Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Tipus de Funcions

Funcions Racionals

Definició: Les funcions racionals són aquelles l'expressió algebraica de les quals és un quocient de polinomis del tipus: F(x) = P(x)/Q(x), amb Q(x) ≠ 0.

Funció de Proporcionalitat Inversa

Definició: És una funció racional del tipus F(x) = K/x, amb K ≠ 0. La seva gràfica és una hipèrbola.

Funcions Exponencials

Les funcions exponencials més senzilles són del tipus F(x) = a^x, en què 'a' és un nombre real positiu (a > 0) i diferent d'1 (a ≠ 1).

Característiques de les Funcions Exponencials

• Domini: Tots els nombres reals (ℝ).
• Recorregut: (0, +∞). La 'y' sempre pren valors positius.
• Sempre passa pel punt (0,1).
• Si a > 1, la funció és creixent.
• Si 0 < a < 1, la funció és decreixent.

... Continuar leyendo "Conceptes Fonamentals de Funcions i Sistemes d'Equacions" »

... Continuar leyendo "Correlación directa e inversa" »

Estadística Descriptiva

Definiciones y Cálculos

• Xi: Valor de la variable estadística.
• fi: Frecuencia absoluta (número de veces que se repite Xi).
• Fi: Frecuencia absoluta acumulada (sumatorio de fi).
• hi: Frecuencia relativa (fi dividido por el número total de datos).
• Hi: Frecuencia relativa acumulada (sumatorio de hi).
• Pi: Porcentaje (hi multiplicado por 100).
• xifi: Producto de Xi por fi.

Cálculo de la Moda

La moda se determina identificando el valor de Xi que corresponde al valor más alto de fi.

Cálculo de la Mediana

Para calcular la mediana, se divide el número total de datos entre 2. Se busca este valor (o el siguiente superior) en la columna Fi. El valor de Xi correspondiente es la mediana. Si el valor coincide exactamente con un valor en... Continuar leyendo "Estadística Descriptiva y Ecología: Conceptos Clave" »

Identidades Trigonométricas Fundamentales

Suma y Diferencia de Ángulos

• Seno de la suma: sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β
• Coseno de la suma: cos(α + β) = cos α cos β − sen α sen β
• Tangente de la suma: tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 − tan α tan β)
• Nota: Las fórmulas para la diferencia (α - β) se obtienen sustituyendo β por -β y usando las identidades de ángulos negativos.

Ángulo Doble

• Seno del ángulo doble: sen(2α) = 2 sen α cos α
• Coseno del ángulo doble: cos(2α) = cos²α − sen²α
• Tangente del ángulo doble: tan(2α) = (2 tan α) / (1 − tan²α)

Ángulo Mitad

• Seno del ángulo mitad: sen(α/2) = ±√[(1 − cos α) / 2]
• Coseno del ángulo mitad: cos(α/2) = ±√[(1 + cos α) / 2]
• Nota: El signo ± depende

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Txina

Munduko estadurik jendetsuena da (1.300 miloi biztanle). Munduko armadarik handiena dauka eta indar militarraz gain, arma nuklearrak ditu. Txinako ekonomiaren hazkundea izugarria izan da azken urteotan. Merkatua handia izanik, munduko enpresa guztiak bertan kokatu nahi dira eta bere ekonomiaren esportatzeko gaitasuna izugarria da. Agentzia espaziala dauka eta teknologian gero eta aurreratuagoak doaz. Hezkuntzan ere bultzada handia eman dute eta, alde batetik, bere unibertsitateek hobekuntza nabarmena izan dute eta, bestalde, txinatarrak munduko unibertsitate onenetan ikasten dute. Politika arloan, nahiz eta gizakien eskubideen defentsan zenbait aurrerapausu eman, Txina alderdi komunistaren diktadura da. Nazioarte mailan bi erronka nagusi... Continuar leyendo "Munduko potentziak XXI. mendean: Txina, Kanada, India, Japonia eta Errusia" »

1/x= -1/x²; ?x= 1/2?x; xⁿ= n·x^n-1; a^x= a^x·ln a; e^x= e^x; log_ax= 1/ x·lna; ln x= 1/x; sn x = cos x; cos x = -sn x; tg x= sc²x; suma: f(x) + g(x)= f'(x) + g'(x); producto: f(x) · g(x)= f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x); division: f(x)/g(x)= f'(x)· g(x) - f(x)·g'(x)/ [g(x)]².

y-f(a) = f'(a)(x-a); f'(x)= lim_h->0 f(x+h) - f(x)/ h

NORMAL: y-f(a)= -1/f'(a) · (x-a)
TANGENTE: y-f(a)= f'(a)(x-a)

LIMITES
Indeterminación ? / ? "términos mayores de la ecuación"
Indeterminación 0 / 0 "factorizar y simplificar"
Indeterminación K / 0=+ -? "hallar límites laterales"
Indeterminación ? - ? ; raices "conjugar"
Indeterminacion 1^? lim (x?? ) [P(x)]^Q(x) = e^{lim( x?? ) Q(x) [P(x) - 1]}
TRIGONOMETRIA
Teorema del seno a/senA = b/senB = c/senC
Teorema del coseno
a² = b² + c² - 2bc cosA
b² = a² + c² - 2ac cosB
c² = a² + b² - 2ab cosC
sen²x + cos²x = 1
1+ tg²x = 1 / cos²x
1 + cotg²x = 1 / sen²x
cos (a+b) = cosa · cosb - sena · senb
cos (a-b) = cosa · cosb + sena · senb
sen (a+b) = sena · cosb + cosa ·senb
sen (a-b) = sena · cosb - cosa · senb
tg (a+b) = tga + tgb / 1 - tga · tgb
tg (a-b) = tga - tgb / 1+ tga · tgb
sen2a = 2sena ·cosa
cos2a... Continuar leyendo "Formulas" »

cuando ingrsamos dinro. krmos sabr en cuanto s transforma:
- anual
mnsual
tae(ejmplo 12% anual)
=1.1268-1=0.1268=12.68%tae
amortiz.
1º pasar intrs a mss o dia si t lo pidn
2ºmultip. prstamoxintrés=intres k pago en 1ºpago
3º quota fija - intres k pago en 1ºpago=lo que pago sin i
4ºprestamo - lo q pago sin i= lo k me falta
5ºmultip. lo k m falta x i= i k pago n l 2º
6ºquota fija - intres k pago en 2ºpago=lo que pago sin i
7ºlo k me falta - lo que pago sin i = lo k falta x pagar

kiero sabr quanto e d pagar(cantidads =)
donde i=r/100(anual)
donde i=r/1200(mens)

Rolle: Si f(x)es una funcion continua en [a,b], derivable en (a,b) y f(a)=f(b), entonces existe al menos un numero c (a,b) t·q f `(c)=0.
Lagrange: Si f(c)es una funcion continua en [a,b] derivable en (a,b), entonces existe al menos un numero c (a,b) t·q
f(c)=
Bolzano: Si una función f(x) está definida y es continua en un intervalo cerrado [a, b] y toma valores de distinto signo en los extremos a y b, entonces existe al menos un punto c del intervalo abierto (a, b) en el que se f(c)=0
Cauchy: Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en [a, b] y derivables en ( a, b ) , tales que sus derivadas no se anulan simultáneamente en ningún punto de ( a, b ) y g(b) es distinto de g(a). Entonces existe, al menos, un punto c del intervalo... Continuar leyendo "Teoremas sobre Derivadas" »

cálculo d la cantidad inicial:

tasa mnsual equivalente:

interes simple:

C_f= capital inicial i= interes anual
C_i= capital final n= numero de años
k = numero de periodos de capitalizacion qse hace al año
interes compuesto:

pago anual de intereses:

c= capital n=años
r=redito se pone siempre en %