Chuletas y apuntes de Matemáticas de Universidad

Evaluación de Conceptos Fundamentales en Estadística y Probabilidad

A continuación, se presenta una serie de preguntas de opción múltiple sobre distribuciones de probabilidad, muestreo e inferencia estadística.

I. Distribuciones de Probabilidad

1. Distribuciones Discretas vs. Continuas

   ¿Cuál de las siguientes distribuciones de probabilidad no corresponde a una variable discreta?

   • A) Distribución entregada por los resultados al [lanzar un dado, por ejemplo].
   • B) Distribución Binomial.
   • C) Distribución Normal.
   • D) Distribución Poisson.

2. Supuestos de Distribución

   Los siguientes supuestos: a) Hay un número fijo de ensayos, b) La probabilidad de éxito es constante en cada ensayo, c) Todos los ensayos son independientes, son propios de la:

   • A) Distribución

Problemas de Probabilidad con Distribución Binomial

1 - Alergias en Residentes

Sea X el número de residentes con alergias. La probabilidad de que un residente tenga alergias es p = 0.2. X sigue una distribución binomial X ~ B(13, 0.20), donde n = 13 y p = 0.20. La función de probabilidad es:

P(X = k) = (n / k) * p^k * (1 - p)^n-k, para k = 0, 1, ..., n.

La probabilidad de que al menos cuatro residentes tengan alergias es:

P(X ≥ 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + ... + P(X = 13) = 0.1535 + 0.0694 + ... = 0.2526

O también:

P(X ≥ 4) = 1 - P(X ≤ 3) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)) = 0.2526

2 - Cursos de Preparación

(a) Al menos 12 han hecho curso de preparación?

Sea X el número de estudiantes que tomaron cursos de preparación. La probabilidad... Continuar leyendo "Cálculo de Probabilidades en Distribuciones Binomiales y Valor Esperado" »

Objetivo 2: Resolución de Integrales Trigonométricas

Se plantea la siguiente igualdad:

∫ 1/(1+x²) dx = ∫ 1/(1+x²) dx

Aplicando la integración:

arctg(x) = arctg(x)

Evaluando los límites:

arctg(a) - arctg(0) = arctg(∞) - arctg(a)

arctg(a) + arctg(a) = arctg(∞)

2 arctg(a) = π/2

arctg(a) = π/4

Tomando la tangente en ambos lados:

tg(arctg(a)) = tg(π/4)

a = 1

Objetivo 7: Producto Escalar e Integración

Dada la integral ∫ k · f(t) dt, con k = (√3, 0, 5) y f(t) = (t cos(t), t, 3):

∫ (√3, 0, 5) · (t cos(t), t, 3) dt = ∫ (√3 t cos(t) + 15) dt

= √3 ∫ t cos(t) dt + 15 ∫ dt

Resolviendo ∫ t cos(t) dt por partes (u = t, dv = cos(t) dt):

∫ t cos(t) dt = t sen(t) - ∫ sen(t) dt = t sen(t) + cos(t)

Por lo tanto:

∫ k · f(t) dt = t sen(... Continuar leyendo "Resolución de Problemas de Cálculo Vectorial e Integrales" »