Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Ecuación NORMAL DEL PLANO- A(x-a1) + B(y-a2) + C(z-a3)+D=0

POSICIONES 2 PLANOS-

rg(M)=rg(M')=1--planos coincidentes //  rg(M)=1 < rg(m')="2">planos paralelos //  rg(M)=rg(M')=2 -

Planos secantes (se cortan en 1 recta q será los 2 planos)

POSICIONES 3 PLANOS-

rg(M)=rg(M')=1 --
3 planos coincidentes //rg(M)=1 rg(M')=2 --
3 planos paralelos / 2 planos coincidentes. (estudiar 2 a 2) // rg(M)=rg(M')=2 --
2 coincidentes y el otro los corta / 3  se cortan en 1 recta // rg(M)=2 rg(M')=3 --
forman un prisma / 2 paralelos y el otro los corta // rg(M)=rg(M')=3 --

3 planos forman un triedro

POSICIONES RECTA-PLANO (sustituyes x y z de la recta en x y z del plano) // si 0=0 --
Recta contenida en el plano // si 15=0 --
recta paralela al plano // si λ=nº... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Geometría en el Espacio: Rectas, Planos y Posiciones Relativas" »

Teorema

Un teorema es una proposición que afirma una verdad demostrable. En matemáticas, es toda proposición que, partiendo de un supuesto (hipótesis), afirma una racionalidad (tesis) no evidente por sí misma.

Axioma

Un axioma es una proposición asumida dentro de un cuerpo teórico sobre la cual descansan otros razonamientos y proposiciones deducidas de esas premisas.

Proposición

Intuitivamente, una proposición expresa un contenido semántico al que, bajo cierto procedimiento acordado o prescrito, es posible asignarle un valor de verdad (usualmente "verdadero" o "falso", aunque en lógica formal se admiten otros valores de verdad diferentes).

Lema

Un lema es una frase que expresa motivación, intención, ideal y/o que describe la forma de... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales: Matemáticas, Estadística e Informática" »

**1. Definición de Estadística**

La estadística es la ciencia que nos ayuda a recoger, organizar, describir, analizar e interpretar un conjunto de datos que serán de utilidad para la toma de decisiones razonables.

**2. Tipos de Estadística**

**Descriptiva:**

Se encarga de describir datos relacionados con el estado de una población, permitiendo realizar análisis de muestras.

**Inferencial:**

Facilita el estudio de datos a partir de una escala menor, interpretándolos para atribuir las conclusiones a una escala mayor de datos.

**3. Población y Muestra**

**Población:**

Colección de datos, individuos u objetos cuyas propiedades son estudiadas.

**Muestra:**

Subconjunto de la población.

**4. Tipos de Datos**

**Cualitativos:**

No pueden medirse numéricamente,... Continuar leyendo "Introducción a la Estadística: Conceptos Básicos y Tipos de Datos" »

Ejercicios Resueltos de Estadística y Probabilidad

1. Contraste de Bondad de Ajuste y Frecuencia Esperada

Se está realizando un contraste de bondad de ajuste para conocer si los datos de una muestra de 100 elementos se ajustan a una distribución normal, con media 0,4 y desviación típica 2. Calcule la frecuencia esperada para la clase definida por el intervalo (0,4-1,4).

• a) 19,15.
• b) 38,38.
• c) 38,30.
• d) Ninguna es correcta.

2. Error de un Estimador Consistente

¿Cuál debería ser el error cometido por un estimador consistente al estimar el parámetro poblacional cuando el tamaño muestral es tan grande que prácticamente coincide con el poblacional?

• a) El error coincide con la varianza del estimador.
• b) El error es el 100%.
• c) El error debería ser

Asignación DE SUCESOS.

Llamaremos suceso a cada uno de los posibles resultados de un experimento o fenómeno aleatorio. Al suceso Formado por un único resultado se denomina suceso elemental. Se llama suceso seguro al suceso que siempre Ocurre, está formado por todos los sucesos elementales, se nota Ὠ. Al conjunto vacío, que se nota Ø , se denomina suceso imposible.

