Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

¿Cómo se realiza la estadística?

Obtener datos, conocer las funciones de densidad (lo importante es comparar una variable con respecto a otra).

Función de Densidad

Describe la probabilidad relativa según la cual dicha variable tomará determinado valor.

Regresión Lineal

Es un modelo matemático que sirve para aproximar la relación de dependencia entre la variable dependiente (y) y las variables independientes (xi) y un término aleatorio.

Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO)

Es un método que ayuda a encontrar los parámetros poblacionales de una regresión lineal. Este método minimiza la suma de las distancias entre las respuestas observadas en una muestra y las respuestas del modelo. Cuando los errores son homocedásticos y además no haya

Pasos

1. Factorizar ambas partes de la función
2. Topar los ceros de la función:
   1. Para X: y=0. Se coloca la función simplificada e igualamos a cero (Como es una fracción, colocamos abajo del cero un uno y multiplicamos cruzado). Resolvemos las ecuaciones que saldrán del producto de arriba con el uno de abajo y los colocamos como valor de coordenadas.
   2. Para Y: x=0 ponemos otras vez la función simplificada pero ahora en las x pondremos cero, ahora multiplicaremos los valores y operaremos hasta encontrar un valor para y (Exacto a decimal)
3. Asíntotas Verticales: Igualamos a cero la parte de abajo (simplificada) de las que saldrán dos eccs. Se operan y se coloca el valor de X obtenido.
4. Asíntotas Horizontales: Seguiremos 3 conceptos: Si el coeficiente

¿Por qué la función lineal no tiene puntos críticos? Porque no cambia de monotonía, solo es una recta.

¿Qué determina la monotonía en una función cuadrática? El signo de A.

¿Cuál es el proceso para hallar los puntos críticos?

1. Sacar la primera derivada.
2. Igualar a 0.
3. Sustituir el valor de x en la función original.
4. Se saca la segunda derivada para saber si el punto crítico es máximo o mínimo.

¿Cuál es el proceso para hallar los puntos de inflexión?

1. Sacar la primera derivada.
2. Igualar a 0.
3. Resolver la ecuación.
4. Reemplazar el valor de x en la función original.
5. Sacar la tercera derivada para saber si es máximo o mínimo.

Escribir 7 características de una función polinómica:

• Dominio
• Rango
• Puntos críticos
• Puntos de inflexión
• Concavidad
• Simetría
• Monotonía
• No

Bolzano eta Darboux Teoremak

Bolzano: soluzioa badu. 1) f jarraia (a,b) tartean 2) ikurra f(a)f(b) // CE (a,b)/f(c)=0 Darboux: ebaki puntua 1) f eta g funtzioak jarraiak izatea a,b tartean 2) f(a)g(b) // CE (a,b)/f(c)=g(c)

Welerstras Teorema

1) f ja9rraia (a,b) tartean // a,b tartean funtzioan maximo eta minimo absolutuak ditu xE (a,b) f(a)(b)>

Roller Teorema

1) f jarraia (a,b) tartean 2) deribagarria (a,b) tartean 3) f(a)=f(a) // CE (a,b)/f´(c)=0

Bataz Bestekoa

1) f jarraia (a,b) tartean 2) deribagarria (a,b) tartean CE (a,b) / /f ´(c)= f(a)-f(b)/b-a

Matrizeen Determinanteak

1) IAI=0 - Errenk/zutab bateko elementua 0 badira. - Bi errenk/zutab berdinak badira. - Bi errenk/zutab proportzionalak badira. - Errenk/zutab bat beste biren konbinazio lineala... Continuar leyendo "Matematika Aplikatua" »

Distribución Binomial

Distribución Normal

Dominios

Funciones polinómicas:

Función racional: cociente de polinomio,

Función irracional: cuando la variable independiente está bajo el signo radical,

Funciones que tienen expresiones irracionales y racionales:

1º Debe existir la√

2º Hay que quitar lo que anula el denominador

Funciones exponenciales: cuando la base es una constante y en la exponente figura la x,

Funciones logarítmicas: cuando la x figura dentro de un logaritmo

1º

Funciones exponenciales: cuando la base es una constante y en la exponente figura la x,

