Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

¿Qué es el Álgebra?

El Álgebra es una rama fundamental de las matemáticas que se encarga del estudio de la combinación de elementos de estructuras abstractas, utilizando letras y símbolos para representar números y cantidades.

Padre de las Matemáticas

El padre de las matemáticas es Al-Juarismi (Abu Abdallah Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi), un matemático, astrónomo y geógrafo persa del siglo IX, cuyas obras fueron fundamentales para el desarrollo del álgebra y los algoritmos.

Clasificación de los Números

Los números se clasifican en diferentes conjuntos, cada uno con propiedades específicas:

• Números Imaginarios: Son aquellos que resultan de la raíz cuadrada de un número negativo. Se representan con la unidad imaginaria i (donde

Nombres Racionals i Propietats Fonamentals

Nombres Racionals

Tot nombre racional s'expressa de manera única per un nombre decimal que és exacte o periòdic.

La proporció (1 + arrel quadrada de 5) / 2 relaciona la longitud del costat gran amb la longitud del costat petit (proporció àuria).

Propietats de la Suma

• Associativa: (a + b) + c = a + (b + c)
• Commutativa: a + b = b + a
• Existència d'element neutre (0): a + 0 = a
• Existència d'element simètric (l'element oposat -a): a + (-a) = 0

Propietats de la Multiplicació

• Associativa: (a * b) * c = a * (b * c)
• Commutativa: a * b = b * a
• Existència d'element neutre (1): a * 1 = a
• Existència d'element simètric (l'element invers 1/a, si a ≠ 0): a * (1/a) = 1
• Distributiva de la multiplicació respecte a

Las Leyes de Mendel: Principios de la Herencia Genética

1. Primera Ley de Mendel: Ley de la Uniformidad de la Primera Generación Filial (F1)

La descendencia resultante del cruce de dos individuos homocigotos está formada por un conjunto de híbridos que presentan uniformidad, tanto desde el punto de vista del genotipo como del fenotipo.

2. Segunda Ley de Mendel: Ley de la Segregación (o Disyunción) de los Caracteres Antagónicos

Los individuos de la F2, resultantes del cruzamiento entre sí de los híbridos de la F1, son diferentes en fenotipo unos de otros. Esto se debe a la disyunción o segregación de los factores responsables de dichos caracteres, los cuales se encontraban juntos en el híbrido y luego se separan y se reparten entre distintos... Continuar leyendo "Principios Fundamentales de la Herencia: Las Leyes de Mendel y la Transmisión Genética" »

P1. Cálculo de Días de Operación de Excavadora

Se pide hallar la cantidad de días de operación de una excavadora para mover un material en estado suelto, el cual conformará una base que, en su forma compacta, tendrá las siguientes dimensiones: base mayor de 9.50 m, base menor de 6.50 m, espesor de 0.30 m, y longitud de 3.75 km. El factor de compactación (F.C.) es 1.38. Los datos adicionales son:

Terreno:

• 50% tierra
• 50% roca

Maquinaria:

1. Tiempo de maniobra: 35 segundos
2. Factor de llenado (F.LL.) típico de material con partículas mayores a 12 mm
3. Tiempo contributorio: 13 minutos
4. Disponibilidad mecánica: 0.885
5. Capacidad del cucharón: 3.26 m³

Solución:

Primero, calculamos el volumen compactado (Vc) del material:

Vc = (9.50 + 6.50) / 2 * 0.30 * 3750... Continuar leyendo "Cálculo de Días de Operación de Maquinaria para Movimiento de Tierras" »

Propiedades de las Circunferencias

Si dos circunferencias son tangentes, el punto de tangencia está en la recta O₁O₂.

Si una recta es tangente a una circunferencia, el punto de tangencia está en la perpendicular a r trazada por O.

Si una circunferencia pasa por dos puntos, su centro está en la mediatriz del segmento que une dichos puntos.

Si una circunferencia es tangente a dos rectas, su centro está en la bisectriz del ángulo que forman dichas rectas.

Teorema de Thales

Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Definiciones Básicas

La bisectriz de un ángulo es una semirrecta que divide al ángulo en dos partes... Continuar leyendo "Conceptos Geométricos Fundamentales" »

Fundamentos de la Recolección de Datos en Investigación

El muestreo depende de factores cruciales como el objetivo del estudio, los recursos financieros disponibles, la limitación de tiempo o el problema que se está investigando.

