Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Makiavelo eta Filosofia Politikoa

Niccolò Machiavelli Errenazimenduko filosofoa zen.

• Gizabanakoak autonomiaz eraikitzen zuen bere bizitza.
• Askatasunaren aldekoa eta despotismoaren aurkakoa.

Makiaveloren Kontzeptu Nagusiak

Politika: Boterea lortu eta botereari eusteko artea.

Estatu-arrazoia: Garrantzitsuena erabiltzen diren bitartekoak eraginkorrak izatea da.

Bitartekoen balioa emaitzen arabera epaitzen da (ikuspegi tradizionalak bitartekoak legitimoak izatea eskatzen zuen).

Politika eta Moralaren Bereizketa

Politika eta moral alorrak erabat bereizten zituen.

Bertutetsutzat (moralki zuzentzat) jotzen dena batzuetan desegokia izan daiteke estatua defendatzeko.

Moralki desegokitzat jotzen dena batzuetan oso egokia izan daiteke estatua defendatzeko. Gobernariak... Continuar leyendo "Makiavelo, Utopia eta Gobernu Formak: Filosofia Politikoa" »

Rectas en el Espacio

Las rectas pueden ser definidas de varias maneras:

• Por un punto y un vector director: Un punto P(x₀, y₀, z₀) y un vector director V_r(v₁, v₂, v₃).
• Por dos puntos: Dos puntos P₁(x₁, y₁, z₁) y P₂(x₂, y₂, z₂), donde el vector director V_r = P₁P₂.

Ecuaciones de la Recta

• Vectorial: (x,y,z) = (x₀,y₀,z₀) + λ(v₁,v₂,v₃)
• Paramétrica:
  x = x₀ + λv₁
  y = y₀ + λv₂
  z = z₀ + λv₃
• Continua: (x - x₀)/v₁ = (y - y₀)/v₂ = (z - z₀)/v₃
• General o Implícita: Representa la recta como la intersección de dos planos.
  A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0
  A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

Planos en el Espacio

Los planos pueden ser definidos de varias maneras:

• Por un punto y dos vectores directores: Un

ROC de la Transformada Z

• P1: La ROC de X(z) consiste en un anillo en el plano z centrado alrededor del origen.
• P2: La ROC no contiene ningún polo.
• P3: Si x[n] es de duración finita, entonces la ROC es el plano z completo, excepto posiblemente en z=0 y/o z=∞.
• P4: Si x[n] es una secuencia derecha y si el círculo |z|=r₀ está en la ROC, entonces todos los valores finitos de z para los cuales |z|>r₀ también estarán en la ROC.
• P5: Si x[n] es una secuencia izquierda y si el círculo |z|=r₀ está en la ROC, entonces todos los valores z para los cuales 0<|z|<r₀ también estarán en la ROC.
• P6: Si x[n] es bilateral y si el círculo |z|=r₀ está en la ROC, entonces esta consistirá en un anillo en el plano z que incluye al círculo |z|=r₀.
• P7:

Conceptos Fundamentales de Estadística

La Estadística es la ciencia que se encarga de la recopilación, organización, presentación, análisis e interpretación de datos para la toma de decisiones.

Elementos Clave en Estadística

• Población: Conjunto total de individuos, objetos o eventos bien definidos sobre los cuales se desea estudiar una característica específica.
• Marco Muestral: Es la lista o registro de todos los elementos de la población de la cual se puede obtener información.
• Muestra: Un subconjunto representativo y aleatorio de la población, seleccionado del marco muestral, del cual se recolectará la información. Es crucial que sea representativa para que las conclusiones sean válidas para la población.

Variables Estadísticas

Una... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Estadística Descriptiva: Términos Clave y Medidas" »

Dominio de funciones

• Polinómicas: Dom f(x) = ℝ.
• Racionales: Dom f(x) = ℝ - {resultado de la ecuación del denominador}.
• Radicales: Inecuación con el radicando ≥ 0. El dominio será el intervalo resultante.

Representación gráfica de funciones cuadráticas

Para representar una función cuadrática, seguimos estos pasos:

1. Hallar el vértice (V): Calculamos primero Vx = -b/2a. Luego, sustituimos este valor en la función para obtener Vy.
2. Puntos de corte: Hallamos el punto de corte con el eje X (haciendo y=0) y el punto de corte con el eje Y (haciendo x=0).

