Menor Complementario, Matriz Adjunta y Propiedades de los Determinantes
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Menor Complementario
Un menor de orden k de una matriz A es el determinante de una submatriz de A obtenida eliminando algunas filas y/o columnas de A.
El menor complementario del elemento aij, que denotaremos por |aij|, de una matriz cuadrada de orden n es el determinante de la matriz cuadrada de orden n-1 que se obtiene al eliminar la fila i (Fi) y la columna j (Cj); es decir, se elimina la fila y la columna en las que está el elemento aij.
Matriz Adjunta
El adjunto del elemento aij, que denotaremos por Aij, es el menor complementario de dicho elemento multiplicado por (-1)i+j, esto es:
Aij = (-1)i+j |aij|
La matriz adjunta de una matriz cuadrada es la matriz que tiene como elementos los adjuntos de los elementos de la matriz A.
Propiedades de los Determinantes
- i) El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta:
det(A) = det(At) - ii) Si intercambiamos entre sí dos filas o columnas de un determinante, este cambia de signo:
det(F1, ..., Fi, ..., Fj, ..., Fn) = -det(F1, ..., Fj, ..., Fi, ..., Fn) - iii) Si multiplicamos todos los elementos de una fila o columna por una constante, el determinante queda multiplicado por esa constante (ya que en cada sumando del determinante aparece un elemento de cada fila y columna):
det(F1, ..., c · Fi, ..., Fn) = c · det(F1, ..., Fi, ..., Fn) - iv) Si escribimos una fila o columna como suma de dos, entonces el determinante es la suma de los determinantes de dos matrices, cada una con una de esas filas o columnas y el resto de la matriz igual:
det(F1, ..., Gi + Hi, ..., Fn) = det(F1, ..., Gi, ..., Fn) + det(F1, ..., Hi, ..., Fn) - v) El determinante del producto de dos matrices es el producto de sus determinantes:
det(A · B) = det(A) · det(B) - vi) Si A es una matriz regular (invertible), entonces su determinante es distinto de cero y además:
|A-1| = 1 / |A| - vii) Si A tiene una fila o columna nula, entonces su determinante es cero:
det(F1, ..., 0, ..., Fn) = 0 - viii) Si A tiene dos filas o columnas iguales, entonces su determinante es cero:
det(F1, ..., Fi, ..., Fi, ..., Fn) = 0 - ix) Si A tiene una fila o columna que es combinación lineal de otras, entonces su determinante es cero:
det(F1, ..., Fi, ..., c · Fi + d · Fj, ..., Fj, ..., Fn) = 0 - x) Si sumamos a una fila o columna otra fila o columna multiplicada por un escalar, el determinante no varía:
det(F1, ..., Fi + c · Fj, ..., Fj, ..., Fn) = det(F1, ..., Fi, ..., Fj, ..., Fn)
