Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Cálculo de Asíntotas y Discontinuidades

Asíntotas

Asíntota f(x)=(3x⁴+1)/x³ x≠0

lim=1/0^-=-∞

A.Vertical x=0 x→0-

lim=1/0⁺=+∞

x→0+

A.Horizontal lim (3x⁴+1)/x³= lim (3+1/x⁴)/1/x=3+0/0⁺=+∞

(+∞) x→+∞ x→+∞

f(x)/x lim (3x⁴+1/x³)/x = lim 3x⁴+1/x⁴ = 3 (3=M)

x→+∞ x→+∞

f(x)-Mx lim (3x⁴+1/x³)-3x= lim (3x⁴+1-3x⁴)/x³ = 1/x³=0

x→+∞ x→+∞

lim (3x⁴+1)/x³= lim (3+1/x⁴)/1/x=3+0/0^-=-∞

(-∞) x→-∞ x→-∞

f(x)/x lim (3x⁴+1/x³)/x = lim 3x⁴+1/x⁴ = 3 (3=M)

x→-∞ x→-∞

f(x)-Mx lim (3x⁴+1/x³)-3x= lim (3x⁴+1-3x⁴)/x³ = 1/x³=0 (N)

x→-∞ x→-∞

Asíntota oblícua y=Mx+N M=3 x=x N=0 y=3x+0

ASÍNTOTAS Horizontales

lim f(x)

• No existe límite → no hay asíntota
• Da un nº → hay 1 asíntota horizontal
• +-∞ →

Lehenengo fasea:
Mugimendu gerra (1914)

Ofentsiba orokorra eta zabala

ekialdeko frontean

• casus belli: Gavrilo prinzip-ek Austria Hungariako artxiduke Fran Ferdinad eta Sofia chotek hil zuten Sarajevoko atentatuan.

• Austria-Hungariak Serbia inbaditu.

• Erantzun gisa, Errusia Alemania erasotu.

• Alemaniak erreakzionatu eta Tannenbergen errusiarrak suntsitu eta Errusian barrena egin zuen.

Mendebaldeko frontean:

• Alemaniarrek Schilieffen plana jarraituta, Belgika eta Luxenburgo inbaditu. Frantzian sartu eta Parisetik 40km gedatu ziren.

Bigarren fasea:Lubaki edo posizio gerra(1915-1916)

Lubakiak eta arma berriak:
Hegazkinak, metrailadoreak, kamuflajea, gas mostaza, urpekotziak...

Mendebaldeko frontean: Gerra egonkortu egiten da: Desgaste gerra.

• Verdun1916: (otsaila-

Regresión Múltiple: Conceptos Clave

Coeficientes y su Significancia

La presencia de multicolinealidad severa invalida las pruebas t en un modelo de regresión múltiple porque aumenta las desviaciones estándar, lo que disminuye la significancia de los parámetros.

El análisis de regresión múltiple es el análisis de regresión condicional sobre los valores fijos de las variables explicativas. El resultado es el valor promedio o la media de Y, o la respuesta media de Y a los valores dados de las regresoras X.

R Cuadrado y su Interpretación

Una propiedad importante de R² es que es una función no decreciente del número de variables explicativas o regresoras presentes en el modelo. A medida que aumenta el número de regresoras, R² aumenta... Continuar leyendo "Regresión múltiple: Coeficientes, R cuadrado y variables dicotómicas" »

¿Cómo se realiza la estadística?

Obtener datos, conocer las funciones de densidad (lo importante es comparar una variable con respecto a otra).

Función de Densidad

Describe la probabilidad relativa según la cual dicha variable tomará determinado valor.

Regresión Lineal

Es un modelo matemático que sirve para aproximar la relación de dependencia entre la variable dependiente (y) y las variables independientes (xi) y un término aleatorio.

Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO)

Es un método que ayuda a encontrar los parámetros poblacionales de una regresión lineal. Este método minimiza la suma de las distancias entre las respuestas observadas en una muestra y las respuestas del modelo. Cuando los errores son homocedásticos y además no haya

Conceptos Fundamentales de Geometría Descriptiva: Puntos, Rectas y Planos

Este documento aborda preguntas clave sobre las propiedades y relaciones espaciales de puntos, rectas y planos en el contexto de la geometría descriptiva, incluyendo el sistema de planos acotados. Se exploran conceptos como paralelismo, perpendicularidad, pendiente, módulo y abatimiento, esenciales para la comprensión de la representación tridimensional.

