Chuletas y apuntes de Matemáticas

1. Introducción a la Estadística y el Método Científico

Estadística: Es la tecnología del método científico que proporciona elementos para la toma de decisiones cuando estas deben adoptarse en un ambiente de incertidumbre y siempre que se puedan medir en términos de probabilidad.

Etapas del Método Científico

1. Definición por objetivos: Se fijan las características cuantitativas o cualitativas. También se determina el carácter censal o muestral del estudio.
2. Recogida de datos estadísticos:
   • Encuesta censal (exhaustiva): Mide la característica en todos y cada uno de los elementos de la población.
   • Encuesta muestral (no exhaustiva): Mide solo en algunos elementos; es la más común. Incluye el diseño del cuestionario.
3. Descripción y estimación

Problemas de turbinas hidráulicas

1) Triángulo de velocidades

c1 = y1·(2gHn)^1/2  |  w1 = c1 − u1  |  c2 = (u2² + w2² − 2·u2·w2·cos β2)^1/2  |  w2·sen β2 = c2·sen α2  |  sen α2 = (w2·sen β2)/c2

Fx [kg] = ((γ·Q)/g)·(w1·cos β1 − w2·cos β2)

Q = c1·(π·d²)/4·n

N_efect [kgm/s] = Fx·u    (75 kgm/s = 1 CV)

n_man = (75·N_efect)/(γ·Q·Hn)    n_man = H_ef/Hn    →    H_ef = (N_efect[CV]·75)/(γ·Q)

n = n_man·n_mec·(n_vol = 1)

N_frenoútil [CV] = ((γ·Q·Hn)/75)·n    N_frenoútil [CV] = n_mec·N_ef

2) Caudal diario, caudal y potencia

Q_diario [l/día] = Q·3600·24    (1 m³ = 1000 l)

Q [m³/s] = Q_diario/(3600·horas)

N [kgm/s] → [CV] = (γ·Q·Hn·η)/75

H'n = Hn/n₂ · n'₂

n = 3000/7 pares    n' = 3000/6 pares

N'...

Conceptos Clave de la Estadística Inferencial

Población: Conjunto de individuos sobre los que se estudian una o varias características. A los elementos que componen la población se les denomina unidades elementales o primarias. El número de elementos que integran una población se denomina tamaño poblacional y lo denotaremos por N. En el ámbito de la inferencia estadística, se suele identificar la población con la variable aleatoria estudiada en ese momento y hablaremos de “la distribución de una población X” o de la media poblacional.

Muestra: Subconjunto de elementos de la población. El número de elementos de la muestra se denomina tamaño muestral y lo denotaremos por n.

Parámetro: Cualquier característica medible de la población....

Medidas de Posición y Tendencia Central

Media en xi-Md: orden de –a+ el del medio o media de los del medio.

Si están agrupados:

• $Li = \text{está en } na = \text{ó} + a \cdot n/2$
• Percentil ($Li = n \times k / 100$ fila $na$)
• $N^\circ$ ($Li$ es el valor y está en $Xi$)

Medidas de Dispersión y Asimetría

Desviación Típica (Dt): $Sx$ shift 8, varianza shift raíz (con la Dt metida). Cuasi shift 9.

• Puntuación típica: media es $x/n$.
• Propiedades de varianza y Dt: Necesita todas las puntuaciones miden la variabilidad de los datos respecto a la media = $s$ ó $+ k \geq 0$, si $0 =$ a la media.
• Si se suma o resta una constante, siguen igual.
• Si se multiplica por una constante $B$, la varianza = $-la$ constante al cuadrado y la Dt por el valor absoluto

T.3 Objectiu d'anàlisi del lloc de treball: buscar la persona adequada amb l'objectiu d'augmentar la productivitat en l'empresa (es pretén cercar la satisfacció dels treballadors i la consecució de l'objectiu empresarial).

Dimensions del lloc de treball: per obtenir eficiència, no podem actuar de dues formes:

1. Actuar sobre les dimensions

(factible a curt i mig termini a través de tècniques d'intervenció estructural)

Dimensions del lloc de treball, cinc principals:

• Varietat: nombre i diversitat d'habilitats que calen per realitzar les activitats que requereix la tasca. A més habilitats i coneixement de l'individu, més significatiu serà el lloc de treball. La varietat es relaciona amb l'especialització horitzontal: com més tasques facin,

Ejercicios Resueltos de Derivadas

A continuación, se presentan una serie de ejercicios resueltos de cálculo diferencial, enfocados en la aplicación de la regla del producto y la regla de la cadena en funciones algebraicas y trigonométricas.