1- de cualquier modalidad x i es un número comprendido entre 0 y 1
2- La frecuencia relativa de dos o más modalidades es la suma de las frecuencias relativas de Cada una de las modalidades. Impar: 0.15+0.17+0.18
3- La frecuencia de todas las modalidades (suma de todas las frecuencias relativas) es 1

Cálculo de Asíntotas y Discontinuidades

Asíntotas

Asíntota f(x)=(3x⁴+1)/x³ x≠0

lim=1/0^-=-∞

A.Vertical x=0 x→0-

lim=1/0⁺=+∞

x→0+

A.Horizontal lim (3x⁴+1)/x³= lim (3+1/x⁴)/1/x=3+0/0⁺=+∞

(+∞) x→+∞ x→+∞

f(x)/x lim (3x⁴+1/x³)/x = lim 3x⁴+1/x⁴ = 3 (3=M)

x→+∞ x→+∞

f(x)-Mx lim (3x⁴+1/x³)-3x= lim (3x⁴+1-3x⁴)/x³ = 1/x³=0

x→+∞ x→+∞

lim (3x⁴+1)/x³= lim (3+1/x⁴)/1/x=3+0/0^-=-∞

(-∞) x→-∞ x→-∞

f(x)/x lim (3x⁴+1/x³)/x = lim 3x⁴+1/x⁴ = 3 (3=M)

x→-∞ x→-∞

f(x)-Mx lim (3x⁴+1/x³)-3x= lim (3x⁴+1-3x⁴)/x³ = 1/x³=0 (N)

x→-∞ x→-∞

Asíntota oblícua y=Mx+N M=3 x=x N=0 y=3x+0

ASÍNTOTAS Horizontales

lim f(x)

• No existe límite → no hay asíntota
• Da un nº → hay 1 asíntota horizontal
• +-∞ →

Problemas Fundamentales de la Circunferencia

Esta colección de ejercicios abarca diversos aspectos de la circunferencia, desde la determinación de sus elementos básicos hasta la resolución de problemas complejos que involucran tangencia, intersección y propiedades geométricas avanzadas. Cada problema está diseñado para fortalecer la comprensión de la ecuación de la circunferencia y sus aplicaciones en la geometría analítica.

1. Determinación de la Ecuación de la Circunferencia

Encuentre la ecuación de la circunferencia con las siguientes características:

• 1.1 Centro (0,0), radio 1.
• 1.2 Centro (-3,-4), radio 3.
• 1.3 Centro (0,5), radio 2.
• 1.4 Centro (-4,0), radio 4.
• 1.5 Centro (-1,2) y pasa por el punto B(3,2).
• 1.6 Centro (3,-2) y pasa

1. Explica con claridad los siguientes pares de conceptos, dejando claro si hay alguna relación entre ellos:

a) Grafo recorrible y grafo de Euler

Un grafo es de Euler si él mismo es un bucle de Euler, esto es, existe un bucle donde se pasa por cada arista del grafo exactamente una vez. Un grafo es recorrible si existe un camino abierto tal que pasa por cada arista del grafo exactamente una vez. Los primeros se pueden caracterizar como los grafos conexos con todos los vértices de grado par y los segundos como los grafos conexos con exactamente dos vértices de grado impar. Por tanto, si es recorrible no puede ser de Euler y viceversa. Si el grafo es recorrible, quitando o poniendo la arista que une los dos vértices de grado impar, se obtiene... Continuar leyendo "Fundamentos de Teoría de Grafos: Conceptos, Teoremas y Algoritmos Clave" »

Glosario de Conceptos Matemáticos Fundamentales

Estimación

Proceso por el que se sustituye un número real por otro próximo a él.

Redondeo

Proceso mediante el que se eliminan cifras significativas de un número a partir de su expresión decimal.

Error Absoluto

Mide la diferencia en un valor absoluto entre el valor real y la aproximación.

Error Relativo

Es el cociente entre el error absoluto y el valor real del número estimado.

Polinomio

Expresión algebraica de la forma P(x) = a_nxⁿ + ... + a₂x² + a₁x + a₀, donde a_n, ..., a₀ son coeficientes y n es un entero no negativo.

Valor Numérico de un Polinomio

Dado un polinomio P(x), el valor numérico para x=a se escribe P(a) y es el resultado que se obtiene al sustituir la variable x por a y operar.

Teorema

Fundamentos Esenciales de Probabilidad

PROBABILIDAD: Definimos probabilidad $P$, como una función que a cada suceso de un experimento aleatorio le asocia un número entre 0 y 1, y mide la facilidad de ocurrencia del suceso.

• Llamamos suceso seguro ($A$), a aquel que siempre ocurre y su probabilidad es 1.
• Llamamos suceso imposible ($B$), a aquel que nunca ocurre, y su probabilidad es 0.

Regla de Laplace

Si tenemos un espacio muestral ($E$), formado por sucesos elementales equiprobables, entonces la probabilidad de un suceso $A$ se calcula como:

$$P(A) = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$$

Un experimento aleatorio compuesto es el que está formado por varios experimentos simples o que se puede descomponer en varios experimentos... Continuar leyendo "Fundamentos Esenciales de Probabilidad: Conceptos Clave y Teoremas Fundamentales" »