Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Menor Complementario

Un menor de orden k de una matriz A es el determinante de una submatriz de A obtenida eliminando algunas filas y/o columnas de A.

El menor complementario del elemento a_ij, que denotaremos por |a_ij|, de una matriz cuadrada de orden n es el determinante de la matriz cuadrada de orden n-1 que se obtiene al eliminar la fila i (F_i) y la columna j (C_j); es decir, se elimina la fila y la columna en las que está el elemento a_ij.

Matriz Adjunta

El adjunto del elemento a_ij, que denotaremos por A_ij, es el menor complementario de dicho elemento multiplicado por (-1)^i+j, esto es:

A_ij = (-1)^i+j |a_ij|

La matriz adjunta de una matriz cuadrada es la matriz que tiene como elementos los adjuntos de los elementos de la matriz A.

Propiedades de los

Decibilidad: ||

N= "sobre la ent.. B es AFN y w cad} ||
3.Si N acept, acepte ||
F="Sobre la entra.., A y B son AFD's

Un lengua L es decidibl cuando ||
1.Convierta el AFN B para un || Teorema 4.4:
Edfa = {<A> | A es un AFD y L(A) =∅} ||
Sea L(c) = L(A) ⊗L(B)=

L aceptada por una MT, la MT no hay loop || AFD equivale C || T=sobre entrad <A> don A es un AFD || (L(A)∩L(B)^c) ∪ (L(A)^c ∩L(B))

Acepta si w perten a L, contrario rechaza ||
2. Ejecute la MT M del teo4.1 ||
1. Marca el estado inicial de A || (todo menos la intersección) 

Teorema4.1:

Aafd ={<B,w>| B es AFD q acep la cade w} || sobre <C,w> || 2.Repite hasta ningún nuevo estad sea marcado:

||

L(c)=⌀ si L(A)=L(B)

M=“Sobr la entr<B,w> B es un AFD, y... Continuar leyendo "Fundamentos de la Computabilidad: Decidibilidad, Lenguajes Formales y Máquinas de Turing" »

Estadística Descriptiva y Medidas de Dispersión

• La Media ($\bar{X} = (1/n)\sum X_i$) mide la tendencia central.
• La Mediana es el valor central de los datos ordenados.
• La Moda es el valor más frecuente.
• La Varianza ($s^2 = \sum(X_i - \bar{X})^2 / (n-1)$) mide la dispersión cuadrática.
• La Desviación Estándar ($s = \sqrt{Varianza}$) es la raíz cuadrada de la varianza.
• El Coeficiente de Variación ($CV = s/\bar{X}$) mide la dispersión relativa.
• El Sesgo:
  • Sesgo > 0: indica cola derecha (asimetría positiva).
  • Sesgo < 0: indica cola izquierda (asimetría negativa).
• La Curtosis:
  • Curtosis > 3: indica colas pesadas (leptocúrtica).
  • Curtosis $\approx 3$ y Sesgo $\approx 0$ sugieren normalidad.

Inferencia Estadística y Errores

Errores en el Contraste

Representación de Datos Estadísticos: Tablas y Gráficos

Este documento detalla las metodologías para la representación tabular y gráfica de diferentes tipos de variables estadísticas, optimizando la visualización y comprensión de los datos.

Variables Cualitativas con Pocos Valores

Para variables cualitativas con un número limitado de categorías, la organización de los datos se realiza mediante tablas de frecuencias y diversas representaciones gráficas.

Tablas de Frecuencias

Las tablas de frecuencias para variables cualitativas se construyen ordenando las categorías de mayor a menor frecuencia. En sus columnas se presenta la frecuencia absoluta (número de veces que aparece un valor) y/o la frecuencia relativa (proporción de cada valor... Continuar leyendo "Visualización de Datos Estadísticos: Métodos para Variables Cualitativas y Cuantitativas" »

Formulario de Derivadas

A continuación se presentan las reglas fundamentales de derivación para funciones algebraicas, trascendentes y compuestas:

• (c)' = 0 (Derivada de una constante)
• (cu)' = c * u'
• (u ± v)' = u' ± v'
• (uv)' = u'v + uv' (Regla del producto)
• (u/v)' = (u'v - uv') / v² (Regla del cociente)
• (uⁿ)' = n * uⁿ⁻¹ * u' (Regla de la potencia)
• (1/u)' = -u' / u²
• (1/uⁿ)' = -n * u' / uⁿ⁺¹
• (√u)' = u' / (2√u)
• (eᵘ)' = eᵘ * u'
• (aᵘ)' = aᵘ * ln(a) * u'
• (ln u)' = u' / u
• (logₐ u)' = u' / (u * ln a)
• f(g(x))' = f'(g(x)) * g'(x) (Regla de la cadena)

Derivadas de Funciones Trigonométricas e Inversas

• (sin u)' = cos u * u'
• (cos u)' = -sin u * u'
• (tan u)' = sec² u * u'
• (cot u)' = -csc² u * u'
• (sec u)' = sec u * tan u * u'
• (csc u)' = -csc u

Histogramas

Los histogramas se utilizan para representar variables continuas. Se dibujan rectángulos pegados, donde la base es el intervalo y la altura, la densidad. De esta forma, tenemos la siguiente propiedad:

Propiedad de Proporcionalidad

El área de todo el histograma es 1 (o 100%), y el área por encima de un intervalo indica el porcentaje aproximado de individuos en la población/muestra que toman valores dentro de ese intervalo.

Cuando los intervalos son de igual longitud, también se utiliza la frecuencia en lugar de la densidad.

Polígono de Frecuencias

Es una versión suavizada del histograma. Se dibuja un punto por cada intervalo. El eje horizontal indica la marca de clase y el eje vertical, la densidad. Se deben añadir dos intervalos... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Estadística Descriptiva: Visualización y Medidas" »

Conceptos Clave de la Estadística

Ramas de la Estadística

• Estadística Descriptiva: Se encarga de la recopilación, organización, análisis e interpretación de datos.
• Estadística Inferencial: Realiza inferencias y predicciones sobre una población basándose en una muestra.
• Teoría del Muestreo: Estudia los métodos para seleccionar muestras representativas de una población.

Población y Muestra

• Población: Conjunto completo de elementos o individuos con características comunes, tangibles o no tangibles. Puede ser:
  • Finita: Se puede contar el número de elementos.
  • Infinita: No se puede contar el número de elementos.
• Muestra: Subconjunto de la población. Tipos de muestreo:
  • Sin reemplazo: Los elementos seleccionados no se devuelven a la población.

Resolució del problema de trigonometria

Càlcul de la distància entre dos punts inaccessibles (A i B). Per trobar la distància entre els punts inaccessibles A i B (AB), dividim el problema en tres passos consecutius utilitzant la trigonometria en triangles no rectangles (teorema del sinus i teorema del cosinus).

Dades inicials del problema

A partir de la situació plantejada, disposem de les dades següents:

• Distància de la base: DC = 400 m
• Angles de la base: Angle D = 80º i Angle C = 70º
• Angles interiors mesurats: x = 30º i y = 42º

Pas 1: Calcular la longitud del segment AC (Triangle ΔADC)

En el triangle ΔADC, coneixem el costat de la base DC = 400 m, l'angle sencer de l'esquerra ADC = 80º, i l'angle interior dret ACD = y = 42º.

Primer,... Continuar leyendo "Com calcular la distància entre dos punts inaccessibles" »

Funciones Avanzadas de Excel

• 1. Funciones Lógicas y de Decisión

  • SI (IF): Evalúa una condición y devuelve valores diferentes según el resultado.
    Ejemplo: =SI(A1>50, "Aprobado", "Reprobado")
  • Y / O: Evalúan múltiples condiciones lógicas.
    Ejemplo: =SI(Y(A1>50, B1<20), "Cumple", "No cumple")
  • SI.CONJUNTO (IFS): Maneja múltiples condiciones sin necesidad de anidar.
    Ejemplo: =SI.CONJUNTO(A1>80, "Excelente", A1>50, "Bueno", A1<=50, "Malo")

• 2. Funciones de Búsqueda y Referencia

  • BUSCARV (VLOOKUP): Busca datos en una tabla verticalmente.
    Ejemplo: =BUSCARV(102, A2:D10, 3, FALSO)
  • BUSCARH (HLOOKUP): Busca datos horizontalmente en una tabla.
  • ÍNDICE (INDEX): Devuelve el valor de una celda específica dentro de un rango.
    Ejemplo: =ÍNDICE(A1: