Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

O Século XVII: Absolutismo e Barroco

O século XVII estivo dominado polas monarquías absolutistas na maioría dos estados europeos, agás no caso do parlamentarismo de Inglaterra e Holanda. Tras a Guerra dos Trinta Anos, a hexemonía pasou a Francia, que substituíu a España no seu dominio político a partir da metade da centuria, despois da paz de Westfalia. Este panorama político tivo, en xeral, o seu correlato cultural, coas correntes filosóficas do racionalismo (nos espazos do absolutismo) e do empirismo (en Inglaterra). O outro vector histórico do século foi o conflito entre a Reforma e a Contrarreforma, e a súa consecuencia cultural: o Barroco como mecanismo apoloxético do absolutismo. Tamén foi central a importancia e o desenvolvemento... Continuar leyendo "Literatura Universal: Séculos XVII ao XIX" »

Se presentan dos funciones para su análisis exhaustivo, incluyendo el cálculo de derivadas, estudio de la concavidad/convexidad, determinación de asíntotas y aplicación de teoremas relevantes.

Función 1: f(x) = x + e^-x

Derivada y Extremos Relativos

Calculamos la primera derivada:

f'(x) = 1 - e^-x

Esta derivada se anula para x = 0 y no tiene discontinuidades.

• En el intervalo (-∞, 0), f'(x) < 0, por lo tanto, f(x) es decreciente.
• En el intervalo (0, ∞), f'(x) > 0, por lo tanto, f(x) es creciente.
• En x = 0, la derivada cambia de negativa a positiva, indicando un mínimo relativo.

Concavidad y Convexidad

Calculamos la segunda derivada:

f''(x) = e^-x

Esta derivada nunca se anula y siempre es positiva.

• En el intervalo (-∞, ∞), f''(x) > 0,

FUNCIONES, LIMITES Y CONTINUIDAD

Una función es continua en el punto x=a (a pertenece a su dominio de definición) si verifica:
1.- Lim _x→a- f(x) = Lim _x→a+ f(x) = Lim _x→a f(x)
2.- f(a) ε R
3.- Lim _x→a f(x) = f(a)
Si no se verifica la 1ª condición, se dice que f(x) presenta una discontinuidad inevitable en x=a
Si no se verifica la 3ª condición, se dice que f(x) presenta una discontinuidad evitable en x=a

Sólo se puede estudiar la continuidad de una función en aquellos puntos que pertenecen al dominio. Por abuso de lenguaje se estudia la discontinuidad de los puntos que no pertenecen al dominio.

DERIVADAS

Una función f(x) es derivable en el punto x=a si:
1.- La función es continua en x=a
2.- f’(a-) = f’(a+) = f’(a)

Una función... Continuar leyendo "Derivadas, funciones, continuidad" »

Clasificación de las Variables Estadísticas

Las variables estadísticas se clasifican principalmente en:

1. Variables Cualitativas: No toman valores numéricos. Describen cualidades o características.
2. Variables Cuantitativas Discretas: Toman valores numéricos aislados (generalmente números enteros, resultado de contar).
3. Variables Cuantitativas Continuas: Pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo específico (resultado de medir).

Ramas Fundamentales de la Estadística

La estadística se divide en dos grandes ramas:

1. Estadística Descriptiva

   Trata de describir y analizar características de los individuos de un grupo dado, sin extraer conclusiones para un grupo mayor. Para este estudio, se siguen los siguientes pasos:

   • Selección de caracteres

Teoremes Fonamentals del Càlcul

Teorema de Rolle

Donada una funció f(x) contínua en l'interval tancat [a,b] i derivable en l'interval obert (a,b). Si f(a) = f(b), aleshores existeix almenys un punt c ∈ (a,b) tal que f'(c) = 0.

Teorema de Lagrange (Teorema del Valor Mitjà)

Si tenim una funció f(x) contínua en l'interval tancat [a,b] i derivable en l'interval obert (a,b), aleshores existeix almenys un punt c ∈ (a,b) que verifica: [f(b) - f(a)] / (b - a) = f'(c).

Teorema de Cauchy

Donades dues funcions f(x) i g(x) contínues en l'interval tancat [a,b] i derivables en l'interval obert (a,b). Si f'(x) i g'(x) no s'anul·len simultàniament en un mateix punt de (a,b), g'(x) no s'anul·la en aquest interval i g(b) ≠ g(a), aleshores existeix... Continuar leyendo "Teoremes Fonamentals i Guia de Representació Gràfica de Funcions" »

Conjuntos Numéricos Fundamentales

Exploramos los principales conjuntos de números utilizados en matemáticas, sus definiciones y relaciones.

Números Naturales (N)

Son los números que utilizamos para contar: 1, 2, 3, 4, 5, ...

Números Enteros (Z)

Incluyen los números naturales, sus opuestos negativos y el cero: ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...

Se cumple que N ⊂ Z.

Números Racionales (Q)

Son aquellos números que pueden expresarse como una fracción a/b, donde a y b son números enteros y b ≠ 0.

Incluyen:

• Números decimales finitos (ej. 0.5 = 1/2)
• Números decimales periódicos (puros y mixtos) (ej. 0.333... = 1/3, 0.1666... = 1/6)

Se cumple que Z ⊂ Q.

Números Irracionales (I)

Son números con infinitas cifras decimales no periódicas,... Continuar leyendo "Fundamentos de Números Reales: Conjuntos, Orden, Errores y Radicales" »

Karl Marx (1818-1883): Bizitza eta Pentsamenduaren Oinarriak

Karl Marx (1818-1883) Renanian jaio zen. Gaztetatik filosofiari lotu zitzaion. 1843an, Prusiako monarkiaren aurkako artikulu batzuk idatzi ondoren, Frantziara ihes egin zuen. Parisen, 1844an, Londresko langileen lan-egoeraz gogoeta egin zuen, eta filosofia gizarte-egoera berri hartan zer eginkizun bete behar zuen aztertu nahi izan zuen. 1848an, Alderdi Komunistaren Manifestua idatzi zuen. 1864an, Lehen Internazionala (LNE) sortu zuen beste batzuekin batera.

Desordena Sozialaren Definizioa

Marxek zioen pentsamenduak ez lukeela mundua interpretatzera, ezagutzera edo behatzera mugatu behar; aitzitik, mundua aldatzea izan beharko lukeela helburu. Kantek zioen gizon-emakumeei askatasuna eman... Continuar leyendo "Karl Marx: Pentsamendu Ekonomiko eta Sozialaren Gakoak" »

Introdución á historia da lingua galega

As linguas románicas acadan a madureza a partir do século VIII. Os primeiros documentos escritos en galego datan de finais do século XII. Desde finais do século XIV ábrese unha paréntese de tres séculos de decadencia. A perda de prestixio lingüístico sufrida nesa etapa trouxo consecuencias negativas para a vida social que aínda son perceptibles hoxe.

Galego antigo

O período medieval da historia do galego esténdese desde o século IX ata o XV. A lingua deste período recibe o nome de galego antigo ou galego-portugués. Nesa longa etapa era un dos idiomas máis prestixiosos da Península Ibérica. Era tamén a lingua escollida por algúns poetas foráneos para as súas composicións líricas,... Continuar leyendo "Historia e evolución da lingua galega: desde as súas orixes ata o Rexurdimento" »

Espais Vectorials i Àlgebra Lineal

Direm que una operació és interna quan, en operar dos elements d'un conjunt, el resultat pertany al mateix conjunt.

Direm que una operació és externa quan, en operar un element que no és del conjunt amb un altre que sí que ho és, el resultat pertany al conjunt.

Estructura d'Espai Vectorial

Un espai vectorial és una estructura matemàtica formada per un conjunt i dues operacions: una interna (+) i una externa (·). Amb l'operació interna, verifica les següents propietats:

• Associativa: u + (v + w) = (u + v) + w
• Element neutre: u + e = u
• Element oposat: u + u' = e
• Commutativa: u + v = v + u

Amb l'operació externa, verifica:

• Distributiva: (falta especificar)
• Distributiva 2: (falta especificar)
• Associativa: (falta

Conceptos Fundamentales de Estadística y Probabilidad

La Estadística es una rama de las matemáticas que se encarga de la recopilación, organización, análisis, interpretación y presentación de datos. Su objetivo principal es extraer conclusiones significativas y tomar decisiones informadas a partir de la información obtenida.

Herramientas de Organización y Representación de Datos

Tabla de Datos Numéricos

Herramienta fundamental de la estadística para organizar la información obtenida de manera estructurada, facilitando su análisis.

Gráfico

Representación visual de datos numéricos que utiliza diversos formatos (como barras, líneas o sectores) para evidenciar relaciones entre variables y facilitar la comprensión de la información.... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Estadística y Probabilidad: Glosario Esencial" »