Tipos de Muestreo

Muestreo Probabilístico

Se realiza al azar, asegurando que cada individuo de la población tiene la misma posibilidad de ser seleccionado.

• Muestreo Aleatorio Simple: Todos los individuos tienen la misma probabilidad de ser elegidos.
• Muestreo Sistemático: La muestra se elige seleccionando un punto de inicio aleatorio y, posteriormente, eligiendo cada $n$ elementos en sucesión del marco de muestreo.
• Muestreo Estratificado: Se extrae un número igual de elementos de cada estrato y se da peso a los resultados

Tipus de Variables Estadístiques

En estadística, les variables es classifiquen segons la naturalesa de les dades que representen:

• Variables Nominals o Categòriques

  No hi ha cap ordre entre les categories. Són exemples: gènere, país d’origen, partit polític, estat civil, situació laboral. (En programari com PSPP, es correspon amb el tipus Nominal).

• Variables Ordinals

  Les categories es poden ordenar de més a menys, però sense conèixer la magnitud exacta de la diferència entre elles. Són exemples: classe social, nivell d’estudis, ideologia política. (En PSPP, es correspon amb el tipus Ordinal).

• Variables d'Interval

  Es poden ordenar i permeten realitzar operacions aritmètiques (suma, resta). El zero és arbitrari i no indica absència

Formulari de Matemàtiques

Gràfiques:

• Continuïtat: Una funció és contínua en un punt a si: f(a) = lim_x→a^- f(x) = lim_x→a⁺ f(x)
• Discontinuïtat de salt finit: lim_x→a^- f(x) ≠ lim_x→a⁺ f(x) ≠ f(a)
• Discontinuïtat de salt infinit: Un o ambdós límits laterals són infinits.
• Discontinuïtat evitable: lim_x→a^- f(x) = lim_x→a⁺ f(x) ≠ f(a)

Asímptotes:

• Asímptota Vertical (A.V.): lim_x→a f(x) = ±∞
• Asímptota Horitzontal (A.H.): lim_x→∞ f(x) = b (on b és un nombre finit)
• Asímptota Obliqua (A.O.):
  • m = lim_x→∞ (f(x) / x)
  • n = lim_x→∞ (f(x) - mx)
  • Equació de l'asímptota obliqua: y = mx + n

Teoremes:

• Teorema de Bolzano: Si f(x) és contínua en [a, b] i f(a) * f(b) < 0 (signes diferents), llavors existeix almenys un c ∈ (a, b)

El Modelo del Árbol Binomial y la Valoración de Activos

El modelo del árbol binomial se basa en las siguientes hipótesis:

• Hipótesis de ausencia de arbitraje: Fundamental para la consistencia del modelo.
• Movimientos de precio: Desde cada estado en un periodo, el precio puede moverse a uno de dos estados siguientes (arriba – abajo).
• Distribución de probabilidad: En cada periodo, el modelo de probabilidad es Bernoulli (arriba: p, y abajo: 1-p).
• Independencia entre periodos: Los movimientos de precio en diferentes periodos son independientes.
• Distribución binomial: Como resultado, el modelo de probabilidades en j=1,2,3… es Binomial.

Teorema de Representación Binomial

El Teorema de representación Binomial se basa principalmente en considerar... Continuar leyendo "Valoración de Activos con el Modelo del Árbol Binomial: Un Enfoque Detallado" »

Conceptos Fundamentales y Fórmulas Clave en Física

El número arriba del 10 indica la cantidad de ceros que habrá (posiblemente refiriéndose a notación científica).

Vectores y Componentes

En la suma de componentes, la magnitud resultante es la raíz cuadrada de la suma de la componente x al cuadrado más la componente y al cuadrado. Para el ángulo, se usa la función tangente a la -1 (tan⁻¹) de la suma de las componentes y entre la suma de las componentes x.

Leyes de la Trigonometría

Ley del Coseno: a² = b² + c² - 2bc cos A

Ley del Seno: a / sen A = b / sen B = c / sen C

Leyes de Newton

Primera Ley de Newton (Equilibrio)

Si una masa está en kilogramos (kg), cámbiala a Newtons (N) multiplicándola por la gravedad (g). Si está en libras