Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Procedimiento para la Parte I1: Conservación de Masa y Energía

Lo que hicimos fue, en primer lugar, asignar letras a las entradas y salidas de los ductos (cambios de diámetro). Luego, asignamos letras a los nodos y números a las líneas de flujo. Con este planteamiento, procedemos a establecer las ecuaciones de conservación de masa.

Posteriormente, se deben establecer las ecuaciones de conservación de energía hasta el nodo (para no olvidar el +1 o -1). Combinando estas ecuaciones, obtenemos lo solicitado.

Procedimiento para la Parte I2: Sistemas de Bombeo y Cavitación

Realizamos las ecuaciones de conservación de energía, pero en términos de cabezal; o sea:

• Con esto, obtendremos que el cabezal del sistema será una función de constantes

Matemáticas Financieras

Valor Final (VF) de Rentas

• Aportaciones prepagables (al inicio de cada plazo): S¨n|i = [((1+i)n - 1) / i] * (1+i)
• Aportaciones pospagables (al final de cada plazo): Sn|i = ((1+i)n - 1) / i

Valor Actual (VA) de Rentas

• Aportaciones prepagables: A¨n|i = [(1 - (1+i)-n) / i] * (1+i)
• Aportaciones pospagables: An|i = (1 - (1+i)-n) / i

Capitalización

• Capitalización Simple (operaciones < 1 año): C * (1 + i * t)
• Capitalización Compuesta (operaciones > 1 año): C * (1+i)t

Tipos de Interés

• De interés nominal (j_m) a efectivo (i_m): im = jm / m
• Conversión de tantos equivalentes (de k a m): im = (1 + ik)m/k - 1
• De interés anual (i) a efectivo (i_m): im = (1 + i)1/m - 1

Cálculo de Varias Variables

Continuidad de Funciones

Para estudiar... Continuar leyendo "Formulario Avanzado de Cálculo y Matemáticas Financieras" »

Conceptos Fundamentales de Logaritmos

Si $a > 0$ y $a \neq 1$, se llama logaritmo en base $a$ de $P$, y se designa $\log_a P$, al exponente al que hay que elevar la base $a$ para obtener $P$.

$$\log_a P = x \Leftrightarrow a^x = P$$

Propiedades Esenciales de los Logaritmos

1. Dos números distintos tienen logaritmos distintos. Si $P \neq Q$, entonces $\log_a P \neq \log_a Q$. Si $a > 1$ y $P < Q$, entonces $\log_a P < \log_a Q$.
2. El logaritmo de la base es 1: $\log_a a = 1$, porque $a^1 = a$.
3. El logaritmo de 1 es 0, cualquiera que sea la base: $\log_a 1 = 0$, porque $a^0 = 1$.
4. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores: $\log_a (P \cdot Q) = \log_a P + \log_a Q$.
5. El logaritmo de un cociente es igual al

Conceptos Fundamentales de Estadística

Definiciones Clave en Estadística

Estadística: Es la disciplina que estudia los métodos científicos para la recolección, organización, presentación, análisis e interpretación de datos, con el fin de sacar conclusiones válidas y tomar decisiones razonables basadas en dicho análisis.

Estadística Descriptiva: Se encarga de describir, resumir y analizar las características principales de un conjunto de datos, obteniendo conclusiones sobre las propiedades de dicho conjunto y sus relaciones.

Estadística Inductiva (o Inferencial): Permite inferir o generalizar las características de una población a partir de los resultados obtenidos del análisis de una muestra representativa de la misma.

Población:

DE ENTRE TODAS LAS RECTAS DEL PLANO QUE PASAN POR EL PUNTO (1, 2), ENCUENTRA AQUELLA QUE FORMA CON LAS PARTES POSITIVAS DE LOS EJES COORDENADOS UN TRIÁNGULO DE ÁREA MÍNIMA. HALLA EL ÁREA DE DICHO TRIÁNGULO.

Es un problema de optimización.

La ecuación en forma explícita de una recta r en el plano es y = mx + n.

Como corta en la parte positiva de los ejes coordenados, la gráfica de la recta es como la de la figura con lo cual la pendiente m es negativa.

Como pasa por el punto C(1,2) tenemos 2 = m + n, de donde n = 2 – m, y la recta queda en la forma

y = mx + (2 – m)

El corte de la recta con el eje OX es el punto B que se obtiene haciendo y = 0, de donde mx = m – 2, con lo cual x = (m – 2)/m, y el punto tiene de coordenadas B(... Continuar leyendo "Optimización de Áreas y Volúmenes: Ejemplos y Resolución de Problemas" »

Conceptos Fundamentales de Matemáticas

Función Cuadrática

Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas de segundo grado, cuya gráfica es una parábola.

