Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

1. La derivada de una constante es 0                               

1. La derivada de una variable con respecto a sí misma es igual a la unidad. 
   
   
2. La derivada de la suma algebraica de un número finito “n” de funciones es igual a la suma algebraica de la derivada de las funciones.
   
    
   
   
3. La derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función.
   
   
4. La derivada de un producto de 2 funciones es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda mas el producto de la segunda función por la derivada de la primera.
   
    
   
5. La derivada de la potencia de una función de un exponente constante es igual al producto del exponente por la función elevada

Eboluzioaren teoriak: Eboluzionismoa eta Fixismoa aurrez aurre egon ziren.

Eboluzioaren Teoriak

Fixismoak dio espezie guztiek, sortu zirenetik, ez dutela inolako aldaketarik jasan.

Eboluzionismoaren arabera, unibertsoa eta izaki bizidun mota guztiak garapenaren emaitza dira, eta espezieen aniztasuna egokitzapenaren ondorioa da.

Lamarckismoa

Eboluzio biologikoaren lehen teoria izan zen. Teoriaren oinarriak honako hauek dira:

• Organismo sinpleetatik konplexuetarainoko prozesua oso geldoa da.
• Ingurumenari moldatzeko aldaketak gertatzen dira.
• Organismoek bete behar dituzten funtzioen ondorioz izango da.
• Karaktereak heredatu egiten dira, ingurumenari moldatzeko arazorik ez izateko (hau ezin izan zuen Lamarckek frogatu).

Darwinismoa

Galapagos eta Hego Amerika... Continuar leyendo "Eboluzioaren Teoriak eta Gizakiaren Jatorria" »

Proporcionalidad

Se denomina razón al resultado de la comparación de dos cantidades (términos). Se llama proporción a la igualdad de dos razones (a/b = c/d).

Cuarto Proporcional

El segmento X que es el cuarto proporcional a tres segmentos conocidos (a/b = c/x).

Tercero Proporcional

Se denomina proporción continua aquella en la que los medios o los extremos se repiten (a/b = b/c).

Medio Proporcional

Cuando en una proporción continua se desconoce el término repetido (medio proporcional) (a/x = x/b) o (x² = ab).

Semejanza Geométrica

Cuando tienen sus ángulos iguales y lados proporcionales. La razón de semejanza es la relación que guardan los puntos y líneas que están en la misma dirección relativa.

Criterios de Semejanza de Triángulos

• Dos

Lecer Medieval: Espectáculo Trobadoresco

A lírica medieval naceu como unha forma cantada, como un espectáculo que se desenvolvía durante as veladas celebradas nos pazos dos reis e grandes señores. A guerra era o verdadeiro "oficio" da aristocracia. A caza, a celebración de xustas e torneos foron ocupacións fundamentais para as horas de lecer, pero debido a que non sempre se podían facer estas cousas polo tempo, buscaron outros divertimentos que puidesen realizarse nos seus pazos e castelos. O mundo trobadoresco nace na celebración de festas e reunións durante as cales se cantaba e danzaba. Era unha lírica culta, propia dos ambientes aristócratas, polo tanto era unha lírica culta.

Cancioneiros: Transmisión do Lirismo Medieval

Coñecemos... Continuar leyendo "Lírica Medieval: Cancioneiros e Contexto Histórico" »

Conceptos Fundamentales de Álgebra y Ejercicios Resueltos

Expansión y Factorización de Expresiones Algebraicas

Binomio al Cuadrado y al Cubo

Fórmulas:

• (a+b)² = a² + 2ab + b²
• (x+y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

Ejemplos:

• (1 + 3x²)² = 1 + 6x² + 9x⁴
• (2x + 1)³ = 8x³ + 12x² + 6x + 1
• (m + 3)² = m² + 6m + 9
• (a + 2)³ = a³ + 6a² + 12a + 8

Factor Común Monomio

Ejemplos:

• a² + ab = a(a + b)
• 4x² – 8x = 4x(x – 2)
• 2a²x + 6ax² = 2ax(a + 3x)
• x²y + x²z = x²(y + z)
• 3a³ – a² = a²(3a – 1)
• x³ – 4x⁴ = x³(1 – 4x)

Factor Común Polinomio

Ejemplos:

• a(x+1) + b(x+1) = (x + 1)(a + b)
• 3x(x-2) - 2y(x-2) = (x – 2)(3x – 2y)
• 2(x - 1) + y(x - 1) = (x – 1)(2 + y)
• 2x(n - 1) – 3y(n – 1) = (n - 1)(2x – 3y)
• 2(x - 1) + y(x - 1) = (x – 1)(2 + y)
• m(a – b) + (a – b)n = (a – b)(

Óvalo: Construcción y Propiedades

Conociendo el Eje Mayor

Para construir un óvalo conociendo su eje mayor, se divide este en tres segmentos. Se trazan circunferencias desde dos puntos clave (generalmente los extremos del eje mayor o puntos específicos sobre él). Los puntos de intersección de estas circunferencias definen la forma del óvalo. Finalmente, se une el centro de la circunferencia con los puntos resultantes para completar el trazado.

Conociendo el Eje Menor

Para el trazado a partir del eje menor, se traza la mediatriz de este eje. Se dibuja un círculo alrededor del punto medio. Los puntos donde las líneas (posiblemente las que definen el eje menor o la mediatriz) cortan el círculo, tanto en la parte superior como en los lados,... Continuar leyendo "Geometría Descriptiva: Trazado y Construcción de Curvas Cónicas y Figuras Fundamentales" »

Gobernu Motak eta Printzipio Juridikoak

Herritarrek Aukeratutako Gobernua

Herritarrek aukeratutako gobernua dela esan nahi du, eta herritar horiek beste herritar batzuk aukeratzen dituzte beren ordezkari izateko. Biztanleria, beraz, bi mailatan banatzen da: gobernatzaileak, guztion onerako ari daitezen, eta gobernatuak edo herri xehea; bizitza pribatuari eusten dion jendea, agintearen zerbitzuak jasotzeaz gain, ezarritako kargak jasan behar dituena.

Berdintasun eta Desberdintasun Printzipioak

Berdintasun printzipioa: Legearen aurrean denok gara berdinak. Denok ditugu eskubide eta betebehar berberak.

Desberdintasun printzipioa: Legea denontzat berdina den arren, kasu batzuetan, egoera aintzat hartu eta eskubide bereziak aitortzen dizkie herritar... Continuar leyendo "Gobernu Motak eta Printzipio Juridikoak: Demokrazia, Monarkia eta Errepublika" »

Problema 1: Venta de Libros (Novelas y Cuentos)

Enunciado: Un librero vende un lote de 83 libros, con novelas a 5 € y cuentos a 4 €, sumando un total de 346 €.

Planteamiento del Sistema

Definimos las variables:

• x: número de novelas
• y: número de cuentos

El sistema de ecuaciones que representa la situación es:

x + y = 83   (Total de libros)
5x + 4y = 346  (Costo total)

Resolución del Sistema (Método de Sustitución)

De la primera ecuación, despejamos x:

x = 83 - y

Sustituimos esta expresión de x en la segunda ecuación:

5(83 - y) + 4y = 346
415 - 5y + 4y = 346
415 - y = 346
-y = 346 - 415
-y = -69
y = 69

Ahora, sustituimos el valor de y en la ecuación despejada de x:

x = 83 - 69
x = 14

Solución

Respuesta: El lote contiene 14 novelas y 69 cuentos.... Continuar leyendo "Problemas de Ecuaciones Lineales Resueltos: Ejercicios Prácticos de Matemáticas" »

Entre mi abuelo y mi hermano tienen 56 años. Si mi abuelo tiene 50 mas que mi hemano ¿Qué edad tiene cada uno? Edad de abuelo X ; edad hrmano Y ; x+y=56 abajo x-50=y } x+x-50=56 ; 2x=56+50 ; 2x=106 ; x=106/2 ; x=53 ; y=56-53 ; y=3 ;
sol  abuelo 53 años hermano 3 años

Un crucero tiene habitaciones dobles de 2 camas y sencillas de 1 cama , en total 47 habitaciones y 79 camas ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo. X=nº habitaciones dobles ; y = nºhabitaciones sencillas ; x+y=47 ; abajo 2x+1por y=79 } x=47-y ; la de abajo 2(47-y)+y=79 ; 94-2y+y=79 ; 94-79 =2y-y ; 15=1y ; y=15 ; x=47-15 ; x=32 ; sol 32 habita dobles , 15 habi sencill

Calcula el precio de 1 kg de jamón y el precio de 1 L de aceite, sabiendo que 3kg de jamón y 5L de aceite... Continuar leyendo "Dominando la Solución de Ecuaciones 2x2: Problemas de Aplicación y Métodos Algebraicos" »

Conceptos Fundamentales de Trigonometría y Geometría

Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras es fundamental para trabajar con triángulos rectángulos. Establece que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados (catetos).

Fórmula General:

hipotenusa² = cateto₁² + cateto₂²

Buscando un Cateto

Para encontrar la longitud de un cateto cuando se conocen la hipotenusa y el otro cateto:

1. Eleva al cuadrado la medida de la hipotenusa y la del cateto conocido.
2. Resta el cuadrado del cateto conocido al cuadrado de la hipotenusa.
3. Calcula la raíz cuadrada del resultado para obtener la longitud del cateto desconocido.

Ejemplo:

Si hipotenusa