Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Derivación

La derivación se refiere al proceso de encontrar la tasa de cambio instantáneo de una función en un punto dado. La derivada de una función describe cómo cambia la función a medida que su variable independiente se desplaza infinitesimalmente. La fórmula fundamental para la derivación es la derivada, denotada generalmente como f'(x), que se expresa de la siguiente manera:

f ′(x)=lim_h→0 (f(x+h)-f(x))/h

Esta fórmula calcula la pendiente de la tangente a la curva de la función en un punto particular. La derivación permite analizar la velocidad, la aceleración, la pendiente de las curvas y muchos otros aspectos de un fenómeno.

Integración

La integración, por otro lado, se relaciona con la acumulación de cantidades o el... Continuar leyendo "

Derivación e Integración: Conceptos Fundamentales del Cálculo

DIFERENCIES ARREL GREGA

• Mida comunitats
• Societats compactes: la gent estava molt cohesionada amb la seva polis
• El ciutada tenia una democracia directa ja que manaven ells, havia una participació molt directa
• La democracia s'exercia en l'ambit public(homes), donava lloc a les asambleas
• La política ocupava el dia a dia de les persones

SEMBLACES

• La relació amb el poder polític no seria del tot igual ja que els polítics nos fan el que diuen pero des d'una altre perspectiva si que es igual perque nosaltres escogim al polític
• Ser ciutada implica que participar en la política per els grecs era obligatori pero per nosaltres es mes necessasri
• Podem pensar que si tenim una societat ben formada la democracia funciona millor

BASES SISTEMA REPRESENATATIU

• Sufragi

Conjuntos

A ⊂ B (Subconjunto)
A = B (Conjuntos iguales)
A ∪ B (Unión)
A ∩ B (Intersección)

Operaciones con Racionales

Suma:
a/b + c/b = (a + c)/b
a/b + c/d = (ad + bc)/bd
a/b + c/bn = (an + c)/bn
Producto:
a/b * c/d = ac/bd
División:
(a/b) / (c/d) = (ad)/(bc)

Leyes de los Exponentes

1. (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
2. (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
3. aⁿa^m = a^n+m
4. a^m/aⁿ = a^m-n
5. (aⁿ)^m = a^nm
6. a^-1 = 1/a
7. a^-n = 1/aⁿ
8. a⁰ = 1

Propiedades de las Raíces

1. ⁿ√(a^m) = (ⁿ√a)^m
2. ⁿ√(ab) = ⁿ√a * ⁿ√b
3. ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b
4. ^m√(ⁿ√a) = ^mn√a

Ejemplos de Raíces

∛64 = ∛(8²) = (∛8)²= 2² = 4
∛1000 = ∛(8 * 125) = ∛8 * ∛125 = 2 * 5 = 10
⁴√(16/81) = ⁴√16 / ⁴√81 = 2/3
∛√64 = ⁶√64 = 2

Propiedades de los Logaritmos

1. log_b(AB) = log_bA + log_bB
2. log_b(A/B) = log_bA - log_bB
3. log_b(Aⁿ) = n log_bA
4. log_b(^m√(

La función de beneficios f, en miles de euros, de una empresa depende de la cantidad invertida x, en miles de euros, en un determinado proyecto de innovación y viene dada por:

Maximización de Beneficios

A) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: f'(x) = -4x + 36 = 0 ; x=9. La función es creciente en el intervalo: (0, 9) y decreciente en el intervalo: (9, + ∞). Tiene un máximo relativo en el punto (9, 300). Luego, la inversión que maximiza el beneficio es x = 9 mil € y el beneficio óptimo es f (9) = 300 mil €.

Análisis de la Derivada

b) f ‘(7) = -4 * 7 + 36 = 8 > 0. Al ser positivo el valor de la derivada de esta función en ese punto, nos indica que la función es creciente en dicho punto.

Cálculo de Inversión

Espacio Muestral

Se llama espacio muestral al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Se designa como E.

Ejemplo: ¿Cuál es el espacio muestral que corresponde al lanzamiento de un dado?

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Suceso

Un suceso es cualquier subconjunto de E.

Ejemplo: ¿Qué elementos forman el suceso “obtener número par” cuando lanzamos un dado?

A = {2, 4, 6}

Suceso Elemental

Un suceso elemental es aquel formado por cada uno de los elementos que forman el espacio muestral.

Ejemplo: ¿Cuáles son los sucesos elementales que se obtienen al lanzar un dado?

