Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Operaciones con Polinomios

Grado de un Polinomio

El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus monomios.

Suma y Resta de Polinomios

Para sumar o restar polinomios, se agrupan los términos semejantes y se operan sus coeficientes. Es fundamental prestar atención a los signos.

Multiplicación de Polinomios

Se multiplica cada término del primer polinomio por todos los términos del segundo polinomio ("todos por todos"). Luego, se suman los términos semejantes.

División de Polinomios

La división de polinomios sigue un algoritmo similar a la división numérica. Existe la división tradicional y la regla de Ruffini.

División de Ruffini

La división de Ruffini es un método abreviado para dividir un polinomio por un binomio de la forma (... Continuar leyendo "Operaciones con Polinomios y Resolución de Ecuaciones e Inecuaciones" »

Exploración Detallada de las Funciones Hiperbólicas

Las funciones hiperbólicas son análogas a las funciones trigonométricas. Estas son:

Curvas de las funciones hiperbólicas $\sinh$, $\cosh$ y $\tanh$

Curvas de las funciones hiperbólicas $\mathrm{csch}$, $\mathrm{sech}$ y $\mathrm{coth}$

Definiciones Fundamentales

El seno hiperbólico:

El coseno hiperbólico:

La tangente hiperbólica:

Y otras funciones recíprocas:

(cotangente hiperbólica)

(secante hiperbólica)

(cosecante hiperbólica)

Proporcionalidad de Cantidades

Dos cantidades X e Y son proporcionales si su relación es constante: y / x = m (o también y = mx). En este caso, el número m se llama la constante de proporcionalidad.

La gráfica de la función que relaciona dos cantidades proporcionales es siempre una línea recta que pasa por el origen (la recta y = mx).

Semejanza de Figuras

Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, aunque difieran en tamaño. Hay dos condiciones que deben cumplir las figuras para ser semejantes:

• Los segmentos involucrados son proporcionales, es decir, la longitud de cada uno de ellos se obtiene multiplicando la longitud correspondiente en la otra figura por un factor fijo (doble, triple, etc.). Este factor es la razón de semejanza.

Orientación Instrumental en Fotogrametría

La orientación instrumental consiste en conseguir la reproducción de la posición exacta de los dos haces de rayos y que su situación respecto al terreno sea igual a la que tuvieron al ser impresionadas ambas fotografías durante el vuelo. Esta operación está compuesta por la orientación interna y la orientación externa.

Orientación Interna

Es la reconstrucción de los haces perspectivos que originaron cada imagen.

Orientación Externa

A través de ella se consigue que todos los haces perspectivos, formados en las dos proyecciones continuas mediante la orientación interna, coincidan en el espacio y tengan correspondencia unívoca con respecto al terreno; es decir, idéntica posición a la que... Continuar leyendo "Fundamentos de la Orientación Instrumental en Fotogrametría" »

Concepto de Función Matemática

Unha función é unha relación entre dúas magnitudes, de tal maneira que a cada valor da primeira asígnalle un único valor da segunda. Se A e B son dous conxuntos, que chamaremos conxunto inicial e conxunto final, unha función f de A en B, que se expresa f: A → B, relaciona cada elemento de A cun único elemento de B. Se a ∈ A está relacionado con b ∈ B, escríbese f(a) = b e dise que b é a imaxe de a e que a é a antiimaxe de b.

Dominio e Percorrido dunha Función

• Dominio (Dom(f)): É o conxunto formado polos elementos de A que teñen imaxe: Dom(f) = {x ∈ A / f(x) ∈ B}. Un elemento calquera do dominio, "x", denomínase variable independente.
• Percorrido ou Imaxe (Im(f)): É o conxunto formado polas

Un caso particular son as funcións de proporcionalidade inversa, y = k/x, cuxa gráfica son hipérbolas equiláteras.

Funcións Irracionais

y = f(x) = n√g(x)

• Dominio:
  • Dom(f) = R no caso de que n sexa impar.
  • Dom(f) = R - {x / g(x) < 0} no caso de que n sexa par.

Función Exponencial

y = f(x) = ax, onde a é positivo e distinto de 1.

