Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

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Conjunt numeric i logaritmes

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nombres complexos
es un nombre complex una part real i laltre imaginaria: C={a+bi|a b R} a a=part real a b= part imaginaria (arrel d -1 = i) ex: arrel de 36xarrel d -1 =6i
ZC sanomena imaginari pur si z=a+bi i a=0(no t part real)
si ZEC z=a+bi b=0=z=a=Z es un nombre real (si la part imaginaria es un nombre real)
Igualtat dels nombres complexos
z=a+bi z2=a'+b'i zi=z2 a=a1 b=b1
opasat i conjugat
el nombre -z=-a-bi es loposat d z
el nombre Z=a-bi es el conjugat z
representacio dels nombres complexos
el conjunt dels complexos no sta ordenat ja q entre 2 punts del pla no es pot establir una jerarquia d'ordre
suma de nombres de complexos:
z=a+bi i z=c+di = z+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
productes d nombres d complexos
z=a+bi i z=c+di = z+z2=(ac-bd)+(ad+... Continuar leyendo "Conjunt numeric i logaritmes" »
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Definiciones de geometría: lugar geométrico

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Lugar Geométrico: Conjunto de puntos que cumplen una propiedad.
Circunferencia: Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan del centro.
Bisectriz: Punto que equidista de dos semirectas que se cortan.
Mediatriz: lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento, este lugar geométrico resulta ser la recta perpendicular al segmento por su punto medio.
Ángulo: Porcion de espacio entre 2 rectas que tienen 1 punto en comun.
Ángulo Capaz: Define el geometrico de los puntos desde los cuales vemos un segmento con el mismo ángulo.
Eje Radical: lugar geometrico de los puntos que tienen igual potencia, respecto a dos circunferencias
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Raíces Comunes y Relaciones de Vieta en Polinomios

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Raíces Comunes de Polinomios

Teorema 1: Combinación Lineal de Polinomios con Raíces Comunes

Si dos funciones polinómicas f(x) y g(x) tienen una raíz α en común, entonces α es también raíz de la función polinómica s(x), siendo s(x) el polinomio que resulta de sumar f(x) con g(x) previamente multiplicados por números reales m y n cualesquiera.

  • Hipótesis (H):
    • f(x) es una función polinómica.
    • g(x) es una función polinómica.
    • Existe un valor α tal que f(α) = 0 y g(α) = 0.
  • Tesis (T): s(α) = 0, siendo s(x) = m ⋅ f(x) + n ⋅ g(x) para m, n ∈ ℝ.

Demostración:

Consideramos la expresión de s(x):

s(x) = m ⋅ f(x) + n ⋅ g(x)

Sustituimos la variable x por la raíz común α:

s(α) = m ⋅ f(α) + n ⋅ g(α)

Por hipótesis, sabemos que... Continuar leyendo "Raíces Comunes y Relaciones de Vieta en Polinomios" »

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Conectores

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sn:la meva veina xinesa sempre menja xiclets de menta
pronom:tu mai no en menges
adj,subtantivat:el gran te molt gelos
inf,subs:triomfar no sempre es necesari
oracio subs:m agada q me escolteu
 subjecte.explicit,delante o atras del vervo
la directora sha perdut a costa d ivori
elipti,anireu al cine dema
impersonal no tenen subjecte,al desembre va nevar molt
passiu rep la accio,el condutor del ferrare va ser detingut
determinant:aquella,segon,mitja
deter:article,demostratiu,possesiu,numerals,quantitatius,indefinits,interrogatius
pronom:demostratiu,possesiu,numerals, quantitatius,indefinits,numerals,relatius,personal tonics ,p.atoms
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Trigonometría

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TEOREMA DE PITAGORAS: h2 = a2 + b2

RAZONES TRIGONOMETRICAS: sen2¨¢ + cos2¨¢ = 1
1 + cotg2¨¢ = cosec2¨¢
tg2¨¢ + 1 = sec2¨¢

TEOREMA DEL SENO: a = b = c
sen A sen B sen C

TEOREMA DEL COSENO: a2 = b2 + c2 - 2bc. cos A
b2 = a2 + c2 - 2ac. cos B
c2 = a2 + b2 - 2ab. cos C

RAZONES TRIGONOMETRICAS ANGULO SUMA:
sen (¨¢ + b) = sen ¨¢ . cos b + sen b . cos ¨¢
cos (¨¢ + b ) = cos ¨¢ . cos b + sen ¨¢ . sen b
tg (¨¢ + b ) = sen (¨¢ + b ) = tg ¨¢ + tg b
cos (¨¢ + b ) 1- tg ¨¢ . tg b

