Chuletas y apuntes de Matemáticas de Universidad

Concepto de técnicas de ajuste

La topografía y la geodesia son ciencias que se basan en la adquisición de observaciones para la determinación de magnitudes relativas a la forma y dimensiones de la superficie terrestre. A este procedimiento de determinación de mensurandos a partir de la medición de observables se le conoce como medición indirecta.

En este proceso, siempre existirán:

• Unas observables (x_j).
• Uno o varios mensurandos que se pretenden conocer (y_k).
• Un modelo matemático que los relaciona.

Este modelo matemático podrá estar compuesto por una o más ecuaciones, en cada una de las cuales las observables actuarán como variables independientes y el o los mensurandos pretendidos como variables dependientes. Cada modelo matemático... Continuar leyendo "Fundamentos de las Técnicas de Ajuste en Topografía y Geodesia" »

Conceptos Fundamentales

Población: Es un conjunto de objetos, personas, entidades de la más diversa índole, que constituyen el objetivo de nuestro estudio. Ejemplo: el conjunto de alumnos de la USC.

Patrón probabilístico: Es la ley que rige el comportamiento de un mecanismo aleatorio. Ejemplo: la probabilidad de cara al lanzar una moneda.

Muestra: Proporciona información sobre el objeto de estudio: la población o el patrón probabilístico.

Estadística Descriptiva

Se ocupa de recoger, clasificar y resumir la información contenida en la muestra.

Frecuencias

• Frecuencia absoluta (ni): Número de veces que ocurre el resultado xi.
• Frecuencia relativa, proporción o tanto por uno (fi): Es la frecuencia absoluta dividida por el tamaño muestral.

Elementos Fundamentales del Triángulo

El estudio del triángulo involucra varias líneas y segmentos notables que definen sus propiedades geométricas.

Líneas y Segmentos Notables

• Bisectrices de un triángulo: Son las rectas que dividen a cada uno de sus ángulos en otros dos iguales.
• Alturas de un triángulo: Son los segmentos de recta que, partiendo de cada vértice, son perpendiculares a los lados opuestos.
• Mediatrices de un triángulo: Son las rectas perpendiculares a cada lado en su punto medio.
• Medianas de un triángulo: Son las rectas que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto.

Puntos Notables del Triángulo (Centros)

La intersección de las líneas y segmentos notables genera puntos específicos, conocidos como los centros... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Geometría Plana: Puntos Notables y Lugares Geométricos" »

Descomposición Clásica de Series Temporales

En la modelización clásica de series temporales se considera que toda serie temporal puede descomponerse en cuatro componentes fundamentales. A continuación, se define cada una de ellas:

1. Tendencia (T_ik)

   Es el movimiento a largo plazo de la serie, que puede ser de crecimiento, decrecimiento o estancamiento. Su identificación requiere un número suficientemente grande de observaciones.

2. Ciclo (C_ik)

   Son movimientos producidos con un período superior al año. Generalmente, se deben a la alternancia de etapas de prosperidad y de depresión en la actividad económica.

   Nota: A veces se trata conjuntamente el ciclo con la tendencia, denominándose Componente Tendencia-Ciclo o Componente Extraestacional.

3. Componente

Transformacions Ortogonals (TO)

• Es conserven la norma, la distància i l'angle.
• Una transformació A és ortogonal si A · Aᵀ = Id.
• El determinant de A és +1 o -1.
• Un vector fix és un vector propi associat al valor propi 1.
• Si F i G són transformacions ortogonals, llavors la seva composició F o G també ho és.
• El determinant de la composició H = F o G és det(H) = det(G) · det(F).
• Equacions: Te(x,y) = (x,y).
• Canvi de base: Te = C_ne · T_n · C_ne⁻¹.
• Nota: No hi ha A*. Te ha de ser simètrica.

Classificació de TO en R²

1. Calculem el determinant de A.
2. Si det(A) = -1:
   • Simetria axial. Eix: Ker(A - Id). Exemple: f(x,y) = (x, -y) (matriu [[1,0],[0,-1]]).
3. Si det(A) = +1:
   • Identitat. Angle = 0°.
   • Simetria central (-Id). Angle = 180°.
   • Rotació qualsevol.

