Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Raíces Comunes de Polinomios

Teorema 1: Combinación Lineal de Polinomios con Raíces Comunes

Si dos funciones polinómicas f(x) y g(x) tienen una raíz α en común, entonces α es también raíz de la función polinómica s(x), siendo s(x) el polinomio que resulta de sumar f(x) con g(x) previamente multiplicados por números reales m y n cualesquiera.

• Hipótesis (H):
  • f(x) es una función polinómica.
  • g(x) es una función polinómica.
  • Existe un valor α tal que f(α) = 0 y g(α) = 0.
• Tesis (T): s(α) = 0, siendo s(x) = m ⋅ f(x) + n ⋅ g(x) para m, n ∈ ℝ.

Demostración:

Consideramos la expresión de s(x):

s(x) = m ⋅ f(x) + n ⋅ g(x)

Sustituimos la variable x por la raíz común α:

s(α) = m ⋅ f(α) + n ⋅ g(α)

Por hipótesis, sabemos que... Continuar leyendo "Raíces Comunes y Relaciones de Vieta en Polinomios" »

Regla de Sarrus:

Positivos: a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32

Negativos: -a13·a22·a31-a12·a21·a33-a11·a23·a32

Determinantes   ( y sarrus)

si el rango no da cero el det, el rango es el k marquen filas y columnas..

(3filas-3columnas = rango 3) .. y así sucesivamente

Ejemplos de sarrus:

1) aplicando sarrus, calcula estos determinantes:

a)

b)

2) Desarrollando por una fila o una columna, calcula estos determinantes:

a)

b)

- 0

c)

Matrices:

1) Calcula a,b,c y d xra k se cumpla:

2a=a+5                       a=5      2b=7+5+b -> b=12

2b=7+a+b

2c=-2+c+d                  2c= -2+c - 4 -> c=- 6

2d=3d+4                     d= -4

2) Dadas las matrices:

  Calcula:

a) M+N - (2M-3N)

M+N... Continuar leyendo "Reglas" »

Limites - Indeterminaciones

 Para resolver esta indeterminacion:

1. Comparando infinitos

2. Si son funciones potenciales dividimos todos los sumandos por la x elevada al mayor exponente.

3. Si son funciones exponenciales dividimos por la exponencial de mayor base.

Para resolver...

1. Comparacion de infinitos

2. Con funciones raciones, comun denominador

3. Cuando tienen raices, multiplicamos por el conjugado

1. Funcion racional sin radicales: Se descomponen en factores y se simplifica la fracción.

2. Funcion racional con radicales: Conjugado

Para resolverla se transforma la exp a una potencia del numero e.

Continuidad en un intervalo

Una función se dice que es continua en un intervalo de R si es continua en cada pto del intervalo.

Teorema de Bolzano

Si... Continuar leyendo "Optimización de funciones" »