Punto Exterior a un Plano

• 1. Por un punto A exterior a un plano P, ¿cuántos planos perpendiculares al plano P pasan? Infinitos.
• 3. Por un punto A exterior a un plano P de pendiente 30%, ¿cuántas rectas paralelas y de pendiente 20% pasan? Dos.
• 5. Por un punto A exterior a un plano P, ¿cuántas rectas paralelas al

Pasos

1. Factorizar ambas partes de la función
2. Topar los ceros de la función:
   1. Para X: y=0. Se coloca la función simplificada e igualamos a cero (Como es una fracción, colocamos abajo del cero un uno y multiplicamos cruzado). Resolvemos las ecuaciones que saldrán del producto de arriba con el uno de abajo y los colocamos como valor de coordenadas.
   2. Para Y: x=0 ponemos otras vez la función simplificada pero ahora en las x pondremos cero, ahora multiplicaremos los valores y operaremos hasta encontrar un valor para y (Exacto a decimal)
3. Asíntotas Verticales: Igualamos a cero la parte de abajo (simplificada) de las que saldrán dos eccs. Se operan y se coloca el valor de X obtenido.
4. Asíntotas Horizontales: Seguiremos 3 conceptos: Si el coeficiente

¿Por qué la función lineal no tiene puntos críticos? Porque no cambia de monotonía, solo es una recta.

¿Qué determina la monotonía en una función cuadrática? El signo de A.

¿Cuál es el proceso para hallar los puntos críticos?

1. Sacar la primera derivada.
2. Igualar a 0.
3. Sustituir el valor de x en la función original.
4. Se saca la segunda derivada para saber si el punto crítico es máximo o mínimo.

¿Cuál es el proceso para hallar los puntos de inflexión?

1. Sacar la primera derivada.
2. Igualar a 0.
3. Resolver la ecuación.
4. Reemplazar el valor de x en la función original.
5. Sacar la tercera derivada para saber si es máximo o mínimo.

Escribir 7 características de una función polinómica:

• Dominio
• Rango
• Puntos críticos
• Puntos de inflexión
• Concavidad
• Simetría
• Monotonía
• No

Bolzano eta Darboux Teoremak

Bolzano: soluzioa badu. 1) f jarraia (a,b) tartean 2) ikurra f(a)f(b) // CE (a,b)/f(c)=0 Darboux: ebaki puntua 1) f eta g funtzioak jarraiak izatea a,b tartean 2) f(a)g(b) // CE (a,b)/f(c)=g(c)

Welerstras Teorema

1) f ja9rraia (a,b) tartean // a,b tartean funtzioan maximo eta minimo absolutuak ditu xE (a,b) f(a)(b)>

Roller Teorema

1) f jarraia (a,b) tartean 2) deribagarria (a,b) tartean 3) f(a)=f(a) // CE (a,b)/f´(c)=0

Bataz Bestekoa

1) f jarraia (a,b) tartean 2) deribagarria (a,b) tartean CE (a,b) / /f ´(c)= f(a)-f(b)/b-a

Matrizeen Determinanteak

1) IAI=0 - Errenk/zutab bateko elementua 0 badira. - Bi errenk/zutab berdinak badira. - Bi errenk/zutab proportzionalak badira. - Errenk/zutab bat beste biren konbinazio lineala... Continuar leyendo "Matematika Aplikatua" »

Distribución Binomial

Distribución Normal

Dominios

Funciones polinómicas:

Función racional: cociente de polinomio,

Función irracional: cuando la variable independiente está bajo el signo radical,

Funciones que tienen expresiones irracionales y racionales:

1º Debe existir la√

2º Hay que quitar lo que anula el denominador

Funciones exponenciales: cuando la base es una constante y en la exponente figura la x,

Funciones logarítmicas: cuando la x figura dentro de un logaritmo

1º

Funciones exponenciales: cuando la base es una constante y en la exponente figura la x,

Funciones logarítmicas: cuando la x figura dentro de un logaritmo

1º

2º

Tasa de variación media

Tasa de variación instantánea

Derivadas laterales

Representación