Chuletas y apuntes de Matemáticas de Universidad

Definición de Elasticidad de Coste

La elasticidad de coste (EC) es la variación porcentual que experimenta el coste total cuando la producción varía en un 1%. Se calcula como:

EC = Coste Marginal (CM) / Coste Medio (CMe)

Se clasifica en:

• EC = 1: No existen ni economías ni deseconomías de escala.
• EC > 1: Existen deseconomías de escala.
• EC < 1: Existen economías de escala.

Relación Marginal de Sustitución Técnica (RMST)

La RMST de capital (K) por trabajo (L) es la cantidad en que puede reducirse el capital cuando se utiliza una unidad adicional de trabajo, permaneciendo la producción constante. Se calcula como:

RMST = Variación de la cantidad de K / Variación de la cantidad de L

La RMST está estrechamente relacionada con la producción... Continuar leyendo "Elasticidad de Coste, Producción y Optimización Empresarial: Conceptos Clave" »

Dominio de Funciones

El dominio de una función f(x) es el conjunto de todos los valores posibles de x para los cuales f(x) está definida.

• Constante: R (Todos los números reales)
• Lineal: R
• Cuadrática: R
• Racionales: R \ {n} (Todos los reales excepto los valores que anulan el denominador)
• Arco de Circunferencia (Funciones Trigonométricas Inversas): [-n, n] (El argumento debe estar en este intervalo, por ejemplo, para arcsen(x) es [-1, 1])
• Radicales:
  • Índice Impar: El dominio de la función es el dominio del radicando.
  • Índice Par: El radicando P(x) debe ser mayor o igual a cero (P(x) ≥ 0).
• Valor Absoluto: R
• Signo (sgn): R
• Parte Entera: R
• Trigonométricas (Sen, Cos): R (Para Tan, Sec, Csc, Cot, se excluyen los valores que anulan el denominador)

Cálculo

Espacio Vectorial: Definición y Propiedades

Un espacio vectorial es un conjunto con una operación interna que cumple las propiedades conmutativa, asociativa, existencia de elemento neutro y existencia de vector simétrico, y con una operación externa que verifica las propiedades de asociatividad, distributividad 1 y 2, y existencia de elemento unidad.

Conceptos Fundamentales

• La dimensión del espacio Rⁿ es n.
• Los elementos de Rⁿ reciben el nombre de vectores.

Operaciones y Compatibilidad

• Inversa de una matriz: A^-1 = 1/|A| · A*
• Combinación lineal: La matriz (A|b) (matriz ampliada) debe tener el mismo rango que A. Ejemplo: Si Rang(A)=2, Rang(A|b)=2, entonces el determinante de orden 3 debe ser nulo.

Sistemas de Ecuaciones

• Sistema Incompatible: No

Algorismes de Multiplicació: Cas 54x23

Per exemple, per calcular 54x23, i per tal d’arribar a l’expressió estàndard de l’algorisme, es poden utilitzar les expressions següents, que converteixen una multiplicació que no saben fer en dues multiplicacions que sí que saben fer:

Mètode Horitzontal

54x23 = 54x[(2x10+3)] = [54x(2x10)]+[54x3] = [(54x2)x10]+[54x3] = [108x10]+162 = 1.080+162 = 1.242

Expressió Vertical Inicial

(Dibuix de l'operació vertical inicial)

Una vegada queda clar el desenvolupament inicial de l’operació, es traslladen els resultats parcials, començant a operar per la xifra de les unitats, a una disposició vertical més pròxima a l’expressió estàndard de l’algorisme, l’expressió intermèdia, en la qual es... Continuar leyendo "Algorismes Matemàtics i Resolució de Problemes: Guia Completa" »

Estadística Aplicada: Toma de Decisiones Empresariales con Pruebas de Hipótesis

Este documento aborda tres problemas de estadística inferencial aplicados a un caso de negocio real, donde un diario local busca tomar decisiones informadas sobre la eliminación de una sección y la comprensión del comportamiento de sus suscriptores. Se corrigen y amplían los planteamientos, se interpretan los resultados estadísticos y se formulan conclusiones claras para la gerencia.