Funciones logarítmicas: cuando la x figura dentro de un logaritmo

1º

2º

Tasa de variación media

Tasa de variación instantánea

Derivadas laterales

Representación

Derivación

La derivación se refiere al proceso de encontrar la tasa de cambio instantáneo de una función en un punto dado. La derivada de una función describe cómo cambia la función a medida que su variable independiente se desplaza infinitesimalmente. La fórmula fundamental para la derivación es la derivada, denotada generalmente como f'(x), que se expresa de la siguiente manera:

f ′(x)=lim_h→0 (f(x+h)-f(x))/h

Esta fórmula calcula la pendiente de la tangente a la curva de la función en un punto particular. La derivación permite analizar la velocidad, la aceleración, la pendiente de las curvas y muchos otros aspectos de un fenómeno.

Integración

La integración, por otro lado, se relaciona con la acumulación de cantidades o el... Continuar leyendo "

Derivación e Integración: Conceptos Fundamentales del Cálculo

DIFERENCIES ARREL GREGA

• Mida comunitats
• Societats compactes: la gent estava molt cohesionada amb la seva polis
• El ciutada tenia una democracia directa ja que manaven ells, havia una participació molt directa
• La democracia s'exercia en l'ambit public(homes), donava lloc a les asambleas
• La política ocupava el dia a dia de les persones

SEMBLACES

• La relació amb el poder polític no seria del tot igual ja que els polítics nos fan el que diuen pero des d'una altre perspectiva si que es igual perque nosaltres escogim al polític
• Ser ciutada implica que participar en la política per els grecs era obligatori pero per nosaltres es mes necessasri
• Podem pensar que si tenim una societat ben formada la democracia funciona millor

BASES SISTEMA REPRESENATATIU

• Sufragi

Conjuntos

A ⊂ B (Subconjunto)
A = B (Conjuntos iguales)
A ∪ B (Unión)
A ∩ B (Intersección)

Operaciones con Racionales

Suma:
a/b + c/b = (a + c)/b
a/b + c/d = (ad + bc)/bd
a/b + c/bn = (an + c)/bn
Producto:
a/b * c/d = ac/bd
División:
(a/b) / (c/d) = (ad)/(bc)

Leyes de los Exponentes

1. (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
2. (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
3. aⁿa^m = a^n+m
4. a^m/aⁿ = a^m-n
5. (aⁿ)^m = a^nm
6. a^-1 = 1/a
7. a^-n = 1/aⁿ
8. a⁰ = 1

Propiedades de las Raíces

1. ⁿ√(a^m) = (ⁿ√a)^m
2. ⁿ√(ab) = ⁿ√a * ⁿ√b
3. ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b
4. ^m√(ⁿ√a) = ^mn√a

Ejemplos de Raíces

∛64 = ∛(8²) = (∛8)²= 2² = 4
∛1000 = ∛(8 * 125) = ∛8 * ∛125 = 2 * 5 = 10
⁴√(16/81) = ⁴√16 / ⁴√81 = 2/3
∛√64 = ⁶√64 = 2

Propiedades de los Logaritmos

1. log_b(AB) = log_bA + log_bB
2. log_b(A/B) = log_bA - log_bB
3. log_b(Aⁿ) = n log_bA
4. log_b(^m√(

La función de beneficios f, en miles de euros, de una empresa depende de la cantidad invertida x, en miles de euros, en un determinado proyecto de innovación y viene dada por:

Maximización de Beneficios

A) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: f'(x) = -4x + 36 = 0 ; x=9. La función es creciente en el intervalo: (0, 9) y decreciente en el intervalo: (9, + ∞). Tiene un máximo relativo en el punto (9, 300). Luego, la inversión que maximiza el beneficio es x = 9 mil € y el beneficio óptimo es f (9) = 300 mil €.

Análisis de la Derivada

b) f ‘(7) = -4 * 7 + 36 = 8 > 0. Al ser positivo el valor de la derivada de esta función en ese punto, nos indica que la función es creciente en dicho punto.

Cálculo de Inversión