A = {1}, B = {2}, C = {3}, D = {4}, E = {5}, F = {6}

Suceso Seguro

Es el que ocurre siempre en un determinado experimento. Se representa por E.

Ejemplo: ¿Qué elementos... Continuar leyendo "Probabilidad: Conceptos básicos y aplicaciones" »

Fórmulas Fundamentales de Progresiones Aritméticas

A continuación, se presentan las fórmulas esenciales para trabajar con progresiones aritméticas, seguidas de ejercicios resueltos para su aplicación práctica.

Fórmulas Clave

• Razón (r): La diferencia común entre términos consecutivos.

  r = (An - A1) / (n - 1)

• Número de términos (n): Cantidad de elementos en la progresión.

  n = (An - A1) / r + 1

• Primer término (A1): El valor inicial de la progresión.

  A1 = An - (n - 1) * r

• Término general (An): El valor de cualquier término 'n' en la progresión.

  An = A1 + (n - 1) * r

Ejercicios Resueltos de Progresiones Aritméticas

Problema #1: Cálculo del Término General (An)

Calcula el término general (An) en una progresión aritmética donde el primer

Factorización: Casos y Ejemplos

Caso I: Factor Común

Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.

Factor Común Monomio

Factor Común por Agrupación de Términos

ab + ac + ad = a ( b + c + d)

ax + bx + ay + by = (a + b )( x + y )

Factor Común Polinomio

Primero hay que sacar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente) para luego operar; ejemplo:

ab - bc = b(a-c)

Caso II: Factor Común por Agrupación de Términos

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.... Continuar leyendo "Guía Práctica de Factorización: Casos y Ejemplos" »

Caso I - Factor común DG

Este es el caso de factorización más sencillo, consiste en buscar un factor común y dividir todo por ese factor. { displaystyle a^{2}+ab=a(a+b)}

{ displaystyle 9a^{2}-12ab+15a^{3}b^{2}-24ab^{3}=3a(3a-4b+5a^{2}b^{2}-8b^{3})}

 a · b + a · c = a · (b + c)  

{ displaystyle ab+ac+ad=a(b+c+d) ,}

{ displaystyle ax+bx+ay+by=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b) ,}  si y solo si el polinomio es 0 y el cuatrinomio nos da x.

Factor común por polinomio igual:

Lo primero que se debe hacer colocar la base o el polinomio:

{ displaystyle 5x^{2}(x-y)+3x(x-y)+7(x-y) ,}

Se aprecia que se repite el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será sencillamente lo que queda del polinomio original, es decir:

{

Recta

RECTA: línea continua por puntos uno tras otro

Semirrecta

SEMIRECTA: subconjunto de puntos de una recta de la cual se le conoce un inicio y un final

Circunferencia

CIRCUNFERENCIA: conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo llamado centro

Círculo

CIRCULO: conjunto de puntos que cumplen con la condición de que su distancia al punto fijo llamado centro (área o superficie)

Centro

CENTRO: punto fijo del cual se sitúan los puntos de una circunferencia

Radio

RADIO: cuerda que va del centro de la circunferencia a cualquiera de sus puntos

Diámetro

DIÁMETRO: cuerda que toca dos puntos de la circunferencia pasando por el centro

Cuerda

CUERDA: recta que toca dos puntos de una circunferencia

Recta tangente

RECTA TANGENTE: recta que toca... Continuar leyendo "Conceptos básicos de geometría" »

Aro modernoko gizartea: Nobleek, Kleroa eta Herritar gehienak

Aro modernoko gizartea: Nobleek: ez zuten lan egiten/zergarik ez ordaindu/feudoetako zergak kobratzen dituzte/justizia administratzen zuten. Kleroak: funtzio espirituala zuen gizartean/diezmo kobratzen zituen/justizia propioa/erregeari ez zion zergarik ordaintzen/jaun feudalak izan ztezkeen goi kleroko kideak. Herritar gehienak: nekazariak, artisauak, merkatariak, medikuak/ez zuten juztizia propiorik/zergak ordaintzen/Feudoetan edo koroaren mendeko eremuetan bizi ziren. XV eta XVI ekonomia: Ekonomiaren ikuspegitik, Aro Modernoko Europak landakoa izaten jarraitu zuen, eta lurra zuen bizibide nagusia Alabaina, XV mendetik aurrera, artisautzak, eta batez ere merkataritzak, gero eta garrantzi... Continuar leyendo "Aro Modernoa: Nobleak, Kleroa eta Herritarrak" »