Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Explicación de la ley del equilibrio genético de Hardy-Weinberg

La ley de Hardy-Weinberg establece que la composición genética de una población permanece en equilibrio mientras no actúe la selección natural, ningún otro factor evolutivo y no se produzca ninguna mutación. En el lenguaje de la genética de poblaciones, esta ley afirma que, bajo ciertas condiciones, tras una generación de apareamiento al azar, las frecuencias de los genotipos de un locus individual se fijarán en un valor de equilibrio particular. Asimismo, especifica que dichas frecuencias de equilibrio pueden representarse como una función sencilla de las frecuencias alélicas en ese locus.

Influencia del proceso migratorio en el fondo común de genes

El flujo genético... Continuar leyendo "Principios de Genética de Poblaciones y Aplicación Estadística en Biología" »

Definiciones

A continuación, se presentan las definiciones de algunos conceptos clave en geometría analítica:

1. Geometría Analítica

Rama de las matemáticas que establece una conexión entre el álgebra y la geometría euclidiana.

2. Lugar Geométrico

Conjunto de puntos que comparten una característica en común.

3. Ordenada al Origen

Valor de la coordenada y en el punto donde una recta o curva interseca el eje y.

4. Pendientes de Rectas Paralelas

Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.

5. Pendientes de Rectas Perpendiculares

El producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares es igual a -1.

6. Circunferencia

Línea curva cerrada cuyos puntos equidistan de un punto interior llamado centro.

7. Diámetro

Segmento de recta que une dos... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Geometría Analítica" »

El Método Experimental: Etapas Esenciales para la Investigación Científica

El método experimental es la base de la investigación científica, permitiendo a los investigadores comprender y explicar los fenómenos naturales. A continuación, se detallan las fases clave de este riguroso proceso:

1. 1. Observación

   El punto de partida son siempre los hechos o fenómenos físicos que la ciencia pretende explicar. Se parte, pues, de la observación: la caída libre, el movimiento de los astros, la temperatura, la presión de un gas, entre otros.

2. 2. Formulación de Hipótesis

   Los hechos en sí mismos no dicen nada. Ocurre, por ejemplo, que al aumentar la presión de un gas sucede otra cosa, pero no se sabe cómo relacionar entre sí los diversos factores

Conceptos Clave de Matemáticas Aplicadas a la Economía

Optimización y Cálculo de Beneficios

• Extremos Relativos: P'(x) = 0. Los valores resultantes se sustituyen en P''(x). Si el resultado es negativo, es un máximo; si es positivo, es un mínimo.
• Extremos Absolutos: Sustituimos los valores de x en la función P(x) que han resultado de P'(x) = 0 y de algún punto.
• Unidades para el Máximo Beneficio: B(q) = p*q - C(x). Luego, B'(x) = 0.
• Precio por Unidad: Sustituimos el resultado anterior en p(x).
• Importe Máximo Beneficio: En B(q), sustituimos el valor del máximo beneficio.

Análisis de la Demanda y Costos

• % Demanda: E(p) * (% de cambio de precio).
• Mínimo de Unidades: Cp = C(x) / x. Después, Cp'(x) = 0 y para comprobar, C''(x) = 0. Sustituimos

Conceptos Fundamentales de Álgebra

Sistema de Numeración: Es un conjunto de principios, convenios y símbolos que se utilizan para expresar y comunicar cantidades. Estos sistemas emplean cifras y reglas para combinar dichas cifras.

Intervalo: Es un subconjunto del conjunto de los números reales, cuyos elementos están comprendidos entre dos límites que pueden o no pertenecer a dicho intervalo.

Potenciación: Es una forma abreviada de expresar la multiplicación sucesiva de un mismo factor (la base), tantas veces como lo indica el exponente.

Radicación: Es la operación matemática inversa a la potenciación. Permite encontrar la raíz de un número (el radicando) conocido el índice.

Desigualdad: Es una relación de orden que se establece entre... Continuar leyendo "Fundamentos de Álgebra y Funciones: Conceptos Clave y Propiedades Matemáticas Esenciales" »

Conceptos Fundamentales de Teoría de Números

Relaciones de Orden

Menor que: Dados dos números a y b, definimos "a menor que b" y lo indicamos como a < b.

Mayor que: Dados dos números a y b, definimos "a mayor que b" y lo indicamos como a > b.

