Fundamentos de las Matemáticas: Explorando Axiomas y Geometrías No Euclidianas

Una proposición matemática está demostrada (es un teorema) cuando se constata que se deriva lógica y necesariamente de otras proposiciones ya admitidas. Ahora bien, esas proposiciones ya admitidas, o cuya verdad ya es conocida, se pueden, a su vez, demostrar por el mismo procedimiento: haciendo ver que se deducen necesariamente de otras. Sin embargo, este proceso no se puede prolongar indefinidamente. Por tanto, en todo sistema matemático existen unas primeras proposiciones que sirven de base para todas las demostraciones que se hacen dentro de ese sistema, pero que, en sí mismas, son indemostrables. El nombre que reciben estas proposiciones básicas es el de postulados o axiomas.

¿Cómo es posible que lo que fundamenta y sirve para demostrar no se pueda fundamentar ni demostrar?

Hasta finales del siglo XIX se pensaba que estas proposiciones no se podían demostrar porque eran verdades evidentes, o lo que es lo mismo, que se imponían por su claridad a la mente humana, que intuye que no puede ser de otro modo. Sin embargo, la aparición, a finales del siglo XIX, de geometrías no euclidianas ha dado al traste con esta postura. En efecto, la geometría euclidiana se fundamenta en una serie de postulados, de los cuales el más importante es: en un plano, por un punto exterior a una recta, solo se puede trazar una paralela a esta recta. Durante muchos años, este postulado se había considerado evidente, y, a partir de ese axioma, se puede demostrar que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos rectos.

Pero Lobatchevsky, un geómetra ruso, supuso que: por un punto se pueden trazar muchas paralelas a una recta dada. Apoyándose en este postulado, dedujo una serie de teoremas sin ninguna contradicción. Los teoremas de esta geometría son completamente distintos a los de la geometría euclidiana y, en ella, por ejemplo, la suma de los ángulos de un triángulo no es igual, sino menor, a dos rectos. Más tarde, otro geómetra, el alemán Riemann, partiendo del postulado: por un punto exterior a una recta no se puede trazar ninguna paralela a esa recta, volvió a construir una nueva geometría con teoremas distintos a las dos anteriores, pero tan lógica y coherente como ellas.

En esta geometría, en la que el espacio presenta una "curvatura positiva", la suma de los ángulos de un triángulo es siempre superior a dos rectos. Todo esto ha demostrado que se pueden construir geometrías distintas y que los axiomas en los que se fundamentan no son evidentes; no son verdades tan claras e indudables que no puedan ser de otro modo, pues, precisamente, Lobatchevsky y Riemann proponen unos axiomas totalmente diferentes a los de la geometría clásica euclidiana; son solamente proposiciones indemostrables que se aceptan por su utilidad para deducir de ellas nuevas proposiciones o teoremas y construir, de este modo, sistemas matemáticos coherentes.