1. Evaluación de la Permanencia de una Sección de Diario

Planteamiento del Problema

Un diario local está evaluando la posibilidad de eliminar una sección porque, según informantes, es poco leída por los lectores. Para tomar una decisión fundamentada en datos empíricos, la... Continuar leyendo "Estadística Aplicada: Toma de Decisiones Empresariales con Pruebas de Hipótesis" »

Derivadas: Conceptos Fundamentales y Aplicaciones

El concepto de derivadas de una función en un punto es uno de los temas más importantes del cálculo diferencial y el análisis matemático. Su relevancia radica en sus vastas aplicaciones en diversas disciplinas, como por ejemplo en física, para el cálculo de la velocidad instantánea, la aceleración instantánea, entre otros fenómenos.

Incrementos: Absolutos, Medios y Relativos

Consideremos la función y = f(x), representada en la siguiente figura:

Podemos observar en la figura los siguientes elementos:

• ab = f(x) (función sin incrementar)
• ce = f(x+Δx) (función incrementada)
• de = Δy (incremento en y)
• bd = Δx (incremento en x)

A medida que asignamos a x diferentes valores, se irán obteniendo... Continuar leyendo "Derivadas: Fundamentos, Incrementos y Cálculo Paso a Paso" »

Errores en Diagramas de Bode

El error en estado estacionario en diagramas de Bode se determina de la siguiente manera:

• Error de posición (Kp): Se obtiene del valor del primer segmento horizontal del diagrama de magnitud. Si este valor es 20log(Kp), entonces Kp es el error de posición. Matemáticamente: lim_(w→0) G(jw)H(jw) = Kp
• Errores de velocidad (Kv) y aceleración (Ka): Se calculan encontrando la intersección de la recta w=1 con el segmento inicial del diagrama de magnitud (que tiene una pendiente de -20 dB/década o -40 dB/década). El valor en esta intersección es 20log(Kv) o 20log(Ka), respectivamente.

Conceptos en el Dominio de la Frecuencia

• Ganancia en Corriente Continua (Gcc): Es el valor de la magnitud de la función de transferencia

Teorema de Euler

Recordemos el concepto de grupo abeliano.

Definición 2

Un grupo es un conjunto G junto con una operación binaria · : G × G → G satisfaciendo las siguientes propiedades:

• Asociativa: Para cualesquiera tres elementos x, y, z de G, se cumple que x(yz) = (xy)z.
• Elemento neutro: Existe un elemento e en G que verifica xe = ex = x para cualquier elemento x de G.
• Elemento inverso: Para cada elemento x de G, existe un inverso x⁻¹ verificando que xx⁻¹ = x⁻¹x = e.

El grupo se llama abeliano si satisface la propiedad conmutativa: xy = yx.

Productos de Anillos y la Función de Euler

Si R y S son dos anillos, entonces R × S se puede convertir en un anillo definiendo las operaciones:

• (r, s) + (r', s') = (r + r', s + s')
• (r, s)(r', s')

Heterocedasticidad en Modelos de Regresión

Cuando se incumple el supuesto de homocedasticidad, la varianza no es constante y varía con la observación (E[u_t²] = δ²_t, ∀t).

El modelo de regresión lineal se define como:

y_nx1 = X_nxk . β_kx1 + u_nx1

tal que E[u_t] = 0_nx1 y Var(u) = δ².Ω_nxn, donde Ω es una matriz diagonal con diagonal no constante. En este caso, se dice que el modelo tiene una matriz de varianza-covarianza no escalar o con perturbaciones no esféricas. Este fenómeno aparece con datos de sección cruzada.

Causas de la Heterocedasticidad

• Naturaleza del fenómeno (se da en datos de sección transversal o cruzada).
• Uso de datos agregados (cuando las observaciones de la variable dependiente pueden dividirse en grupos).
• Omisión de una

Introducción

Una cantidad determinada de Z no es accesible mediante una medida directa, sino que ha de obtenerse indirectamente mediante una ecuación de tipo: t = t(xi, cj), donde i = 1, 2, ..n y j = 1, 2, ..n. Utilizamos t, ya que estamos desarrollando el ejercicio con el ejemplo de la raíz, pero podría utilizar cualquier variable.

Determinación del Valor de t

Determinamos el valor de t, conocidos los errores en la determinación de las variables xi de los parámetros cj. Para ello, se utiliza la expresión de la propagación lineal de los errores:

• dt = Σ(dt/dxi) + Σ(dt/dcj)

POTENCIAL DE MAREAS

El potencial de mareas se expresa como:

• ψ ≈ G.(C/R)²(cos2θ + 1/3);
• G = 3/4KM. r²/c³

Este potencial explica entre el 90-95% del potencial total... Continuar leyendo "Entendiendo el Potencial de Mareas y su Impacto en la Geodesia" »