Matematika Ariketak: Zatigarritasuna, Multzoak, Zenbaki Sistemak eta Estatistika

GAIA: Zatigarritasuna

Ondoko zenbakien zatitzaile guztiak bilatu: 600

600 = 2³ x 3 x 5². 16 zatitzaile guztira. Nola? (1+3) x (1+1) x (2+1) = 4 x 2 x 3 = 24

• (2⁰, 2¹, 2², 2³) = (1, 2, 4, 8)
• Aurreko denak x 3: (3, 6, 12, 24)
• Aurreko denak x 5: (5, 10, 20, 40, 15, 30, 60, 120)
• Aurreko denak x 5: (25, 50, 100, 200, 75, 150, 300, 600)

Frogatu abcabc motako zenbakia 1001 zenbakiaren multiploa dela

(Paperean)

Kalkulatu Euklidesen algoritmoa erabiliz hurrengo bikoteen zatitzaile komunetako handiena (z.k.h.)

z.k.h. (1560 eta 432):

1560 : 432 = 3 eta hondarra 264

432 : 264 = 1 eta hondarra 168

264 : 168 = 1 eta hondarra 96

168 : 96 = 1 eta hondarra 72

96 : 72 = 1 eta hondarra 24

72 : 24 = 3 eta hondarra 0

Beti hondarra 0 arte. = 24 da emaitza.

Kalkulatu 72, 96, 120 eta 32 zenbakien z.k.h. eta m.k.t.

72 = 2³ x 3²

96 = 2⁵ x 3

120 = 2³ x 3 x 5

32 = 2⁵

z.k.h.: Zatitzaile komunetako handiena. Berdina dagoenean, txikiena. Kasu honetan, 2³. Denean dagoelako eta txikiena delako. z.k.h. = 8

m.k.t.: Zenbakiak faktore lehenetan deskonposatu eta komunak eta ez-komunak hartzen dira berretzaile handienaz. m.k.t. = 1440

100 metro zabalerako eta 120 metro luzerako lurzati bat ahal den baldosa karratu handienetan zatitu nahi da. Zenbat neurtu behar du baldosa bakoitzaren aldeak?

100 = 2² x 5²

120 = 2³ x 3 x 5

z.k.h. = 2² x 5 = 20 metro

Ikasgela batean 100 ikasle baino gutxiago daude. Binaka, bosnaka zein zazpinaka bil daitezke batera soberan geratu gabe. Zenbat ikasle daude?

7 = 7 x 1

5 = 5 x 1

2 = 2 x 1

m.k.t. = 5 x 7 x 2 = 70 ikasle

Argi zuri bat minutuero pizten da eta gorri bat, aldiz, 45 segunduro. Denbora zerotik kontatzen hasten bagara, zenbat aldiz ordu batean bat egingo dute bi argiek piztuta?

Argi zuria minutuero (60 segundu); argi gorria 45 segunduro. Zerotik hasita, zenbat aldiz piztuko dira aldi berean?

m.k.t. (60, 45) = 3² x 5 x 2² = 9 x 5 x 4 = 180 segundu = 3 minutu

3 minutu pasa ostean biak aldi berean piztuko dira, eta ordu batean = 20 aldiz. Zergatik? 60 : 3 = 20 aldiz piztuko dira aldi berean.

Aurkitu 2004 zenbakiaren faktore lehenetako deskonposaketa. Esan deskonposaketa horretan agertzen den zenbakirik handiena lehena izatearen zergatia. Eman 2004 zenbakiaren zatitzaile guztiak.

(Paperean)

Lokomotora bateko aurreko gurpilen diametroa 54 cm-koa da eta atzekoena, berriz, 1,04 m-koa. Lokomotoraren atzetik doazen bagoiek 86 cm-ko diametrodun gurpilak badituzte, gutxienez zenbat bira eman ondoren bueltatuko dira gurpil guztiak hasierako posiziora?

Aurreko gurpilaren diametroa = 54 cm

Atzeko gurpilaren diametroa = 104 cm

Atzetik doazen bagoien gurpilen diametroa = 86 cm

m.k.t. (54, 104, 86) = 2³ x 3³ x 13 x 43 = 120744

120744 : 54 = 2236 bira ondoren bueltatuko da hasierako posiziora aurreko gurpila.

120744 : 104 = 1161 bira ondoren bueltatuko da hasierako posiziora atzeko gurpila.

120744 : 86 = 1404 bira ondoren bueltatuko dira hasierako posiziora atzeko bagoien gurpilak.

Patio batek 108 metroko luzera eta 15 metroko zabalera du. Baldosak jarri nahi dira baldintza hauekin: Baldosak triangelu isoszeleak eta ahalik eta handienak izan behar dute eta ezin dira zatitu. Zenbat behar dira?

z.k.h. (15, 108) = 3 metro aldea

36 x 5 = karratu kopurua

180 x 2 = triangelu kopurua

Guztira 360 baldosa

Lehenengo zutabean: 15 : 3 = 5 baldosa x 2 = 10 baldosa

Lehenengo lerroan: 108 : 3 = 36 baldosa x 2 = 72 baldosa

Guztira: zutabeko 10 baldosa x 36 zutabe = 360 baldosa, edo lerroko 72 baldosa x 5 lerro = 360 baldosa.