• Dominio: Dom(f) = R
• Imaxe: Im(f) = R⁺
• Se a > 1, a función crece a medida que aumenta x.
• Se a < 1, a función decrece a medida que aumenta x.

Función Logarítmica

y = f(x) = loga x, onde a é positivo e a ≠ 1.

• Dominio: Dom(f) = (0, +∞) (o logaritmo dos números negativos e do 0 non son números reais).
• Imaxe: Im(f) = R
• Se a > 1, é crecente.
• Se a < 1, é decrecente.
• Corta o eixe OX no punto (1,0).
• A función

• Anatomía Dental

  Incisivos Centrales Superiores (ICS)

  Erupcionan a los 7 años. Ocluyen con los incisivos centrales inferiores y la mitad mesial de los incisivos laterales inferiores. VESTIBULAR: forma de pala, superficie convexa con dos bordes. Corona más larga inciso-cervical que mesio-distal. Más estrecha en el tercio cervical y ancha en el incisal. Más convexa distal y recta mesial. Línea cervical convexa en sentido apical. INCISAL: ancho y mayor diámetro mesio-distal de todos los incisivos. Ángulo mesial recto y distal redondeado. Tres mamelones que desaparecen con el tiempo. PALATINA: forma triangular, superficie cóncava delimitada por dos rebordes marginales que dan lugar al cíngulo, donde puede formarse el agujero ciego (punto

Resumen de Conceptos Fundamentales de Matrices

Definición y Estructura de Matrices

Las matrices son distribuciones rectangulares de números o funciones. Se denotan con letras mayúsculas y se componen de:

• Filas: Disposición horizontal.
• Columnas: Disposición vertical.

Tipos de Matrices según su Dimensión

Matriz Cuadrada

Tiene igual número de filas y de columnas (M = N).

Matriz Rectangular

Posee diferente número de filas y de columnas. Se clasifica en:

• Vertical: Si M > N (más filas que columnas).
• Horizontal: Si M < N (más columnas que filas).

Vector Fila o Vector Columna

Es una matriz que tiene una sola fila o una sola columna, respectivamente.

Elementos y Notación Matricial

El elemento es cada uno de los números o funciones que componen la... Continuar leyendo "Fundamentos de Matrices y Álgebra Lineal: Conceptos, Tipos y Operaciones Esenciales" »

Introducció a Excel i el full de càlcul

Excel és un gestor de fulls de càlcul. Un document inicial d'Excel és una llibreta de càlcul: tenim tres fulls de càlcul actius. Un full de càlcul consta de 65.536 files x 256 columnes. El contingut d'una cel·la pot ser text, dates i hores, nombres en diferents formats, fórmules i funcions.

El desplaçament dins el full de càlcul es pot realitzar des del teclat: fletxes, AvPàg, RePàg, Ctrl+Inici, Ctrl+Fi, Fi+fletxa. L'accés al menú Format/Cel·les ens permet accedir a la majoria de les modificacions que voldrem efectuar sobre les cel·les.

Tipus de dades i formats

Text: qualsevol entrada que Excel no reconeix com a nombre o fórmula. Si barregem text amb nombres, la cel·la adoptarà el format... Continuar leyendo "Guia bàsica d'Excel: Funcions, Formats i Errors" »

1930 hamarkadan mundu osoan zehar egondako depresioa ulertzeko, lehenengo kontuan izan behar ditugu zer faktore agertu behar dira krisi bat depresiotzat jotzeko. Hasteko krisia sektore ekonomiko guztietan agertu behar da eta eskaeren, inbertsioen eta soldaten beherapen bat gertatu behar da, eragingo duena kontsumoa murriztea. Hau izan zen 1930 hamarkadako depresioaren kasua, non industria produkzioa %40 batean jaitsi egin zen eta AEBren nekazaritza-prezioak %57 batean murriztu egin ziren.

Depresio hau 1929ko crasharekin batera hasi egin zen, baina urte larrienak 1931 eta 1934 bitartekoak izan ziren. Hasiera batean krisia AEB sortu zen, baina herrialde hau momentu honetan munduko potentzia bat zenez krisia mundu kapitalista osoan zehar hedatu... Continuar leyendo "1930 Hamarkadako Mundu Osoan Zehar Egondako Depresioa" »