Chuletas y apuntes de Matemáticas de Universidad

Buzamiento y Dirección de un Plano

Entre todos los infinitos vectores de un plano, existen algunos vectores especiales que definen su orientación.

Definiciones Fundamentales

• Vector de buzamiento: Se dice que un vector v = (v1, v2, v3) es de buzamiento si v3 < 0.
• Vector de nivel: Se dice que es un vector de nivel del plano si v3 = 0.

Ejemplo Práctico

Para el plano x + 2y - z + 3 = 0, un vector de nivel debe satisfacer z = 0. Además, debe cumplir la ecuación de sus vectores: x + 2y - z = 0.

Sustituyendo, obtenemos x + 2y = 0, lo que implica x = -2y. Para el valor y = 1, se obtiene x = -2. Por lo tanto, un vector de nivel es (-2, 1, 0).

Lema sobre Vectores de Nivel

Todo vector de nivel del plano ax + by + cz + d = 0 es de la forma (-λb, λa, 0)

Coordenadas y Combinación Lineal

Sea B = {v₁, v₂, . . . , v_n} una base de V. Para cada u ∈ V, llamaremos coordenadas de u en B a una n-upla de escalares λ₁, λ₂, . . . , λ_n tal que:

λ₁v₁ + λ₂v₂ + . . . + λ_nv_n = u

Llamaremos combinación lineal de un conjunto de vectores v₁, v₂, . . . , v_k a cualquier expresión de la forma:

λ₁v₁ + λ₂v₂ + . . . + λ_kv_k

donde λ₁, λ₂, . . . , λ_k ∈ K.

Sistema Generador

Sea V un espacio vectorial y S ⊂ V. Diremos que S es un sistema generador (s.g.) de V si cualquier vector de V se puede expresar como combinación lineal de elementos de S.

Independencia Lineal

Diremos que los vectores v₁, v₂, . . . , v_k son linealmente independientes (l.i.) si la única combinación lineal de ellos que es 0 es la que tiene... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal: Bases, Dependencia Lineal y Autovalores" »

Cálculo y Tipificación de Puntuaciones en Tests Psicométricos

1. Escala Típica (Estandarizada)

La escala típica o estandarizada es la transformación lineal directa más simple de los métodos de escalamiento. Las puntuaciones representan distancias de la media en unidades de desviación estándar (s). Esta transformación no altera la forma de la distribución original de las puntuaciones.

Puntuación estandarizada derivada: Es una transformación lineal de la puntuación estandarizada, con una media (origen) y varianza (unidad) fijadas por el constructor, que representa la puntuación original.

2. Transformaciones No Lineales

Mantienen las propiedades de monotonía creciente, pero alteran la forma de la distribución original.

Percentiles

Los... Continuar leyendo "Puntuaciones en Tests Psicométricos: Escalas, Normalización y Grupos Normativos" »

Notación asintótica

Diremos que f(x) es o pequeña de g(x) (f = o(g)) en b si

lim_x→b f(x)/g(x) = 0.

Diremos que f(x) es O grande de g(x) (f = O(g)) en b si existen constantes k, δ > 0 tales que

|f(x)| ≤ k |g(x)|, ∀ x ∈ E\*(b, δ).

Continuidad en un punto

Sea f : A → ℝ. Diremos que f es continua en un punto b si, o bien b es un punto aislado del dominio (es decir, un punto del dominio que no es de acumulación), o bien b es un punto de acumulación y se cumplen las tres condiciones siguientes:

• b ∈ A
• Existe el límite lim_x→b f(x)
• El límite coincide con el valor: lim_x→b f(x) = f(b)

Teoremas sobre valores extremos y ceros

Teorema de Weierstrass

(Weierstrass) Sea f : [a, b] → ℝ continua. Entonces existen p y q en [a, b] tales que

∀

Métodos Estadísticos

Una variable es cualquier característica que se mide en un individuo o en una población. La medición de la variación en las medidas (entre individuos o intraindividuo) es una de las funciones elementales de la estadística.

Tipos de Variables

Variables Cuantitativas: ¿Cuánto?

• Variables continuas: Toman cualquier valor de un rango. Ej. Nivel de glucosa en sangre.
• Variables discretas: Los valores son puntuales y entre cada dos valores consecutivos enteros, la variable no puede tomar ninguno más. Ej. Número de hijos, número de casos de gripe.

Variables Cualitativas: ¿De qué tipo?

Vienen definidas por un atributo, categorías o cualidades.