RAZONES TRIGONOMETRICAS ANGULO DIFERENCIA:
sen (¨¢ - b) = sen ¨¢ . cos b - cos ¨¢ . sen b
cos (¨¢ - b ) = cos ¨¢ . cos b + sen ¨¢ .sen b
tg... Continuar leyendo "Trigonometría" »
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Dts

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LS ANIMLES MS SENCLLOS:Ls esponjs ls polpos y ls medusas sn animles acuaticos,la mayoria marinos.LS ESPONJAS:Vivn fijas al sustrto,pudn tenr forma de tubo, de copa o ser irregulares,como la esponja de baño.Esta prefordo x mulitd d peqños pors q se cmunicn entre s x finos canales.ls esponjs se alimntan x fltrcion.LS POLIPOS Y LS MEDUSAS.CNIDARIOS:Polipos:tienen frma de saco.lleva un ventosa x la q se fijn al sustrto,mintras q x un solo lado poseen un solo orificio de tntaculos q hace de boca y de ano.Medusas:tiene frma de smbrilla.parecen polipos invrtidos y achatados q vivn lbrs,fltndo en el agua.Ls cnidarios sn crnivoros y cpturan a sus presas cn ls tntaculs.GSNOS ANILLADOS.ANELIDS:Es blnda,alrgada y esta dividdo en anills o segments.Tods... Continuar leyendo "Dts" »
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Aztecs 1

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Arquitectura:de fuerte inspriacion tolteca, pero con creaciones propias o de otros pueblos, la arquitectura mas compleja se encuentra en los templos, estas tenian una fuerte inspiracion religiosa, caracterizaban los templos piramidales, en la clases social baja, las casas eran de barro o de piedra.Org.estatal:estos pasaron rapidamente de una sociedad igualitaria a una sociedad altamante estratificada, la base de la sociedad era el calpulli, las diferencias de clases podian tener movilidad con diferentes cargos sacerdotales o militares. Tlatoani(feje) Tlaclotan (viceemperador se encarga del gob. cuando no esta tlaotoani) Teqhtli ( grupo noble, nobleza de sangre y nobleza adquirida milico y sacerdote.) Pochtecas, Macetwale (orfereros y artesanos)... Continuar leyendo "Aztecs 1" »
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Reglas

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Regla de Sarrus:

Positivos: a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32

Negativos: -a13·a22·a31-a12·a21·a33-a11·a23·a32

Determinantes   ( y sarrus)

si el rango no da cero el det, el rango es el k marquen filas y columnas..

(3filas-3columnas = rango 3) .. y así sucesivamente

Ejemplos de sarrus:

1) aplicando sarrus, calcula estos determinantes:

a)Formula

b) Formula

Formula

2) Desarrollando por una fila o una columna, calcula estos determinantes:

a)Formula

b) Formula

- 0 Formula

c) Formula

Matrices:

1) Calcula a,b,c y d xra k se cumpla:

Formula

2a=a+5                       a=5      2b=7+5+b -> b=12

2b=7+a+b

2c=-2+c+d                  2c= -2+c - 4 -> c=- 6

2d=3d+4                     d= -4

2) Dadas las matrices:

Formula  Calcula:

a) M+N - (2M-3N)

M+N... Continuar leyendo "Reglas" »

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Asd

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Independencia física: Que el modo en que se almacenan los datos no influya en su manipulación lógica y, por tanto, no sea necesario modificar los programas por cambios en el almacenamiento físico.

Independencia lógica: Que añadir, modificar o eliminar objetos de la base de datos no repercuta en los programas

Uniformidad: Las estructuras lógicas de los datos presentan un aspecto uniforme, lo que facilita la concepción y manipulación de la base de datos por parte de los usuarios.

Dominio es un conjunto finito de valores homogéneos y atómicos, caracterizados por un nombre. Homogéneos

Intensión o Esquema de relación, es la parte definitoria y estática de la relación (cabecera de la tabla).
Extensión,... Continuar leyendo "Asd" »
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Optimización de funciones

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Limites - Indeterminaciones

Ecuacion Para resolver esta indeterminacion:

1. Comparando infinitos

2. Si son funciones potenciales dividimos todos los sumandos por la x elevada al mayor exponente.

3. Si son funciones exponenciales dividimos por la exponencial de mayor base.

EcuacionPara resolver...

1. Comparacion de infinitos

2. Con funciones raciones, comun denominador

3. Cuando tienen raices, multiplicamos por el conjugado

Ecuacion

1. Funcion racional sin radicales: Se descomponen en factores y se simplifica la fracción.

2. Funcion racional con radicales: Conjugado

Ecuacion

Para resolverla se transforma la exp a una potencia del numero e.

Ecuacion



Continuidad en un intervalo

Una función se dice que es continua en un intervalo de R si es continua en cada pto del intervalo.

Teorema de Bolzano

Si... Continuar leyendo "Optimización de funciones" »

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