Com calcular la distància entre dos punts inaccessibles

Resolució del problema de trigonometria

Càlcul de la distància entre dos punts inaccessibles (A i B). Per trobar la distància entre els punts inaccessibles A i B (AB), dividim el problema en tres passos consecutius utilitzant la trigonometria en triangles no rectangles (teorema del sinus i teorema del cosinus).

Dades inicials del problema

A partir de la situació plantejada, disposem de les dades següents:

• Distància de la base: DC = 400 m
• Angles de la base: Angle D = 80º i Angle C = 70º
• Angles interiors mesurats: x = 30º i y = 42º

Pas 1: Calcular la longitud del segment AC (Triangle ΔADC)

En el triangle ΔADC, coneixem el costat de la base DC = 400 m, l'angle sencer de l'esquerra ADC = 80º, i l'angle interior dret ACD = y = 42º.

Primer, trobem el tercer angle d'aquest triangle (DAC):

DAC = 180º - 80º - 42º = 58º

Ara, apliquem el teorema del sinus per determinar la longitud de AC:

AC / sin(80º) = 400 / sin(58º)
AC = (400 · sin(80º)) / sin(58º) ≈ (400 · 0,9848) / 0,8480 ≈ 464,51 m

Pas 2: Calcular la longitud del segment BC (Triangle ΔBDC)

En el triangle ΔBDC, coneixem la base DC = 400 m, l'angle interior esquerre BDC = x = 30º, i l'angle sencer de la dreta BCD = 70º.

Trobem el tercer angle d'aquest triangle (DBC):

DBC = 180º - 30º - 70º = 80º

Apliquem el teorema del sinus per determinar la longitud de BC:

BC / sin(30º) = 400 / sin(80º)
BC = (400 · sin(30º)) / sin(80º) ≈ (400 · 0,5) / 0,9848 ≈ 203,09 m

Pas 3: Calcular la distància final AB (Triangle ΔABC)

Ens fixem en el triangle superior ΔABC. Coneixem els costats AC ≈ 464,51 m i BC ≈ 203,09 m. L'angle comprès entre ells (ACB) és la diferència entre l'angle total i l'interior:

ACB = BCD - ACD = 70º - 42º = 28º

Apliquem el teorema del cosinus per trobar el costat oposat AB:

AB² = AC² + BC² - 2 · AC · BC · cos(28º)
AB² = (464,51)² + (203,09)² - 2 · 464,51 · 203,09 · cos(28º)
AB² ≈ 215769,54 + 41245,55 - 188664,52 · 0,8829 ≈ 90443,19
AB = √90443,19 ≈ 300,74 m

Resultat Final: Distància AB = 300,74 m

Angles suplementaris (Sumen 180º o π) → Segon quadrant

Estan situats a la mateixa altura però canviats de costat (l'eix X és negatiu):

• sin(π - α) = sin α
• cos(π - α) = -cos α
• tan(π - α) = -tan α

Angles que es diferencien en 180º (Sumen π) → Tercer quadrant

Estan completament a l'escassa oposada (tant l'eix X com el Y canvien de signe):

• sin(π + α) = -sin α
• cos(π + α) = -cos α
• tan(π + α) = tan α

Angles oposats (Sumen 360º o 2π) → Quart quadrant

Estan a la mateixa distància de l'eix horitzontal, cap avall (l'eix Y és negatiu):

• sin(2π - α) = -sin α
• cos(2π - α) = cos α
• tan(2π - α) = -tan α

Angles complementaris (Sumen 90º o π/2)

Són els angles que formen els dos racons aguts d'un triangle rectangle. En aquest cas, els eixos es creuen:

• sin(π/2 - α) = cos α
• cos(π/2 - α) = sin α
• tan(π/2 - α) = 1 / tan α = cot α