Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Fórmulas Fundamentales de Progresiones Aritméticas

A continuación, se presentan las fórmulas esenciales para trabajar con progresiones aritméticas, seguidas de ejercicios resueltos para su aplicación práctica.

Fórmulas Clave

• Razón (r): La diferencia común entre términos consecutivos.

  r = (An - A1) / (n - 1)

• Número de términos (n): Cantidad de elementos en la progresión.

  n = (An - A1) / r + 1

• Primer término (A1): El valor inicial de la progresión.

  A1 = An - (n - 1) * r

• Término general (An): El valor de cualquier término 'n' en la progresión.

  An = A1 + (n - 1) * r

Ejercicios Resueltos de Progresiones Aritméticas

Problema #1: Cálculo del Término General (An)

Calcula el término general (An) en una progresión aritmética donde el primer

Factorización: Casos y Ejemplos

Caso I: Factor Común

Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.

Factor Común Monomio

Factor Común por Agrupación de Términos

ab + ac + ad = a ( b + c + d)

ax + bx + ay + by = (a + b )( x + y )

Factor Común Polinomio

Primero hay que sacar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente) para luego operar; ejemplo:

ab - bc = b(a-c)

Caso II: Factor Común por Agrupación de Términos

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.... Continuar leyendo "Guía Práctica de Factorización: Casos y Ejemplos" »

Caso I - Factor común DG

Este es el caso de factorización más sencillo, consiste en buscar un factor común y dividir todo por ese factor. { displaystyle a^{2}+ab=a(a+b)}

{ displaystyle 9a^{2}-12ab+15a^{3}b^{2}-24ab^{3}=3a(3a-4b+5a^{2}b^{2}-8b^{3})}

 a · b + a · c = a · (b + c)  

{ displaystyle ab+ac+ad=a(b+c+d) ,}

{ displaystyle ax+bx+ay+by=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b) ,}  si y solo si el polinomio es 0 y el cuatrinomio nos da x.

Factor común por polinomio igual:

Lo primero que se debe hacer colocar la base o el polinomio:

{ displaystyle 5x^{2}(x-y)+3x(x-y)+7(x-y) ,}

Se aprecia que se repite el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será sencillamente lo que queda del polinomio original, es decir:

{

Recta

RECTA: línea continua por puntos uno tras otro

Semirrecta

SEMIRECTA: subconjunto de puntos de una recta de la cual se le conoce un inicio y un final

Circunferencia

CIRCUNFERENCIA: conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo llamado centro

Círculo

CIRCULO: conjunto de puntos que cumplen con la condición de que su distancia al punto fijo llamado centro (área o superficie)

Centro

CENTRO: punto fijo del cual se sitúan los puntos de una circunferencia

Radio

RADIO: cuerda que va del centro de la circunferencia a cualquiera de sus puntos

Diámetro

DIÁMETRO: cuerda que toca dos puntos de la circunferencia pasando por el centro

Cuerda

CUERDA: recta que toca dos puntos de una circunferencia

Recta tangente

RECTA TANGENTE: recta que toca... Continuar leyendo "Conceptos básicos de geometría" »

Aro modernoko gizartea: Nobleek, Kleroa eta Herritar gehienak

Aro modernoko gizartea: Nobleek: ez zuten lan egiten/zergarik ez ordaindu/feudoetako zergak kobratzen dituzte/justizia administratzen zuten. Kleroak: funtzio espirituala zuen gizartean/diezmo kobratzen zituen/justizia propioa/erregeari ez zion zergarik ordaintzen/jaun feudalak izan ztezkeen goi kleroko kideak. Herritar gehienak: nekazariak, artisauak, merkatariak, medikuak/ez zuten juztizia propiorik/zergak ordaintzen/Feudoetan edo koroaren mendeko eremuetan bizi ziren. XV eta XVI ekonomia: Ekonomiaren ikuspegitik, Aro Modernoko Europak landakoa izaten jarraitu zuen, eta lurra zuen bizibide nagusia Alabaina, XV mendetik aurrera, artisautzak, eta batez ere merkataritzak, gero eta garrantzi... Continuar leyendo "Aro Modernoa: Nobleak, Kleroa eta Herritarrak" »

Nombres Reals: Conceptes Fonamentals

Els nombres reals són un conjunt fonamental en matemàtiques que inclou tant els nombres racionals com els irracionals. A continuació, explorarem les seves definicions, propietats i operacions essencials.