Bi zenbaki arrunten biderkadura 2700 da eta bien arteko z.k.h. 6 da. Zeintzuk dira zenbaki hauek?

a x b = 2700

z.k.h. (a, b) = 6

a x b = z.k.h. (a, b) x m.k.t. (a, b)

m.k.t. (a, b) = (a x b) / z.k.h. (a, b) = 2700 / 6 = 450

a x b = 2700 = 6(a) x 450(b)

z.k.h. (450, 6)

Euklidesen algoritmoa: 450 : 6 = 75

z.k.h. (450, 6) = z.k.h. (6, 0) = 6

450 6aren multiploa da.

Eskola bateko hiru ikaslek liburu bera irakurtzen ari dira, 100 eta 125 arteko orrialde kopurua dituena. Lehenengoak egunean 3 orri irakurtzen ditu, bigarrenak 6 eta hirugarrenak 8. Egun batzuk pasa eta gero liburua bukatzen dute irakurtze erritmoa aldatu gabe. Zenbat orrialde ditu liburuak? Zenbat egun behar ditu bakoitzak liburua irakurtzeko?

100-125 orrialde

1. ikasleak: 3 orrialde eguneko

2. ikasleak: 6 orrialde eguneko

3. ikasleak: 8 orrialde eguneko

m.k.t. (3, 6, 8) = 2³ x 3 = 24

24ren multiploak: 24, 48, 72, 96, 120, 144…

120 orrialde ditu liburuak.

120 : 3 = 40 egun behar ditu lehenengo ikasleak

120 : 6 = 20 egun behar ditu bigarren ikasleak

120 : 8 = 15 egun behar ditu hirugarren ikasleak

Aurreko ariketako ikasleek beste liburu bat aukeratu dute. Oraingo honek 100 eta 120 arteko orrialde kopurua du. Bi orrialdeko hitzaurrea ez irakurtzea adostu dute. Lehenengoak egunean 3 orrialde irakurtzen ditu, bigarrenak 9 eta hirugarrenak 12. Liburua bukatzen dute irakurtze erritmoa aldatu gabe. Zenbat orrialde ditu liburuak?

100-120 orrialde

1. ikasleak: 3 orrialde eguneko

2. ikasleak: 9 orrialde eguneko

3. ikasleak: 12 orrialde eguneko

m.k.t. (3, 9, 12) = 2² x 3² = 36

36ren multiploak: 0, 36, 72, 108, 144…

108 orrialde baditu liburuak, hirurek bukatzen dute, baina hitzaurrea irakurri gabe. Beraz, liburuak 108 + 2 = 110 orrialde ditu.

Beste era bat: 100-120 artean, 12ren multiploak 108 eta 120 dira. 120 ezin da izan, hitzaurreko orrialdeak gehituz pasa egingo litzatekeelako.

Aurreko ariketako ikasleei beste irakurle bat gehitu zaie. Aukeratu duten liburu berria 400 eta 430 arteko orrialdekoa da. Lehenengoak binaka irakurtzen hasi da eta orrialde bat soberan gelditu zaio, bigarrenak hirunaka irakurri ditu eta bi soberan gelditu zaizkio, hirugarrenak bosnaka eta lau sobratu zaizkio eta azkenak zazpinaka irakurri du eta sei geratu zaizkio irakurtzeke. Zenbat orrialde ditu liburuak?

GAIA: Zenbaki Sistemak

Idatzi ondoko zenbaki hamartarrak 2, 3, 5 eta 7 oinarrietan

9 = (1001, 100, 14, 12)

83 = (1010011, 10002, 313, 146)

Egin beharrekoa: Zenbakia oinarriaz zatitu, hau da, 9 : 2, adibidez. Emaitza = 1001 biko oinarrian.

Ariketa: Idatzi ondoko zenbakiak era hamartarrean

11010111 (2 oinarrian) = 215. Nola? 1 x 2⁰ + 1 x 2¹ + 1 x 2² + 0 x 2³ + 1 x 2⁴ + 0 x 2⁵ + 1 x 2⁶ + 1 x 2⁷ = 215

1230 (4 oinarrian) = 0 x 4⁰ + 3 x 4¹ + 2 x 4² + 1 x 4³ = 0 + 12 + 32 + 64 = 108

Adierazi ondoko zenbakiak eskatutako oinarrian

201 (3 oinarrian) = Lehenik hamarreko oinarrira pasa: 1 x 3⁰ + 0 x 3¹ + 2 x 3² = 1 + 0 + 18 = 19 (10 oinarrian)

4ko oinarrian (19 : 4) = 103 (4 oinarrian)

Kalkulatu itzazu ondoko batuketak eskatutako oinarrian

221 + 102 (3 oinarrian) = 1100 Nola? Oinarria kontuan izanda.

