Propiedades dos Determinantes e Conceptos Básicos de Álgebra Lineal

Propiedades dos determinantes

1. O determinante dunha matriz é igual ao da súa traspost.

2. Se unha matriz cadrada ten unha liña (fila ou columna) de ceros, o seu determinante é 0.

3. Se permutamos dúas liñas paralelas dunha matriz cadrada, o seu determinante cambia de signo.

4. Se unha matriz cadrada ten dúas liñas paralelas iguais, o seu determinante é 0.

5. Se multiplicamos polo mesmo número todos os elementos dunha liña dunha matriz cadrada, o seu determinante queda multiplicado por ese número.

6. Se unha matriz ten dúas filas ou columnas proporcionais, o seu determinante é 0.

7. (orde 2) Se unha columna dunha matriz é suma de dúas, o seu determinante pode descompoñerse en suma de dous determinantes de matrices de orde 3:

a₁₁ (a₁₂ + a'₁₂) a₁₃ = a₁₁ a₁₂ a₁₃ + a₁₁ a'₁₂ a₁₃

8. Se a unha liña dunha matriz lle sumamos unha combinación lineal das demais paralelas, o seu determinante non varía.

9. (orde 3) Se unha matriz ten unha liña que é combinación lineal das demais paralelas, o seu determinante é 0.

10. O determinante do produto de dúas matrices é igual ao produto dos seus determinantes: |A·B| = |A|·|B|.

11. (orde 3) Se os elementos dunha fila ou columna dunha matriz cadrada se multiplican polos seus respectivos adxuntos e logo se suman, obtense o determinante da matriz inicial.

12. (orde 3) Se os elementos dunha fila ou columna se multiplican polos adxuntos doutra paralela, o resultado da suma é 0.

Det(A) + Det(B) ≠ Det(A + B).

Propiedades externas

Asociativa: (a·b)·A = a·(b·A)

Distributivas: (a + b)·A = a·A + b·A; a·(A + B) = a·A + a·B

Produto polo número 1: 1·A = A

A·A^-1 = I; |kA| = kⁿ·|A|, sendo n a orde da matriz.

Determinante dunha matriz cadrada

O determinante dunha matriz cadrada de orde n é un número real obtido dunha suma de n! sumandos, en que cada sumando é un produto de n factores tomados de tal maneira que haxa un de cada fila e un de cada columna. Ao tomalos, as filas seguen a orde natural (primeiro subíndice) e os índices de columna (segundo subíndice) aparecen permutados. Se a permutación é par (sen inversións) o sumando é positivo; se é impar (con inversións) é negativo.

Menor complementario de a_ij

É o determinante de orde inferior (n − 1) que resulta de eliminar da matriz principal a fila e a columna onde está o elemento a_ij. Represéntase como M_ij.

Adxunto dun elemento

A_ij = M_ij·(−1)^i+j. Se i + j é par, A_ij = M_ij; se i + j é impar, A_ij = −M_ij.

Os elementos dunha liña multiplicados polos seus adxuntos dan o determinante; multiplicados polos adxuntos doutra liña paralela dan 0.

Rango dunha matriz

O rango é o número de liñas independentes da matriz (o determinante depende, distinto de independentes). É a orde máxima dos menores non nulos da matriz.

Menor de orde h dunha matriz m×n: é un determinante de orde h que se obtén collendo os elementos comúns de h filas e h columnas (h entre m e n). Por exemplo, en 3×2.

Matriz inversible

É aquela matriz cadrada con determinante distinto de 0, que por tanto ten inversa A^-1, cumprindo A·A^-1 = A^-1·A = I.

Ecuacións e sistemas lineais

Ecuación con n incógnitas: é unha ecuación polinómica de grao 1 con n incógnitas.

Ecuación lineal: chámase así porque, cando hai 2 variables, a súa representación gráfica é unha liña recta.

Solución dunha ecuación: son n números reais ordenados que, ao substituír as incógnitas, satisfán a ecuación.

Sistema de ecuacións lineais: sistema de m ecuacións con n incógnitas, é dicir, un conxunto de ecuacións lineais que se pode escribir matricialmente. O obxectivo é buscar solucións comúns a todas as ecuacións, se existen. A solución dun sistema é un conxunto de n números reais ordenados que deben satisfacer todas as ecuacións do sistema.

Sistemas equivalentes: son aqueles que teñen exactamente as mesmas solucións.

Sistema homoxéneo: cando todos os termos independentes valen 0. Ten polo menos unha solución, a solución trivial (0, 0, 0).

Discutir: analizar de que clase de sistema se trata (compatible ou incompatible, indeterminado ou determinado). Resolver: atopar, se existen, as solucións dese sistema.

Tipos de matrices

Cadrada: n×n (mesmo número de filas e columnas).

Rectangular: m×n, con distinto número de filas e columnas.

Fila: 1×n. Columna: m×1.

Traspostа: matriz que resulta de cambiar filas por columnas.

Nula: todos os elementos valen 0.

Diagonal: todos os elementos valen 0, excepto os da diagonal principal.

Triangular: os elementos por enriba ou por debaixo da diagonal principal valen 0.

Unidade ou identidade (I): matriz diagonal cuxos elementos da diagonal principal valen 1.

Simétrica: respecto á diagonal principal a_ij = a_ji, é dicir, a₁₂ = a₂₁.

Antisimétrica: os elementos da diagonal principal valen 0 e os restantes son opostos (a_ij = −a_ji).