Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Pasos

1. Factorizar ambas partes de la función
2. Topar los ceros de la función:
   1. Para X: y=0. Se coloca la función simplificada e igualamos a cero (Como es una fracción, colocamos abajo del cero un uno y multiplicamos cruzado). Resolvemos las ecuaciones que saldrán del producto de arriba con el uno de abajo y los colocamos como valor de coordenadas.
   2. Para Y: x=0 ponemos otras vez la función simplificada pero ahora en las x pondremos cero, ahora multiplicaremos los valores y operaremos hasta encontrar un valor para y (Exacto a decimal)
3. Asíntotas Verticales: Igualamos a cero la parte de abajo (simplificada) de las que saldrán dos eccs. Se operan y se coloca el valor de X obtenido.
4. Asíntotas Horizontales: Seguiremos 3 conceptos: Si el coeficiente

¿Por qué la función lineal no tiene puntos críticos? Porque no cambia de monotonía, solo es una recta.

¿Qué determina la monotonía en una función cuadrática? El signo de A.

¿Cuál es el proceso para hallar los puntos críticos?

1. Sacar la primera derivada.
2. Igualar a 0.
3. Sustituir el valor de x en la función original.
4. Se saca la segunda derivada para saber si el punto crítico es máximo o mínimo.

¿Cuál es el proceso para hallar los puntos de inflexión?

1. Sacar la primera derivada.
2. Igualar a 0.
3. Resolver la ecuación.
4. Reemplazar el valor de x en la función original.
5. Sacar la tercera derivada para saber si es máximo o mínimo.

Escribir 7 características de una función polinómica:

• Dominio
• Rango
• Puntos críticos
• Puntos de inflexión
• Concavidad
• Simetría
• Monotonía
• No

Bolzano eta Darboux Teoremak

Bolzano: soluzioa badu. 1) f jarraia (a,b) tartean 2) ikurra f(a)f(b) // CE (a,b)/f(c)=0 Darboux: ebaki puntua 1) f eta g funtzioak jarraiak izatea a,b tartean 2) f(a)g(b) // CE (a,b)/f(c)=g(c)

Welerstras Teorema

1) f ja9rraia (a,b) tartean // a,b tartean funtzioan maximo eta minimo absolutuak ditu xE (a,b) f(a)(b)>

Roller Teorema

1) f jarraia (a,b) tartean 2) deribagarria (a,b) tartean 3) f(a)=f(a) // CE (a,b)/f´(c)=0

Bataz Bestekoa

1) f jarraia (a,b) tartean 2) deribagarria (a,b) tartean CE (a,b) / /f ´(c)= f(a)-f(b)/b-a

Matrizeen Determinanteak

1) IAI=0 - Errenk/zutab bateko elementua 0 badira. - Bi errenk/zutab berdinak badira. - Bi errenk/zutab proportzionalak badira. - Errenk/zutab bat beste biren konbinazio lineala... Continuar leyendo "Matematika Aplikatua" »

Distribución Binomial

Distribución Normal

Dominios

Funciones polinómicas:

Función racional: cociente de polinomio,

Función irracional: cuando la variable independiente está bajo el signo radical,

Funciones que tienen expresiones irracionales y racionales:

1º Debe existir la√

2º Hay que quitar lo que anula el denominador

Funciones exponenciales: cuando la base es una constante y en la exponente figura la x,

Funciones logarítmicas: cuando la x figura dentro de un logaritmo

1º

Funciones exponenciales: cuando la base es una constante y en la exponente figura la x,

Funciones logarítmicas: cuando la x figura dentro de un logaritmo

1º

2º

Tasa de variación media

Tasa de variación instantánea

Derivadas laterales

Representación

Derivación

La derivación se refiere al proceso de encontrar la tasa de cambio instantáneo de una función en un punto dado. La derivada de una función describe cómo cambia la función a medida que su variable independiente se desplaza infinitesimalmente. La fórmula fundamental para la derivación es la derivada, denotada generalmente como f'(x), que se expresa de la siguiente manera:

f ′(x)=lim_h→0 (f(x+h)-f(x))/h

Esta fórmula calcula la pendiente de la tangente a la curva de la función en un punto particular. La derivación permite analizar la velocidad, la aceleración, la pendiente de las curvas y muchos otros aspectos de un fenómeno.