Conjuntos Acotados

Sea A un conjunto no vacío de números naturales:

• Cota Superior: K es una cota superior de A si y solo si para todo a perteneciente a A, a ≤ K.
• Cota Inferior: H es una cota inferior de A si y solo si para todo a perteneciente a A, H ≤ a.
• Conjunto Acotado Superiormente: A es acotado superiormente si y solo si existe al menos una cota superior de A.
• Conjunto Acotado Inferiormente: A es acotado inferiormente si y solo si existe al menos una cota inferior de A.
• Máximo: K es máximo

Postulados Algebraicos Fundamentales

• Postulado 7: Postulado de la Multiplicación

  Si objetos iguales se multiplican por objetos iguales, sus productos son iguales. Es decir, si a = b y c = d, entonces ac = bd.

• Postulado 8: Postulado de la División

  Si objetos iguales se dividen entre objetos iguales, los cocientes son iguales. Es decir, si a = b y c = d, entonces a/c = b/d, donde c ≠ 0 y d ≠ 0.

• Postulado 9: Postulado de la Potencia

  Cantidades iguales elevadas a potencias iguales son iguales. Es decir, si a = b, entonces aⁿ = bⁿ.

• Postulado 10: Postulado de la Raíz

  Raíces n-ésimas iguales de cantidades iguales son iguales. Es decir, si a = b, entonces √ⁿa = √ⁿb.

Postulados Geométricos Clave

• Postulado 11

  Dos líneas rectas se intersectan en un

Convergencia Local en Métodos Numéricos

Sea F una función con una raíz α ∈ (a, b). Se supone que F es derivable en un entorno (α - δ₁, α + δ₁), F' es continua en α y F'(α) ≠ 0. Entonces:

• (i) La aplicación f(x) = x - F(x) / F'(x) está definida en un entorno (α - δ₂, α + δ₂), con δ₂ < δ₁.
• (ii) f es derivable en α y f'(α) = 0.
• (iii) Existe un entorno (α - δ₃, α + δ₃) tal que, para todo x₀ ∈ (α - δ₃, α + δ₃), la sucesión (xₙ) definida por xₙ₊₁ = f(xₙ) converge a α, cumpliéndose que xₙ ∈ (α - δ₃, α + δ₃) para todo n ≥ 0.
• (iv) Para todo x ∈ (α - δ₃, α + δ₃), la convergencia de (xₙ) es superlineal: lim |xₙ₊₁ - α| / |xₙ - α| = 0.

Demostración y Desarrollo

Siendo... Continuar leyendo "Fundamentos Matemáticos de la Convergencia Local y Estimación del Error en el Método de Newton" »

Elipse conocida un eje y un punto

Si conocemos el eje AB y el punto P, se traza con centro en O la circunferencia de diámetro AB. Por P se traza una perpendicular a AB que corta a la circunferencia en E. Se traza el segmento EO. Se traza una paralela a AB por P, que corta a EO en F. La distancia OF es el semieje menor. Con centro en O y radio OF, obtenemos C y D sobre una perpendicular a AB por O. En caso de que el eje conocido sea el CD, el trazado es similar, salvo que primero se obtiene el punto F y luego el E.

Ejes principales a partir de dos diámetros conjugados

Sean A’B’ y C’D’ dos diámetros conjugados. Por O se traza una perpendicular a A’B’. Se traza un arco de centro O y radio OA’ que corta a dicha perpendicular en 1.... Continuar leyendo "Construcción y Propiedades de la Elipse: Métodos y Procedimientos" »

Ejercicio 1. Verdadero/Falso razonado

a) Si G es un grafo plano con 14 aristas, es regular y tiene un vértice de grado 4, entonces G tiene necesariamente 9 caras.

Respuesta: Cierta.

Por la ley de los emparejamientos de grados (suma de los grados igual a dos veces el número de aristas) se tiene 2|E| = 28. Si G es regular de grado 4, entonces 4n = 28, donde n es el número de vértices. De ello n = 7.

Aplicando el teorema de Euler para grafos planos: n - m + f = 2, donde m = 14 y f es el número de caras. Así, 7 - 14 + f = 2, por lo que f = 9. Por tanto, la afirmación es verdadera.

b) Si n ≥ 3 y K_n es el grafo completo de n vértices, entonces es hamiltoniano siempre y nunca es bipartido.

Respuesta: Cierta.

Si los vértices son v1, v2, …, v_... Continuar leyendo "Teoría de grafos: teoremas y conceptos sobre planaridad, Hamilton y bipartición" »