Chuletas y apuntes de Matemáticas de Otros cursos

Trabajo Práctico N°1: Funciones y la Ecuación de la Recta

1. Representación Gráfica Inicial

1. Representa las siguientes funciones constantes:
   1. y = 2
   2. y = -2
   3. y = 3/4
   4. y = 0
2. Representa las siguientes rectas verticales:
   1. x = 0
   2. x = -5

2. Elementos Fundamentales de la Recta

3. Determina la pendiente (m) y la ordenada al origen (n) de las siguientes ecuaciones:
   1. y = 2x
   2. y = x + 2
   3. 2x - y = 4
   4. y = -x
   5. 2x + 3y - 4 = 0
   6. 2y - x = 6
   7. y = -2
   8. y = 4

3. Verificación de Puntos en una Recta

4. Determina si el punto dado pertenece a la recta indicada:
   • Punto (-4, 2); Recta: y = -2x - 6
   • Punto (1, 3); Recta: y = x - 4
   • Punto (-2, 0); Recta: x + 3y + 2 = 0
   • Punto (1/2, -2); Recta: 2x + y + 1 = 0

4. Formas de la Ecuación de la Recta

5. Escribe las siguientes ecuaciones en la forma principal (y = mx + n):
   1. 5x

Constantes Fundamentales

Pi (π): Aproximadamente 3.141592

Geometría Plana: Fórmulas de Figuras 2D

Características del Polígono Regular

Un polígono es regular si cumple al menos una de las siguientes condiciones:

• Todos sus lados son iguales:

  a₁ = a₂ = a₃ = ... = a_n-1 = a_n

• Todos sus ángulos son iguales:

  α₁ = α₂ = α₃ = ... = α_n-1 = α_n

Polígonos Específicos

Triángulo Isósceles

• Área (A):
  • A = (b · h) / 2
  • A = (1/2) · a · b · sen(C) (donde C es el ángulo entre lados a y b)
• Perímetro (P): P = 2a + b
• Altura (h): h = a · sen(A) (donde A es el ángulo de la base)
• Relación Pitagórica: 4a² = 4h² + b²

Cuadrado

• Área (A): A = a²
• Perímetro (P): P = 4a
• Ángulo Interno (α): α = 90°
• Ángulo Externo (β): β = 90°
• Número de Diagonales (ND): ND = 2

Rectángulo

• Área

Conceptos Básicos de Probabilidad

Tipos de Experimentos

• Experimento determinista: Es aquel en el que se sabe qué resultado se va a obtener antes de que suceda.
• Experimento aleatorio: Es aquel en el que, pese a conocer las probabilidades de resultado, no se sabe cuál de ellos va a ocurrir, ya que depende del azar.

Espacio Muestral y Sucesos

Espacio muestral (E): Conjunto formado por los posibles resultados de un experimento aleatorio.

Suceso: Es cualquier subconjunto del espacio muestral. Se pueden distinguir varios tipos:

• Suceso elemental: Es el que está formado por un único resultado del experimento.
• Suceso compuesto: Es el que está formado por dos o más resultados del experimento.
• Suceso seguro: Es el que se verifica siempre al realizar el

Hondartza Isolatua eta Banderatxo Misteriotsuak

Itsaslabar harritsuek inguratutako hondartza txiki bat zen, inolako landaretzarik gabea; guztitik oso urrun dauden hondartza horietako bat, sarbide zailekoa.

Egunaren azken argiei esker, harea hotzean ehundik gora banderatxo zeudela iltzatuta ikus zitekeen, modu irregularrean sakabanatuta. Denboraren poderioz higatuta eta hautsita zeuden. «Agian banderatxo horiek betidanik egon dira hor», pentsatu nuen, «nahiz eta hori oso litekeena ez izan».

Sua Pizteko Erabakia

Eguna hotza izan zen, eta gaua ere hala izango zela pentsatu nuen, hezurrak izozterainokoa. Su handi bat egiteko ideia etorri zitzaidan burura. «Banderatxo horiek egur bezain bikainak izango dira!», pentsatu nuen, eta, beraz, erauziten... Continuar leyendo "Hondartzako Sua: Antzinako Gatazka Bat Pizten" »

El mètode de Walt Disney

Aquesta tècnica proposa tres formes diferents d'acostament al pensament creatiu: el somiador, el realista i el crític.

1. El pensament somiador

Per posar aquest mètode en pràctica, pensem tots al mateix temps sobre un tema determinat. Primer som tots somiadors i cal actuar com a tal. Qualsevol idea creativa sempre comença plena de passió i entusiasme. La manera d'actuar en aquesta fase és pensar sense restriccions i sense parar a criticar el que s'escriu en el paper.