Integración

La integración, por otro lado, se relaciona con la acumulación de cantidades o el... Continuar leyendo "

Derivación e Integración: Conceptos Fundamentales del Cálculo

Conjuntos

A ⊂ B (Subconjunto)
A = B (Conjuntos iguales)
A ∪ B (Unión)
A ∩ B (Intersección)

Operaciones con Racionales

Suma:
a/b + c/b = (a + c)/b
a/b + c/d = (ad + bc)/bd
a/b + c/bn = (an + c)/bn
Producto:
a/b * c/d = ac/bd
División:
(a/b) / (c/d) = (ad)/(bc)

Leyes de los Exponentes

1. (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
2. (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
3. aⁿa^m = a^n+m
4. a^m/aⁿ = a^m-n
5. (aⁿ)^m = a^nm
6. a^-1 = 1/a
7. a^-n = 1/aⁿ
8. a⁰ = 1

Propiedades de las Raíces

1. ⁿ√(a^m) = (ⁿ√a)^m
2. ⁿ√(ab) = ⁿ√a * ⁿ√b
3. ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b
4. ^m√(ⁿ√a) = ^mn√a

Ejemplos de Raíces

∛64 = ∛(8²) = (∛8)²= 2² = 4
∛1000 = ∛(8 * 125) = ∛8 * ∛125 = 2 * 5 = 10
⁴√(16/81) = ⁴√16 / ⁴√81 = 2/3
∛√64 = ⁶√64 = 2

Propiedades de los Logaritmos

1. log_b(AB) = log_bA + log_bB
2. log_b(A/B) = log_bA - log_bB
3. log_b(Aⁿ) = n log_bA
4. log_b(^m√(

La función de beneficios f, en miles de euros, de una empresa depende de la cantidad invertida x, en miles de euros, en un determinado proyecto de innovación y viene dada por:

Maximización de Beneficios

A) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: f'(x) = -4x + 36 = 0 ; x=9. La función es creciente en el intervalo: (0, 9) y decreciente en el intervalo: (9, + ∞). Tiene un máximo relativo en el punto (9, 300). Luego, la inversión que maximiza el beneficio es x = 9 mil € y el beneficio óptimo es f (9) = 300 mil €.

Análisis de la Derivada

b) f ‘(7) = -4 * 7 + 36 = 8 > 0. Al ser positivo el valor de la derivada de esta función en ese punto, nos indica que la función es creciente en dicho punto.

Cálculo de Inversión

Glosario de Conceptos Estadísticos y Probabilísticos

Variables, Población y Muestreo

Característica de los **elementos** de una **población** que puede tomar cualquier valor y que se evalúa a través de una muestra.

Variable

Información **numérica** que se obtiene de una población.

Parámetro

Técnica que se emplea para obtener **información** de un universo a través de un grupo de sus integrantes.

Muestreo

Integrante de una población.

Elemento

Variable que clasifica siguiendo un **orden o jerarquía**.

Ordinal

Variable que clasifica **sin orden o jerarquía**.

Nominal

Variable que puede tomar **valores enteros y/o fraccionarios**.

Continua

Característica de los **elementos** de una población que puede tomar cualquier valor y que se evalúa a

Espacio Muestral

Se llama espacio muestral al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Se designa como E.

Ejemplo: ¿Cuál es el espacio muestral que corresponde al lanzamiento de un dado?

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Suceso

Un suceso es cualquier subconjunto de E.

Ejemplo: ¿Qué elementos forman el suceso “obtener número par” cuando lanzamos un dado?

A = {2, 4, 6}

Suceso Elemental

Un suceso elemental es aquel formado por cada uno de los elementos que forman el espacio muestral.

Ejemplo: ¿Cuáles son los sucesos elementales que se obtienen al lanzar un dado?

A = {1}, B = {2}, C = {3}, D = {4}, E = {5}, F = {6}

Suceso Seguro

Es el que ocurre siempre en un determinado experimento. Se representa por E.

Ejemplo: ¿Qué elementos... Continuar leyendo "Probabilidad: Conceptos básicos y aplicaciones" »