Nombres Racionals (Q)

Són els nombres que es poden expressar com una fracció a/b, on a i b són nombres enters i el denominador b és diferent de 0. Matemàticament, es representen com:

Q = {a/b | a, b ∈ ℤ, b ≠ 0}

Valor Absolut d'un Nombre Real

El valor absolut d'un nombre real a, denotat com |a|, és el mateix nombre a si és positiu o zero, i el seu oposat si és negatiu. Es defineix com:

|a| = { a si a ≥ 0; -a si a < 0 }

Entorn de Centre a i Radi r

Un entorn de centre a i radi r és l'interval... Continuar leyendo "Nombres Reals: Conceptes Fonamentals, Propietats i Operacions Essencials" »

Análisis de Audiencia Radiofónica

El porcentaje de personas que sintonizan un programa de radio se modela mediante una función. Analicemos su comportamiento:

1. a) S(6) = 660 - 231 * 6 + 27 * 6² - 6³ = 30. Esto indica que al comenzar la emisión, un 30% de las personas sintonizan el programa.

   S(12) = 660 - 231 * 12 + 27 * 12² - 12³ = 48. Al cierre de la emisión, un 48% de las personas están sintonizando.

2. b) Para encontrar los puntos críticos, calculamos la derivada de la función y la igualamos a cero:

   S'(t) = -231 + 54t - 3t² = 0 ; t = 7 ; t = 11.

   Evaluamos S(t) para t = 6, 7, 11 y 12:

   S(6) = 30 ; S(7) = 23 ; S(11) = 55 ; S(12) = 48.

   El máximo de audiencia es del 55% y se alcanza a las 11 horas. El mínimo de audiencia es del 23% y se alcanza

Botere Politikoaren Jatorria eta Zilegitasuna

Zilegitasuna

Botere politikoa legitimoa ote den galdetzen badugu, ez dugu botere horrek zer jatorri duen jakin nahi. Fenomeno batek jatorri bat edo bestea izan, fenomeno hori ona edo txarra den galdetu behar dugu, fenomeno horrekin jarraitzea edo hobetzea komeni den ala ez galdetu behar da.

Filosofo gehienen arabera, botere politikoa ezinbestekoa da gizarteak behar bezala funtzionatzeko. Gainera, zenbat eta biztanle gehiago izan, orduan eta premiazkoagoa da. Baina botere politiko guztiak ez dira legitimoak. Irizpideak behar ditugu, zer den legitimoa eta zer ez bereizteko. Botere politikoa legitimoa den jakiteko, dagokion funtzioa ondo betetzen ote duen hartu behar da kontuan, herritar batek besteari... Continuar leyendo "Botere Politikoaren Jatorria, Zilegitasuna eta Estatu Modernoaren Oinarriak" »

Conceptos Fundamentales de Trigonometría

Definiciones Clave

Tangente: Segmento comprendido desde el punto A (1, 0) hasta la intersección de la prolongación del radio vector con la recta tangente a la circunferencia goniométrica en (1, 0). Se representa como AT = tg α.

Radián: Es la medida del ángulo cuyo arco comprendido mide lo mismo que el radio de la circunferencia.

Razones Trigonométricas de un Ángulo Agudo (0° a 90°)

Las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) de un ángulo agudo, α, se definen a partir de un triángulo rectángulo ABC:

Relaciones Trigonométricas Fundamentales

Entre las razones trigonométricas existen las siguientes relaciones fundamentales:

1. sen²x + cos²x = 1
2. tg x = sen x / cos x
3. 1 + tg²x = 1 / cos²x

Demostración

Los beneficios de una empresa en sus primeros 8 años vienen dados, en millones de euros, por la función

a) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: B ‘(t) = 3t2/ 4 -6t + 9= 0 ; t=2 ; t=6. La función es creciente en el intervalo: (0,2) U (6,8) y decreciente en el intervalo: (2,6). Tiene un máximo relativo en el punto (2,8) y un mínimo relativo en (6,0). Calculamos los extremos absolutos.
Para ello vemos los valores que toma la función en los extremos del intervalo [0,8]. -B(0)= 0 ; -B(8)=8. Por lo tanto, el máximo absoluto es 8 y se alcanza para t=2 y t=8. El mínimo absoluto es 0 y se alcanza para t=0 y t=6. B) Hacemos la gráfica de la función: Viendo la gráfica, observamos que los beneficios crecen en los años... Continuar leyendo "Optimización de Funciones y Derivadas: Análisis y Aplicaciones" »