Operaciones con funciones

• Funciones inversas: Intercambiamos las variables X e Y y despejamos la incógnita Y.
• Composición de funciones (F ∘ G): Sustituimos la función G en cada valor de la

Propiedades de la Función de Probabilidad y Distribución

Función de Probabilidad (para variables discretas):

• f(x_i) está entre 0 y 1.
• La suma de todas las f(x) es igual a 1: Σ f(x) = 1.

Función de Distribución:

• F(X) está entre 0 y 1.
• f(x) es no decreciente.
• f(a) ≤ f(b).
• f(a) = Σ f(a) (y lo mismo para b).

Esperanza y Varianza: Definiciones y Propiedades

Esperanza (E(x)): Media ponderada de los posibles resultados, donde el coeficiente de ponderación de cada resultado es su probabilidad.

E(x) = Σ [f(X) * x]

Propiedad de Linealidad de la Esperanza:

E(ax + b) = aE(x) + b

Demostración:

E(ax + b) = (ax₁ + b) f(x₁) + ... + (ax_n + b) f(x_n)

= ax₁ * f(x₁) + ... + ax_n * f(x_n) + b f(x₁) + ... + b f(x_n)

= a(x₁ * f(x₁) + ... + x_n * f(x_n)) + b(f(x₁) + ... +... Continuar leyendo "Propiedades y Fórmulas Clave de Probabilidad: Variables Aleatorias Discretas y Continuas" »

Operaciones con Monomios y Polinomios

Definición 3.6: Para multiplicar o dividir dos monomios, se multiplican o dividen sus coeficientes y se suman o restan los exponentes de las partes literales iguales, respectivamente. Se pueden multiplicar o dividir dos monomios que no sean semejantes.

Definición 3.9: Para multiplicar dos polinomios se va multiplicando cada monomio del primer factor por cada uno de los monomios del segundo factor y a continuación se reducen los términos semejantes.

MCD y MCM de Polinomios

MCD y MCM de polinomios: Para calcular el m.c.d y m.c.m de dos o más polinomios se procede de la siguiente manera:

1. Se factorizan ambos polinomios.
2. El m.c.d es igual al producto de todos los factores comunes de los polinomios afectados del

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (catetos). La fórmula es:

h² = a² + b²

Donde:

• h es la hipotenusa
• a y b son los catetos

Ejemplo:

Si a = 4 y b = 3, entonces:

h² = 4² + 3²

h² = 16 + 9

h² = 25

h = √25

h = 5

Razones Trigonométricas

Las razones trigonométricas son relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo y sus ángulos agudos. Las principales razones trigonométricas son:

• Seno (sen): cateto opuesto / hipotenusa
• Coseno (cos): cateto adyacente / hipotenusa
• Tangente (tan): cateto opuesto / cateto adyacente
• Cotangente (cot): cateto adyacente / cateto opuesto
• Secante (sec)

HALLAR DOMINIO1. POLINOMIOS: Dominio es R (todos los reales).2. FRACCIÓN ALEGBRÁICA: Se iguala el denominador a 0 y se resuelve. El dominio será R - {esos valores}.3. Raíz: a) INDICE IMPAR: Dominio = Rb)≥ 0, y resolver como inecuación.4. LOGARITMOS: Se hace lo de dentro del logaritmo > 0 y se resuelve.5. FUNCIONES EXPONENCIALES: Su dominio es R.2. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES CON INVERSAFUNCIÓN INVERSA Se cambia la f(x) por y.Se despeja la x.Se cambia la “x” por “f⁻¹(x)” y la “y” por “x”.COMPOSICIÓN DE FUNCIONESFoG(x) = F[g(x)]GoF3. TRASLACIÓN Y DILATACIÓN TRASLACIÓN VERTICAL· f(x) + a = subo la función “a” cantidades.· f(x) - a = bajo la función “a” cantidades.TRASLACIÓN HORIZONTAL· f(x+a) = desplazo... Continuar leyendo "Cálculo de Dominio, Límites y Tipos de Discontinuidad: Fórmulas Esenciales de Funciones" »