Cálculo de la Longitud de Arco

Al considerar una curva definida por una función y su respectiva derivada , que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud S del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:

1. Curvas en forma paramétrica

En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de t como e , la longitud del arco desde el punto hasta el punto se calcula mediante:

2. Curvas en coordenadas polares

Si la función está definida por coordenadas polares donde la coordenada radial y el ángulo polar están relacionados mediante , la longitud del arco comprendido en el intervalo toma la forma:

3. Consideraciones sobre integración numérica

En la mayoría de los casos, no hay una solución... Continuar leyendo "Cálculo de la Longitud de Arco: Fórmulas y Demostración Matemática" »

Conceptos Fundamentales de Estadística y Probabilidad

Definiciones Básicas en Estadística

• Población: Conjunto de elementos que son objeto de estudio.
• Muestra: Subconjunto de elementos de una población, cuyo estudio permite inferir características de esta.
• Individuo: Cada uno de los elementos de una población o muestra.

Tipos de Variables

Una variable es una característica o cualidad que puede variar y es susceptible de ser medida o clasificada. Se pueden clasificar en:

• Cualitativas: No toman valores numéricos.
• Cuantitativas Discretas: Toman valores aislados.
• Cuantitativas Continuas: Toman todos los valores de un intervalo.

Principios de Probabilidad

• Probabilidad: Cuando el número de observaciones de un fenómeno aleatorio se incrementa significativamente,

VARIABLE ALEATORIA

.

Significado:

Hasta ahora, se han estudiado carácterísticas generales de los espacios
probabilísticos (?,?,P)donde  ? Es el espacio muestral, ?¿ una ?-álgebra, y P una función de-álgebra, sino una ó
varias carácterísticas numéricas ligadas con el resultado del experimento. Así podrá
interesarnos al seleccionar un alumno de la Universidad, la probabilidad de que su nota sea
superior ó igual a 5 (probabilidad de aprobar), ó con objeto de establecer un nuevo impuesto la
probabilidad de que la renta anual de los individuos no sea superior a 20.000 euros. Estas
carácterísticas numéricas, a las que bajo determinadas condiciones podemos asociar una
probabilidad, inducida por la probabilidad de los sucesos del experimento,... Continuar leyendo "Fundamentos de la Variable Aleatoria: Definición, Tipos y Ejemplos" »

Econometría: Definición y Modelos

La econometría es la rama de la economía que se ocupa de la estimación práctica de las relaciones económicas. Un modelo es la representación, necesariamente simplificada, de cualquier fenómeno, proceso, institución y, en general, cualquier sistema.

Modelo Económico vs. Modelo Econométrico

Modelo Económico: Son modelos genéricos que son aplicables con validez general a diversos sistemas concretos. Son modelos expuestos de forma matemática. El problema de este modelo es que aparece demasiado simplificado y excesivamente genérico como para recoger todos los aspectos de los sistemas generales.

Modelo Econométrico: Son modelos específicos basados necesariamente en un modelo económico más o menos... Continuar leyendo "Econometría: Conceptos, Modelos y Tipos de Datos" »

Res Intra Patrimonium i Extra Patrimonium

Res intra patrimonium: dins del patrimoni.
Res extra patrimonium: fora del patrimoni.

Si una cosa està dins del patrimoni d'una persona és res intra i si està fora és res extra patrimonium. Sempre es mira com està o l'estat de la cosa en aquell determinat moment.

Res Intra Commercium i Extra Commercium

Aquestes són les coses que estan dins del comerç i fora del comerç. Si estan fora del comerç no poden estar dins del patrimoni de ningú. Hi ha coses que estan dins del comerç però no les té ningú (per exemple, una llebre salvatge que no ha estat caçada).

Res intra commercium: poden ser objecte de tràfic comercial i poden ser objecte de relacions privades.
Res extra commercium: no poden ser... Continuar leyendo "Classificació de les Coses en Dret Romà" »