Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Leyes de los Exponentes: Conceptos Fundamentales

Signos en la Potenciación

Cuando una base negativa se eleva a un exponente impar, el resultado siempre será negativo. Si una base negativa entre paréntesis se eleva a un exponente par, el resultado siempre será positivo.

Segunda Ley: Multiplicación de Potencias con la Misma Base

En la multiplicación de potencias con la misma base, esta se conserva y los exponentes se suman. Para identificar una multiplicación, se pueden usar dos o más paréntesis, corchetes o llaves: (), [], {}.

( ) ( )                                          ( ) +( )                                                               

Ley

MERKATARITZA GANBILAK

Erakunde berezi bat, lurralde bakoiztean bakarra baina lurralde guztietan bat.

Helburu nagusiak

Enpresen arteko harremanak areagotzea,prestakuntza ematea langileei,Gipuzkoako ekonomia garatzen laguntzea

Ez da publikoa,GIPUZKOAKO EKONOMIAREN 1O EZAUGARRI

Errenta eta aberastasunaPer kapita errenta,35.640€ biztanleko,administrazioan,enpresan,Barne produktu gordina/biztanleria

Arabak per kapita errenta handiena, Madril, Gipuzkoa=Nafarroa

Jarduera ekonomikoa

lehen sektoreak ez du garrantzia handirik,Gipuzkoan %27,67 industriak,Industriak per kapita errenta aldatzen du

Berrikuntza,Esportazioak,Zerga komertziala,Españako 12. probintzia esportazioan,Aurretik dauden guztiak kotxeen fabrikak dituzte

Gipuzkoak 2017: 7.178.991.000€ esportazioan

Espezializazioa

Burdinarekin... Continuar leyendo "Gipuzkoako Ekonomiaren 1O Ezaugarriak" »

Herritarra eta Herritartasuna

Herritarra: Antzinako estatuetako biztanlea, eskubide politikoak dituen subjektua, eskubide horiek erabiltzen ditu bere herrialdea gobernatzeko.

• A) Lurralde batean kide izatea.
• B) Hiriak edo estatuak babestu beharreko eskubideak izatea eta parte hartzeko aukera izatea.

Herritarren Eskubideak eta Betebeharrak

• Isonomia: Herritarrak oinarrizko eskubide eta betebehar berak zituzten.
• Isegoria: Herritarrak zuten asanblean hitz egiteko eta haien iritzia emateko eskubidea.
• Koinonia: Guztien ongia lortzeko lankidetza-komunitatea osatzea.

Antzinako Herritartasunaren Mugak

A) Eredu baztertzailea zen, legeetan ezarritako zenbait baldintza betetzen zituzten gizon helduak baino ez ziren herritartzat hartzen.

B) Norberaren komunitate politikoko... Continuar leyendo "Herritartasuna, Estatua eta Bizikidetza: Gakoak eta Erronkak" »

Conceptos Fundamentales de Geometría Analítica

Vectores y Puntos Alineados

• Vectores Linealmente Dependientes e Independientes: Dos vectores son linealmente dependientes si alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás. En caso contrario, se denominan linealmente independientes.

• Puntos Alineados: Tres o más puntos están alineados si los vectores que se forman entre ellos, por ejemplo, →AB y →BC, son paralelos (es decir, proporcionales).

Posiciones Relativas en el Espacio

Posiciones Relativas entre Rectas

Dos rectas en el espacio pueden ser coincidentes, paralelas, cortarse en un punto o cruzarse. Para estudiar las posiciones relativas entre dos rectas, r y s, se utilizan los rangos de la matriz de coeficientes (M)... Continuar leyendo "Geometría Analítica Espacial: Conceptos Fundamentales de Vectores, Rectas y Planos" »

Operaciones Fundamentales con Vectores

Cálculo de Ángulos entre Vectores

El coseno del ángulo (θ) entre dos vectores v1=(x1, y1, z1) y v2=(x2, y2, z2) se calcula mediante la fórmula del producto escalar:

cos(θ) = (v1 · v2) / (|v1| * |v2|)

• Donde v1 · v2 = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2 (producto escalar).
• Y |v| = √(x² + y² + z²) (módulo del vector).

Producto Escalar

Para determinar si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar debe ser cero.

Producto Vectorial

• Para hallar un vector perpendicular a otros dos vectores, se utiliza el producto vectorial.
• El área de un paralelogramo formado por los vectores AB y AC se calcula como el módulo del producto vectorial: Área = |AB x AC|.
• El área de un triángulo formado por los vectores AB y AC

Un centro comercial sabe en función de la distancia, en kilómetros, a la que se sitúe de un núcleo de población, acuden los clientes, en cientos, que figuran en la tabla:

1. Calcular el coeficiente de correlación lineal.

2. Si el centro comercial se sitúa a 2 km, ¿cuántos

clientes puede esperar?

3. Si desea recibir a 5 clientes,

¿a qué distancia del núcleo

Correlación negativa muy fuerte.

Hominidoen Eboluzioa eta Giza Garapena

Gizakiaren historiaurreko garapena ulertzeko, gure arbasoen eboluzio-prozesua aztertzea ezinbestekoa da. Hainbat hominido-espeziek hartu zuten parte prozesu luze horretan, bakoitzak bere ezaugarri eta ekarpenekin.

Australopithecus

Australopithecus-ak oihanean bizi ziren, duela hiru milioi urtetik milioi bat urtera bitartean. 500 cm³-ko garezur-edukiera zuten (gorilen antzekoa) eta hankabikoak ziren. Garai berekoa zen Homo habilis ere (aztarnak Afrikan aurkitu zituzten), baina kopeta zabalagoa zuen, 700 cm³-ko garezur-edukiera, eta bizimodu desberdina zuen: eremu zabaletan bizitzen hasi zen (belardietan eta sabanetan), familietan antolatuta, eta txabolak nahiz tresnak egiten zituzten.

Homo Erectus

Eboluzio-... Continuar leyendo "Gizakiaren Eboluzioa eta Giza Berezitasunak" »

Posic. rel recta y plano. Forma 1. Hacer matriz y matriz ampliada. Si los 2 rangos=3: SCD,se cortan en un punto,recta secante al plano. Si los 2 rangos=2: SCI, recta contenida en el plano. SI rango M=2 y el de la ampliada =·3: SIncomp, recta y plano no se cortan,la recta es paralela al plano.  Forma 2 Sacar Pr (lo que no tiene parametro) