Chuletas y apuntes de Matemáticas de Secundaria

PROPORCIONES

Es la igualdad de dos razones de la misma clase que tienen el mismo valor.

CLASES DE PROPORCIÓN

1. Proporción Aritmética: Es la igualdad entre dos razones aritméticas.

2.Proporción Geométrica: Es la igualdad entre dos razones geométricas.

PROPIEDADES DE LA PROPORCIÓN GEOMÉTRICA

Sea la proporción: Se cumple que:

TIPOS DE PROPORCIÓN

Las proporciones aritméticas y geométricas pueden ser
discretas y continuas.

Ejemplos:

• ¿Cuál es la cuarta diferencial de 18, 12 y 9?
• ¿Cuál es la media diferencial de 25 y 17?
• ¿Cuál es la cuarta proporcional de 10, 15 y 12?
• ¿Cuál es la media proporcional de 16 y 25?  
• ¿Cuál es la tercera proporcional de 6 y 12?

PROBLEMAS RESUELTOS

1. En una proporción aritmética, la suma de los cuatro términos

Razones Trigonométricas Recíprocas

5. Se llama **secante** del ángulo a la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente.

• sec α = AB/AC = c/b = hipotenusa/cateto adyacente = h/C.A = sec α = 1/cos α

6. Se llama **cosecante** del ángulo α a la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto.

• csc α = AB/BC = c/a = hipotenusa/cateto opuesto = H/C.O = csc α = 1/sen α

Circunferencia Trigonométrica

Definición y Propiedades

Obj 2. Circunferencia trigonométrica

Partimos de la circunferencia trigonométrica de radio unitario e imaginamos que el punto P de coordenadas (x,y) parte de A y hace un recorrido a través de la circunferencia moviéndose en el sentido contrario a las agujas del reloj (sentido positivo).

Al tomar como radio la unidad, pueden... Continuar leyendo "Explorando las Razones Trigonométricas y la Circunferencia Trigonométrica" »

La traspuesta de una matriz es la matriz original

Propiedad

La traspuesta de la suma de 2 matrices es igual a la suma de las respectivas transpuestas.

A + B = A^T + B^T

La traspuesta del producto de 2 matrices es igual al producto de la traspuesta de la segunda matriz por la traspuesta de la primera.

A * B = (B^T) * (A^T)

La matriz inversa se denomina matriz inversa de A a una matriz tal que se efectúe la siguiente igualdad:

Aⁿ * A^-1 = I

A * A^-1 = I

La traspuesta del producto de 2 matrices es igual al producto de la traspuesta de la segunda matriz por la traspuesta de la primera.

A * B = (B^T) * (A^T)

Matriz inversa:

Se denomina matriz inversa de A a una matriz tal que se efectúe la siguiente igualdad:

An * A^-1 = In

A * A^-1 = I

1) 6x + 2z = 1 / * -4

2) 23x + 8z... Continuar leyendo "Propiedades de la matriz traspuesta" »

Conceptos Matemáticos Fundamentales

Conjuntos Numéricos

• Números Naturales (N): Sirven para contar: 0, 1, 2...
• Números Enteros (Z): Naturales y sus opuestos: -1, 0, 1...
• Números Racionales (Q): Se pueden escribir en forma de fracción: 2/3.
• Números Fraccionarios: Tienen expresión decimal y pueden ser exactos o periódicos: 2, 2.2, 2.2...
• Números Irracionales: No se pueden escribir en forma de fracción ni como decimales exactos o periódicos. Ejemplo: número pi (π).

Intervalos y Semirrectas

• Intervalo: Segmento de la recta real entre dos extremos *a* y *b*, incluyendo o no los extremos.
• Intervalo Cerrado: a ≤ x ≤ b
• Intervalo Abierto: a < x < b
• Semirrecta: Parte de la recta real con origen en *a*, incluyendo todos los números a la derecha

Funcions d'Excel per a Estudiants

Error: =SI(G4=SUMA(C4;E4);"bé";"error")

Multiplicació: =()*()

Suma: =()+()

Dividir: =()/()

Exponent: =()^()

Percentatge: =()*()/(100)

Major de 10 o Menor de 10: =SI(G4>10;"major de 10";"menor de 10")

