Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

1- Calcular el dominio de la función a representar   2- Corte con los ejes coordenadas: calcular la “y” de los puntos para los cuales x es 0 y la “x” de los puntos para la que la y es 0. 3 – Simetrias: Sustituir la “x” en la función por “-x”, si el resultado es f(x) = f(-x) = simétrica; f(-x) = - f(x) = simetrica respecto al origen. 5- Crecimiento y calculo de máximos y mínimos: Calculamos la primera derivada de la función y la igualamos a 0, para obtener los puntos donde puede haber posibles máximos y minimos. Con estos puntos y los que no pertenecen al dominio tenemos que estudiar ahora el signo de la primera derivada (barrido), para determinar el crecimiento. * Si f’ (x) es mayor que 0, la f (x) es creciente... Continuar leyendo "Representación de funciones" »

ESCLERÉNQUIMA: No cloroplastos. Pared celular secundaria impregnadas de lignina (que rigidiza paredes) = lignificadas. Dos tipos de células esclerénquimáticas: esclereidas (braquiesclereida, macroesclereida, osteoesclereida, astroesclereida, tricoesclereida) y fibras (fibras duras o blandas).

SISTEMA DE TEJIDOS VASCULARES: Función = transporte de nutrientes, agua, hormonas y minerales. Son tejidos complejos. Son:

1) Xilema (o leño): conductor agua y sales minerales. Consta de serie vasos o tráqueas formadas a partir de elementos de los vasos. También está formada por traqueidas (células muertas que se suporponen). Xilema posee elementos conductores (elemenos vasos y traqueidas) y no conductores (células parenquimáticas leñosas y

Vectores en el Plano

• Argumento de un vector (α): Si el vector es v = (x, y), su argumento es el ángulo que forma con el eje OX positivo. tan(α) = y/x.
• Vector entre dos puntos A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂): AB = B - A = (x₂ - x₁, y₂ - y₁). Este vector puede ser el vector director de una recta.
• Producto escalar de dos vectores u y v: u · v = |u| |v| cos(α), donde α es el ángulo entre los vectores.
• Expresión analítica del producto escalar: Si u = (x₁, y₁) y v = (x₂, y₂), entonces u · v = x₁x₂ + y₁y₂.
• Cálculo del ángulo (α) entre dos vectores: cos(α) = (u · v) / (|u| |v|) = (x₁x₂ + y₁y₂) / (√(x₁² + y₁²) √(x₂² + y₂²)).
• Vector perpendicular (normal): Dado un vector v = (a, b), un vector perpendicular

O Século XVII: Absolutismo e Barroco

O século XVII estivo dominado polas monarquías absolutistas na maioría dos estados europeos, agás no caso do parlamentarismo de Inglaterra e Holanda. Tras a Guerra dos Trinta Anos, a hexemonía pasou a Francia, que substituíu a España no seu dominio político a partir da metade da centuria, despois da paz de Westfalia. Este panorama político tivo, en xeral, o seu correlato cultural, coas correntes filosóficas do racionalismo (nos espazos do absolutismo) e do empirismo (en Inglaterra). O outro vector histórico do século foi o conflito entre a Reforma e a Contrarreforma, e a súa consecuencia cultural: o Barroco como mecanismo apoloxético do absolutismo. Tamén foi central a importancia e o desenvolvemento... Continuar leyendo "Literatura Universal: Séculos XVII ao XIX" »

Se presentan dos funciones para su análisis exhaustivo, incluyendo el cálculo de derivadas, estudio de la concavidad/convexidad, determinación de asíntotas y aplicación de teoremas relevantes.

Función 1: f(x) = x + e^-x

Derivada y Extremos Relativos

Calculamos la primera derivada:

f'(x) = 1 - e^-x

Esta derivada se anula para x = 0 y no tiene discontinuidades.

• En el intervalo (-∞, 0), f'(x) < 0, por lo tanto, f(x) es decreciente.
• En el intervalo (0, ∞), f'(x) > 0, por lo tanto, f(x) es creciente.
• En x = 0, la derivada cambia de negativa a positiva, indicando un mínimo relativo.

Concavidad y Convexidad

Calculamos la segunda derivada:

f''(x) = e^-x

Esta derivada nunca se anula y siempre es positiva.

• En el intervalo (-∞, ∞), f''(x) > 0,

FUNCIONES, LIMITES Y CONTINUIDAD

Una función es continua en el punto x=a (a pertenece a su dominio de definición) si verifica:
1.- Lim _x→a- f(x) = Lim _x→a+ f(x) = Lim _x→a f(x)
2.- f(a) ε R
3.- Lim _x→a f(x) = f(a)
Si no se verifica la 1ª condición, se dice que f(x) presenta una discontinuidad inevitable en x=a
Si no se verifica la 3ª condición, se dice que f(x) presenta una discontinuidad evitable en x=a

Sólo se puede estudiar la continuidad de una función en aquellos puntos que pertenecen al dominio. Por abuso de lenguaje se estudia la discontinuidad de los puntos que no pertenecen al dominio.

DERIVADAS

Una función f(x) es derivable en el punto x=a si:
1.- La función es continua en x=a
2.- f’(a-) = f’(a+) = f’(a)

Una función... Continuar leyendo "Derivadas, funciones, continuidad" »

Clasificación de las Variables Estadísticas

Las variables estadísticas se clasifican principalmente en:

1. Variables Cualitativas: No toman valores numéricos. Describen cualidades o características.
2. Variables Cuantitativas Discretas: Toman valores numéricos aislados (generalmente números enteros, resultado de contar).
3. Variables Cuantitativas Continuas: Pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo específico (resultado de medir).

Ramas Fundamentales de la Estadística

La estadística se divide en dos grandes ramas:

1. Estadística Descriptiva

   Trata de describir y analizar características de los individuos de un grupo dado, sin extraer conclusiones para un grupo mayor. Para este estudio, se siguen los siguientes pasos:

   • Selección de caracteres

Teoremes Fonamentals del Càlcul

Teorema de Rolle

Donada una funció f(x) contínua en l'interval tancat [a,b] i derivable en l'interval obert (a,b). Si f(a) = f(b), aleshores existeix almenys un punt c ∈ (a,b) tal que f'(c) = 0.

Teorema de Lagrange (Teorema del Valor Mitjà)

Si tenim una funció f(x) contínua en l'interval tancat [a,b] i derivable en l'interval obert (a,b), aleshores existeix almenys un punt c ∈ (a,b) que verifica: [f(b) - f(a)] / (b - a) = f'(c).

Teorema de Cauchy

Donades dues funcions f(x) i g(x) contínues en l'interval tancat [a,b] i derivables en l'interval obert (a,b). Si f'(x) i g'(x) no s'anul·len simultàniament en un mateix punt de (a,b), g'(x) no s'anul·la en aquest interval i g(b) ≠ g(a), aleshores existeix... Continuar leyendo "Teoremes Fonamentals i Guia de Representació Gràfica de Funcions" »

Conjuntos Numéricos Fundamentales

Exploramos los principales conjuntos de números utilizados en matemáticas, sus definiciones y relaciones.

Números Naturales (N)

Son los números que utilizamos para contar: 1, 2, 3, 4, 5, ...

Números Enteros (Z)

Incluyen los números naturales, sus opuestos negativos y el cero: ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...

Se cumple que N ⊂ Z.

Números Racionales (Q)

Son aquellos números que pueden expresarse como una fracción a/b, donde a y b son números enteros y b ≠ 0.

Incluyen:

• Números decimales finitos (ej. 0.5 = 1/2)
• Números decimales periódicos (puros y mixtos) (ej. 0.333... = 1/3, 0.1666... = 1/6)

Se cumple que Z ⊂ Q.

Números Irracionales (I)

Son números con infinitas cifras decimales no periódicas,... Continuar leyendo "Fundamentos de Números Reales: Conjuntos, Orden, Errores y Radicales" »