2. El pensament realista

Llavors, ens posem el barret de realista: «Com es poden convertir els somnis en realitat?», tal com plantegen Huber i Veldman. Aquesta fase també és constructiva; encara no ha entrat en joc la crítica. S'ha de considerar... Continuar leyendo "El Mètode Walt Disney: Com Potenciar la Creativitat" »

Competencia Perfecta en el Corto Plazo

Funciones de Ingreso y Costo

• IT(Q) = * Q
• IMe = IT/Q =
• IMg = dIT/dQ =
• CT = CV(Q) + CF
• BT(Q) = IT(Q) - CT(Q)
• CMg = dCT/dQ

Determinación de la Cantidad Óptima a Producir (Q*)

1. Maximizar BT = * Q - CT (cambio de signo)
2. Condición de Primer Orden (CPO): dBT/dQ = P - CMg = 0
3. Aplicar la Fórmula Cuadrática (Bhaskara) para despejar Q.
4. Condición de Segundo Orden (CSO): (Para un MÁXIMO)
5. Reemplazar el precio en la Fórmula Cuadrática (Q*) y luego verificar la CSO.

Tabla de Resultados

P | Q1* | Q2* | Q** | BT(Q**) | Q óptimo |

Función de Oferta

1. Determinamos el Costo Variable (CV), separando el Costo Fijo (CF).
2. Minimizar el Costo Variable Medio (CVMe = CV/Q).
3. Derivada: dCVMe/dQ = 0, para obtener Q*.
4. Evaluamos el Min CVMe en

Conceptos Fundamentales y Representación de Datos

Población: Se describe mediante parámetros (letras griegas). Se asume que no hay error en la medición poblacional.

Representación Gráfica de Variables

• Variables Cualitativas (Categóricas): Gráficos de sectores y diagramas de barras.
• Variables Cuantitativas: Histogramas, diagramas de caja y bigotes, y polígonos de frecuencia.

Medidas de Forma: Asimetría y Curtosis

Asimetría

Se mide mediante $A_s$ (Pearson) o $g_1$ (Fisher).

• Si la cola se extiende a la derecha, la asimetría es positiva ($g_1 > 0$).

Curtosis ($g_2$)

• Leptocúrtica (Puntiforme): Mayor concentración de datos en el centro ($g_2 > 0$).
• Mesocúrtica (Normal): Distribución normal ($g_2 \approx 0$).
• Platicúrtica (Plana): Menor

Tipos de Funciones y sus Dominios

Funciones Lineales

Ejemplo: f(x) = x + 5, f(x) = x² + 3x + 2, f(x) = x⁴ - 2x

Dominio: D(f(x)) = ℝ

Funciones Racionales

Ejemplo: f(x) = 1 / (x - 5)

Cálculo del dominio: x - 5 = 0 => x = 5

Dominio: D(f(x)) = ℝ - {5}

Ejemplo:f(x) = (5x + 6) / (x² - 4)

Cálculo del dominio: x² - 4 = 0 => x = ±2

Dominio: D(f(x)) = ℝ - {-2, 2}

Funciones Radicales

• Índice impar: Dominio: D(f(x)) = ℝ
• Índice par:
  • Subradical ≥ 0.
  • Ejemplo: Si la raíz cuadrada de (x-3), entonces x-3>=0; D(f(x)) = [3, +∞)

Funciones Racionales con Radicales

• Índice impar:
  • Igualar el denominador a 0.
  • Ejemplo: Si el denominador es la raíz cúbica de x+3, entonces x+3=0; D(f(x)) = ℝ - {-3}
• Índice par:
  • Denominador > 0.
  • Ejemplo: Si denominador es

Límites de Funciones

Límite de una función en un punto

Es el valor al que tiende la función cuando la variable independiente se aproxima a ese punto. Si una función no está definida en un punto, aún así podría calcularse el límite en ese punto.

Para que una función tenga límite en un punto x₀, debe cumplirse que existan los límites laterales y sean iguales.

Límites laterales

Son los valores a los que se aproxima la función cuando la variable independiente se acerca a un punto por la derecha o por la izquierda.

Cálculo de límites a partir de la expresión analítica

El primer paso es sustituir el valor al que tiende la variable independiente (x) en la expresión de la función.

Indeterminaciones en el cálculo de límites

Si al sustituir... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Límites, Asíntotas y Continuidad de Funciones" »