• Variables nominales o categóricas: Sexo, grupo sanguíneo, fumador (sí/no).
• Variables

Las técnicas de muestreo probabilísticas son: muestreo aleatorio simple, muestreo aleatorio sistemático, muestreo aleatorio estratificado y muestreo por conglomerados.

Muestreo Aleatorio Simple

El muestreo aleatorio simple consiste en extraer un conjunto de n individuos, que llamamos muestra, a partir de un conjunto más grande N de individuos, que es la población. Para que la muestra se pueda considerar representativa y poder inferir los resultados a la población, los individuos o unidades deben ser extraídos por cualquier procedimiento que suponga aleatoriedad y, además, hacerlo de tal manera que se pueda considerar que todos han tenido la misma probabilidad de ser seleccionados. Todos los procesos de muestreo y cálculos se realizan... Continuar leyendo "Técnicas de Muestreo Probabilístico: Tipos y Aplicaciones" »

Conceptos Fundamentales en Geoestadística

1. Variable Regionalizada

¿Qué se entiende por variable regionalizada?

Es una función numérica que mide un atributo específico y presenta una estructura o distribución en el espacio (por ejemplo, la ley de cobre en un yacimiento). Su valor característico es que depende de su posición en el espacio o, en algunos casos, en el tiempo.

Una variable puede considerarse regionalizada si está distribuida en el espacio y muestra algún grado de correlación espacial entre sus valores cercanos.

2. Función Aleatoria

¿Qué es una función aleatoria?

Es un conjunto o colección de variables aleatorias distribuidas en el espacio. Cada variable aleatoria dentro de la función está identificada por sus coordenadas... Continuar leyendo "Conceptos Clave de Geoestadística: Variables Regionalizadas, Funciones Aleatorias y Variogramas" »

Teorema de Cayley-Hamilton

Si A es una matriz cuadrada de orden n y si p(λ) = det(A - λI_n) = c₀ + c₁λ + c₂λ² + ... + c_nλⁿ es su polinomio característico, se cumple la identidad:

c₀I + c₁A + c₂A² + ... + c_nAⁿ = 0_n

Demostración del Teorema

Toda matriz cuadrada multiplicada por su adjunta es igual al determinante de la matriz por la identidad. Aplicando esto a la matriz característica de A:

(A - λI_n) · Adj(A - λI_n) = det(A - λI_n) · I_n

Dado que los elementos de la matriz Adj(A - λI_n) son polinomios en la variable λ de grado a lo sumo n-1, podemos escribir:

Adj(A - λI_n) = B₀ + B₁λ + B₂λ² + ... + B_n-1λ^n-1

Por lo tanto, tenemos la siguiente igualdad:

(A - λI_n) · (B₀ + B₁λ + B₂λ² + ... + B_n-1λ^n-1) = (c₀ + c₁λ + c₂λ² + ... + c_nλⁿ)

Población Estadística

Población estadística: Es un conjunto de todos los elementos que se están estudiando, acerca de los cuales se intentan sacar conclusiones.

Muestra Estadística

Muestra estadística: Se llama muestra a una parte de la población que se estudia y sirve para representarla.

Variable Estadística

Variable estadística: Es cada una de las características o cualidades que poseen los individuos de una población.

Variable Cuantitativa

Variable cuantitativa: Es aquella que se expresa mediante un número; por lo tanto, se pueden realizar operaciones aritméticas con ella.

Variable Cualitativa

Variable cualitativa: Se refieren a características o cualidades que no pueden ser medidas con números.

Variable Continua

Variable continua:... Continuar leyendo "Términos Clave en Estadística: Definiciones Esenciales" »

Matrices Inversas y Regulares

Definición 9: Matriz Inversa

Dadas dos matrices cuadradas, A, B ∈ M_n(K), se dice que B es inversa de A si AB = BA = I_n.

No toda matriz cuadrada tiene inversa. Por ejemplo, la siguiente matriz:

Ejemplo 10

A = (1 0 / 0 0)

no puede tener inversa, ya que al multiplicar por cualquier matriz cuadrada 2x2, se tiene:

(1 0 / 0 0)(a b / c d) = (a b / 0 0)

que nunca puede dar la matriz identidad.

Este concepto se puede generalizar a cualquier matriz.

Lema 1: Propiedades de Matrices con Filas/Columnas de Ceros

Si una matriz A tiene una fila de ceros, cualquier producto AB tiene una fila de ceros. También, si A tiene una columna de ceros, cualquier producto CA tiene una columna de ceros. Por tanto, una matriz invertible nunca tiene