Método de Sustitución para Ecuaciones

Este método se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones y consta de los siguientes pasos:

1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Método de Reducción para Ecuaciones Lineales

El último de los métodos analíticos que vamos a aprender a... Continuar leyendo "Conceptos Clave en Matemáticas, Geometría y Psicología" »

La llengua ens permet expressar les nostres necessitats i opinions. Hi ha una íntima relació entre llengua i societat: la llengua ens fa evolucionar en societat, i la societat funciona mitjançant l'ús de la llengua. La situació sociolingüística del valencià és fràgil. La realitat és que la major part de la població utilitza el castellà com a llengua vehicular.

Això ens porta a anomenar el valencià com 'llengua minoritzada', amb una quantitat important de parlants però amb unes condicions politicosocials inferiors al castellà. A més, hi ha un conflicte lingüístic entre ambdues, la qual cosa ens du a parlar de diglòssia. En aquest cas, el castellà és una llengua prestigiada, amb presència en tots els àmbits d'ús i el... Continuar leyendo "La situació sociolingüística del valencià" »

Lagrange-ren Teorema

Funtzio bat baldin bada:

1. Jarraitua [a,b] tartean: f(1) = lim f(x)
2. Deribagarria (a,b) tartean: f´(1-) = f´(1+)

Orduan, existitzen da c ∈ (a,b) puntu bat (edo gehiago) non f´(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a) betetzen den.

Grafikoki, puntu bat dago non zuzen ukitzailea sekantearen paraleloa den.

Rolle-ren Teorema

Aurreko baldintzez gain, f(a) = f(b) betetzen bada, orduan existitzen da c ∈ (a,b) non f´(c) = 0 den.

Grafikoki, puntu bat dago non zuzen ukitzailea abzisa-ardatzarekiko paraleloa den.

Parametroak

• P(a,b) puntua: f(a) = b
• Minimoa edo maximoa x = 3 puntuan: f´(3) = 0
• Inflexio-puntua x = 3 puntuan: f´´(3) = 0
• Muturra x = 10, y = 8 puntuan: f(10) = 8 eta f´(10) = 0
• Ukitzailea x = 5 puntuan: f´(5) = m

Adierazpen Grafikoa

• Izate-

F = (GMm/d²). Int = (GM/d²). Ep = (-GMm/d) = (m·V). Pot = (-GM/d). W_AB = (Ep_A - Ep_B). Flujo = (-g·S·cosα) = (-4πGM). Vo = √(GMt/d). V_A = (1/2·V_per·d_per). Ec = (1/2·mv²).

T = (1/f). f = (1/T). W = (2π·f) = (2π/t). λ = (V/f) = (2π/K) = (V·t). K = (2π/λ). V_p = (λ/t) = (λ·f) = (W/K). Pot = (E_m/t). Int = (P/S) = (P/4πR²). Aten = (I·R·A). Abso = (I_o·e^-Bx). Int = 10·log(I/I_o). Refr = (sen i / sen r = n_r/n_i = v_i/v_r). Fij = (2L/n). Inter = ((f₁+f₂)/2). Bati = (f₁-f₂). Ec = (1/2·mv²). Ep = (1/2·kx²). Em = (1/2·kA²). Y = (A·sen = A·cos). V = (A·ω·cos = -A·ω·sen). A = (-A·ω²·sen = -A·ω²·cos).

C = (E/B) = (λ/t) = (λ·f). Relati = (n_i/n_r). Vr = (c/n_r). λr = (λ_v/n_r). Esp = (1/f = 1/s₂ + 1/s₁). A_L = (-s₂/... Continuar leyendo "Fórmulas de Física: Gravitación, Ondas, Electricidad, Magnetismo y Física Moderna" »

Método científico: pasos

El método científico se compone de una serie de etapas sistemáticas para investigar fenómenos. A continuación se enumeran los pasos principales:

1. Observación: La observación de un fenómeno o conjunto de datos que plantea una pregunta o problema.
2. Pregunta de investigación: Después de observar, se formula una pregunta específica que se busca responder mediante la investigación.
3. Investigación preliminar: Realizar una investigación preliminar para comprender lo que se sabe sobre el tema.
4. Hipótesis: Es la declaración fundamentada que sugiere una posible respuesta a la pregunta de investigación.
5. Diseño experimental: Se planifica cómo se llevará a cabo la investigación para probar la hipótesis.
6. Recopilación