4530 + 5511 = 14441 (6 oinarrian)

7654 + 5444 = 15320 (8ko oinarrian)

Kalkula itzazu ondoko kenketak eskatutako oinarrian

111 - 101 (2 oinarrian) = 10

100 - 33 (4 oinarrian) = 1

6005 - 4664 (7 oinarrian) = 1011

Garrantzitsua da oinarriak kontuan hartzea.

Kalkula itzazu ondoko biderketak eskatutako oinarrian

2201 x 12 (3 oinarrian) = 111112

4113 x 34 (5 oinarrian) = 311002

7458 x 620 (9 oinarrian) = 5168570

Kalkula itzazu ondoko zatiketak eskatutako oinarrian

10011 : 111 (2 oinarrian) = zatidura 10, hondarra 101

32230 : 220 (4 oinarrian) = zatidura 113, hondarra 110

4533021 : 5411 (6 oinarrian) = zatidura 510, hondarra 5011

GAIA: Multzoak

Ariketak

Adierazi multzo hauen arteko partekotasunak: A = (a, b, c), B = (a, b, c, d), C = (d)

Baldin eta U unibertso multzoa asteko egunak badira (1etik 7ra), eman multzo hauen osagarriak: A = (1, 2, 4), B = (1, 2, 3, 4, 5, 6), C = (2, 4, 6, 7)

Izan bitez A = (m, u, l, t, z, o) eta B = (t, a, l, d, e) multzoak.

i) Kalkulatu A ∩ B eta A ∪ B

ii) U unibertso multzoa alfabetikoki hizkiek osatzen badute, kalkulatu: U ∩ B, U ∩ A, ∅ ∩ B, U ∩ A, A ∪ U, ∅ ∪ U eta A ∪ ∅

Izan bitez A = (e, s, k, o, l, a) eta B = (o, l, a, t, u) multzoak.

i) Kalkulatu A - B eta B - A

ii) Bilatu C multzo bat non C - A = ∅ betetzen den

iii) Bilatu D multzo bat non D - B = D betetzen den

Frogatu trukatze propietateak betetzen direla ondoko bi multzoekin: A = (a, b, c, d), B = (a, c, d, e)

Frogatu elkartze eta banatze propietateak betetzen direla ondoko hiru multzoekin: A = (1, 3, 5, 7), B = (2, 3, 4), C = (1, 2, 6)

Irakasle eskolako 2. mailako 200 ikasletik, 70 ikasle matematikako klaseetara doaz; 120 pedagogia klaseetara; 90 lenguara; 50 matematika eta pedagogiara; 30 matematika eta lenguara; 40 pedagogia eta lenguara eta 20 hiruretara.

a) Izen-datu multzoak emandako datuak kontuan izanik.

b) Irudikatu Venn-en diagrama.

c) Zenbat doaz matematika edo pedagogiara? Zein da multzo honen kontrakoa? Eta zenbat ikasle daude?

d) Zenbat ez doaz batera ere? Eta zenbat batera gutxienez?

e) Zenbat doaz matematika edo lenguara?

f) Zenbat doaz lenguara soilik?

g) Zenbat doaz bitara gutxienez? Eta zenbat batera gutxienez?

h) Zenbat doaz bitara gehienez? Zein izango litzateke multzo honen osagarria?

GAIA: Aldagai Estatistikoak

a) Aldagai kuantitatiboa: Balio numerikoak hartzen dituzten aldagaiak. Adibidez: Pertsonen adina edo altuera.

a.1: Aldagai kuantitatibo diskretua: Kopuru txikia denean erabiltzen da. Adibidez, neba-arreben kopurua.

a.2: Aldagai kuantitatibo jarraia: Aldagaiak har ditzakeen balioak asko direnean, aldagaiaren balioak tarteetan biltzen dira. Adibidez, giza kolektibo baten altuera.

b) Aldagai kualitatiboak: Aldagaiak zenbakiak, modalitateak eta kategoriak dira. Adibidez, hizkuntza eskolako gela bateko 10 ikasleek zenbat hizkuntza dakiten.

Maiztasunak:

a) Absolutua: Kolektibo batean x_i balioa hartzen duen elementu kopurua x_i balioaren maiztasun absolutua deitu eta n_i notazioaz adierazten da.

b) Erlatiboak: x_i balioaren maiztasun erlatiboak f_i-k maiztasuna adierazten du, baina 1 zenbakiko termino erlatiboetan emana. f_i = n_i / N

c) Portzentaiak: Maiztasun erlatiboaren esanahi berdina daukate, baina 100ekiko. x_i-ren balioaren portzentaia: p_i idazten da. p_i = f_i x 100

Maiztasun metatuak:

a) Maiztasun absolutu metatuak: N_i notazioaz adierazten da. x_i balioari dagokion maiztasun absolutu metatua. Honela kalkulatzen da: N₁ = n₁, N₂ = n₁ + n₂, …

b) Maiztasun erlatibo metatuak: F₁ = f₁; F₂ = f₁ + f₂, …

c) Portzentai metatuak: P₁ = p₁, P₂ = p₁ + p₂, …

Klase marka: Aldagai kuantitatibo jarraietan, aldagaiaren balioak tarteetan sailkatzen dira.