Problemas y Soluciones

• 1) $y = x^3 \sin(x) = 3x^2\sin(x) + x^3\cos(x) = x^2(3\sin(x) + x\cos(x))$

• 2) $y = (x\sin(x))^3 = 3(x\sin(x))^2(1(\sin(x)) + x\cos(x)) = 3(\sin(x) + x\cos(x))(x\sin(x))^2$

• 3) $y = x(\sin(x^3)) = 1(\sin(x^3)) + x \cdot \cos(x^3) \cdot 3x^2 = \sin(x^3) + 3x^3\cos(x^3)$

Práctica Adicional

Repasa los siguientes bloques de ejercicios aplicando los mismos principios matemáticos:

Bloque 1

• 1) $y = x^3 \sin(x) = 3x^2\sin(x) + x^3\cos(x) = x^2(3\sin(x) + x\cos(x))$

• 2) $y = (x\sin(x))^3 = 3(x\sin(

Puntos notables del triángulo

Medianas: son las rectas que unen los puntos medios de los lados contrarios. Su punto de corte es el baricentro G.

Mediatrices de un triángulo: son las mediatrices de sus lados. El punto de corte de las tres es el circuncentro O, centro de la circunferencia circunscrita.

Bisectrices: son las bisectrices de sus ángulos. El punto de corte de las bisectrices es el incentro I, centro de la circunferencia inscrita.

Polígono regular conocido su lado

Pentágono conocido su lado AB

Transportar AB, levantar en A una perpendicular. Trazar la mediatriz. Transportar el lado sobre la perpendicular obteniendo los puntos C, M, R, P, M; desde M se traza un arco con radio MR hasta cortar en Q. Desde C con radio CB se traza un arco...

Algoritmos para el trazado de líneas rectas

En la computación gráfica, trazar una línea recta consiste en calcular las coordenadas enteras de los píxeles que forman parte de la línea o que se encuentran más cerca de ella. A continuación se presentan tres implementaciones clásicas: el algoritmo básico, el algoritmo DDA (Digital Differential Analyzer) y el algoritmo de Bresenham.

1. Algoritmo básico

Este método calcula la pendiente M y la ordenada al origen B de la recta, y en cada iteración obtiene el valor de Y a partir de la ecuación Y = M·X + B. Cuando la recta es vertical (Dx = 0), se recorre directamente el eje Y.

void Basico(int X1, int Y1, int X2, int Y2)
{
    int i, X;
    float Y;
    float Dx, Dy, M, B;

    Dy = Y2 - Y1;

El sesgo de los tests

Un instrumento de medición debe dar cuenta de la variabilidad de los sujetos con respecto al atributo de interés; no debe estar afectado por las características del objeto de medida. Ha de garantizar resultados idénticos en sujetos que tienen el mismo nivel en el atributo medido, sea cual sea su grupo de pertenencia. Un foco principal reside en la detección de ítems o tests que se comportan diferencialmente para grupos que difieren en lengua, género o cultura.

Función diferencial del ítem

Cuando sujetos con idéntico nivel en la característica medida (comparables) tengan distintas probabilidades de éxito ante un determinado ítem, dependiendo del grupo al que pertenezcan.

Primer trabajo

650 ítems de 8 tests de inteligencia....

Más soluciones Hoja 3b

18) Campos conservativos y función potencial

i) Campo conservativo

F = (3x²yz + 2xy)i + (x³z + x² + 2yz)j + (x³y + y² + 1)k

Curva: c(t) = (cos t, sen t, t³), con t ∈ [0, π]

c(0) = (1, 0, 0)    c(π) = (−1, 0, π³)

Rotacional:

∇ × F = |i   j   k; ∂/∂x   ∂/∂y   ∂/∂z; F₁   F₂   F₃| = i(x³ + 2y − x³ − 2y) − j(3x²y − 3x²y) + k(3x²z − 3x²z) = 0

Campo conservativo: existe función potencial.

Cálculo del potencial:

• F₁ = ∂f/∂x = 3x²yz + 2xy  ⟹  f = ∫(3x²yz + 2xy)dx = x³yz + x²y + k₁(y, z)
• F₂ = ∂f/∂y = x³z + x² + ∂k₁/∂y  ⟹  ∂k₁/∂y = 2yz  ⟹  k₁ = ∫2yz dy = y²z + k₂(z)
• F₃ = ∂f/∂z = x³y + y² + ∂k₂/∂z  ⟹  ∂k₂/∂z = 1  ⟹  k₂ = z + k₃

Potencial final: f =...