Conceptos Fundamentales del Cálculo Diferencial

Definición de Elasticidad de una Función

Consideremos una función $f: A \to \mathbb{R}$ derivable y no nula en un punto interior $x_0 \in A$. Se define la elasticidad de $f$ en el punto $x_0$ como la expresión:

$e_f(x_0) = \left( \frac{x_0}{f(x_0)} \right) \cdot f'(x_0)$

Teoremas Clave en Derivabilidad

Teorema de Rolle

Sea $f(x)$ una función que satisface las siguientes hipótesis:

1. $f(x)$ es continua en el intervalo cerrado $[a,b]$.
2. $f(x)$ es derivable en el intervalo abierto $(a,b)$.
3. $f(a) = f(b)$.

Entonces, existe al menos un número $c \in (a,b)$ tal que $f'(c) = 0$.

Demostración del Teorema de Rolle (Casos)

Caso 1: La función es constante

Si $f(x) = \text{cte}$, entonces $f'(x)=0$ para todo $x... Continuar leyendo "Fundamentos Esenciales del Cálculo Diferencial: Elasticidad, Teoremas y Extremos de Funciones" »

Feixisme: definició i característiques

Feixisme: model polític que va començar a Itàlia i Alemanya entre guerres. El terme designa reaccions violentes i autoritàries contra l'expansió de la igualtat entre ciutadans democràtics i socialistes.

• Nacionalisme exacerbat: racista; defensa l'exaltació d'una «raça» per garantir la unitat nacional. Inclou l'eliminació o persecució de grups per expandir-se amb una política militarista i imperialista.
• Exaltació de l'Estat: l'Estat es col·loca per damunt dels drets i llibertats individuals; tota institució ha d'estar al servei de l'Estat.
• Rebuig al liberalisme i a la democràcia: nega la igualtat entre ciutadans i la sobirania popular; no tolera la separació de poders, rebutja el parlamentarisme

Álgebra

Fracciones Algebraicas

Operaciones con polinomios

Sumar los siguientes polinomios

R

Para obtener x – 5 ¿Qué expresión debe restarse de x³ -4x² + 8?

R

¿Qué número debe sumarse a x + 4y, para obtener 3x -4y?

R 2x - 8y

Reducir la siguiente expresión

R

Cuál será el consciente de dividir:

Simplificar:

-{ -[- (a + b –c)]} – {+[- (c –a +b)]} + [ - { -a + (-b)}]

R -a +b +2c

Multiplicar

Ecuaciones de primer grado:

Ecuaciones simultaneas de Primer Grado

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

PRODUCTOS NOTABLES

FACTORIZACION

Determinar el factor FALTANTE

Ecuaciones de 2⁰ grado

PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Dividir el número 106 en... Continuar leyendo "Álgebra: Guía completa con ejercicios resueltos" »

Ejercicios Resueltos de Álgebra

Conceptos Básicos

Exponentes y Potencias

A) Los exponentes se multiplican para elevar una potencia a otra potencia.

Ecuaciones

C) Igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas para determinados valores de la incógnita.

D) Ecuación.

Tipos de Números

C) N Z Q R

C) 25, 4, 3.12, 2.1825, 1.4444, -2, -5

Operaciones Algebraicas

B) 3a - 6b + 2c + 3d

A) x² - 1

B) Coeficiente = -4. Representa el número de veces que intervienen como sumando.

A) [Q1]: (a+b)²

[Q2]: 2a + 3a

B) Tres factores: 3x, x + 3, x + 3

B) (x² + y²) (x + y)(x - y)

C) -8x + 5y + 7

A) V, V, V

A) [1], [3], [4]

A) a = b => b = a

B) Hallar dos números cuya suma sea 24 y su diferencia sea 6.

A) 3x = 300 => x = 100 pesos.

B) 5/8 de hora.

B) 0, 1, 2, 3, 4,

Variaciones:

Son las diferentes agrupaciones que se pueden formar con los elementos de un conjunto cualquiera, tomados de 'm' en 'n'.

Combinaciones:

Son todas las agrupaciones que se pueden formar con los 'm' en 'n' (m>n) de modo que 2 grupos difieran en algún elemento, mas no en el orden de colocación.

Permutaciones:

Son las distintas agrupaciones que se pueden formar con los 'm' de un conjunto, entrando todos en cada agrupación de modo que los grupos difieren por el orden de colocación.

Inecuación:

Las inecuaciones son desigualdades de expresiones algebraicas en las que hay, al menos una variable cuyo valor numérico desconocemos y al que llamamos incógnita.

Inecuaciones cuadráticas:

Son todas las expresiones de la forma

Matriz Fila:

Una matriz... Continuar leyendo "Conceptos Matemáticos Básicos" »

Aplicaciones Fundamentales de la Derivada en el Estudio de Funciones

1. Estudio Completo de una Función a partir de su Derivada Primera

Dada la función derivada de una función f, f'(x) = 3x² - 12x + 9, realizaremos un estudio detallado de sus propiedades.

a) Determinación de Extremos Relativos e Intervalos de Monotonía

Para encontrar los extremos relativos, igualamos la primera derivada a cero:

f'(x) = 3x² - 12x + 9 = 0

Resolviendo la ecuación cuadrática, obtenemos las soluciones: x = 1 y x = 3.

Para determinar los intervalos de monotonía, evaluamos el signo de f'(x) en puntos a la izquierda y derecha de estas soluciones:

• Para x < 1 (elegimos x = 0): f'(0) = 9 > 0. Por lo tanto, f(x) es estrictamente creciente en el intervalo (-∞,

Askatasun Ideologiko eta Erlijiosoa

a) Kontzeptua eta edukia

Askatasun ideologikoa eta erlijiosoa askatasun ezberdinak badira ere, Konstituzioak biak batera kontsideratzen ditu bere 16. artikuluan eta biei tratamendu bera ematen die zati handi batean. Konstituzionalismoaren historian askatasun erlijiosoa askatasun klasiko bat den bitartean, askatasun ideologikoa espresuki jasotzea Espainiako Konstituzioaren berrikuntza bat da.

Bi askatasun horiek bina alderdi dituzte: bata pertsona mailakoa edo gizabanakoaren barrukoa, eta bestea horretatik kanpora proiektatzen dena. Beren barne proiekzioan mugagabetzat jo badaitezke ere, beren kanpo proiekzioari dagokionez, Konstituzioak espresuki aurreikusten du zenbait murrizpenen existentzia.

Pertsona beraren... Continuar leyendo "Askatasun ideologiko eta erlijiosoa (16. art.)" »

Conceptos Fundamentales del Cálculo Diferencial

Dominio de una Función

El dominio de una función $f(x)$ es el conjunto de todos los valores de $x$ para los cuales la función está definida.

• Si la función es un polinomio (sin fracciones ni raíces pares), el dominio es $\mathbb{R}$ (todos los números reales).
• Si la función es una fracción (función racional), el dominio se determina igualando el denominador a cero y excluyendo esos valores de $\mathbb{R}$.

Asíntotas

Las asíntotas son líneas a las que la función se acerca indefinidamente. Los polinomios NO tienen asíntotas; las funciones racionales SÍ pueden tenerlas. No hay Asíntota Vertical (A.V.) si la función es exponencial.

1. Asíntota Vertical (A.V.)

Se busca en los puntos que... Continuar leyendo "Fundamentos de Cálculo Diferencial: Dominio, Asíntotas, Derivadas y Extremos" »