Més gran o igual a 5 o més petit o igual a 5: =SI(G4>=5;"més gran de 5";"més petit o igual a 5")

No és igual a 2: =SI(G4<>2;"No igual a 2")

Aprovat o Suspès: =SI(G4>=5;"Aprovat";"Suspès")

Apta o No APTA: =SI(G4="";"APTA";"I NO APTE")

Curs Aprovat (Veritat/Fals): =Y(G4>=5;G5>=5;G6>=5;G7>=5)

Curs Suspès (Veritat/Fals): =Y(G4<5;G5<5;G6<5;G7<5)

Contar un número de persones o estudiants: =CONTARÁ(A1:A10)

Contar persones que aproven (més del 5): =CONTAR.SI(A1:A10;">=5")

Contar dues

Equacions racionals

Fent les operacions i posant tots els termes al mateix costat de la igualtat queda x² - 2x - 8 = 0 que és ja una equació de 2n grau, si la resolem obtenim x₁ = 4 i x₂ = -2.

completas                        incompletas 

 Equacions irracionals       x - 2√x = 15

Alliberem l'arrel en un dels dos costats x - 15 = 2√x; elevem al quadrat a cada costat (x - 15)² = (2√x)², i queda x² - 30x + 225 = 4x. Si ajuntem termes tenim x² - 34x + 225 = 0 que és una equació de segon grau. Resolent-la obtenim x₁ = 25 i x₂ = 9 com a solucions.

Comprovem aquestes solucions en l'equació irracional inicial 

-Si fem x = 25 queda               25 - 2√25 = 15 igualtat que és certa.

Si fem x = 9 queda     ... Continuar leyendo "Equacions racionals i irracionals" »

Fórmulas Clave

(a - b)² = a² - 2 ⋅ a ⋅ b + b²

(a + b) ⋅ (a - b) = a² - b²

(a - b)³ = a³ - 3 ⋅ a² ⋅ b + 3 ⋅ a ⋅ b² - b³

Regla de Ruffini

Se cambia el signo del divisor (x-2), el término independiente b pasa a positivo y viceversa.

Se puede averiguar el resto por el teorema del resto sustituyendo el término independiente b del divisor por x.

Factorización

• Si el polinomio es elevado al cubo, se puede utilizar el teorema del resto.
• También se puede factorizar sacando factor común.
• Si es elevado al cuadrado, se puede utilizar la ecuación de segundo grado.

Nota:

Siempre se cambia el signo del término independiente al factorizar.

Trigonometría

Para averiguar el seno, el coseno y la tangente de un ángulo grande, hay que dividirlo por 360°.... Continuar leyendo "Fórmulas y Conceptos Matemáticos Clave" »

Successions, Progressions i Polinomis

Successions: S'anomena successió a un conjunt de nombres ordenats de manera que es puguin numerar. Els elements d'una successió s'anomenen termes i se solen distingir mitjançant una lletra amb subíndex. El subíndex de cada element indica el lloc que ocupa en la successió. Per exemple: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17... (cada nombre és un terme).

Regla de Formació

La regla de formació és una frase que explica quin és el criteri de formació de la successió. S₁ indica el subíndex (el lloc que ocuparà).

Terme General

El terme general és la fórmula matemàtica que ens permet trobar qualsevol terme de la successió. Per exemple: 1, 5, 9, 13, 17... La regla de formació és: cada terme s'obté de l'anterior... Continuar leyendo "Successions, Progressions i Polinomis: Guia Completa" »

Conceptos Fundamentales de Funciones Matemáticas

En matemáticas, las funciones son elementos esenciales para describir relaciones entre conjuntos de datos. A continuación, se presentan las definiciones clave y propiedades fundamentales para comprender su comportamiento y aplicación.

Definiciones Básicas de Funciones

• Función de una variable: Toda aplicación que a un número x le hace corresponder un número y, llamada variable dependiente.

• Función real de variable real: Toda aplicación f de un subconjunto no vacío S de ℝ en ℝ. Una función real está definida, en general, por una ley o criterio que puede expresarse mediante una fórmula matemática. La variable x recibe el nombre de variable independiente y la y o f(x), variable dependiente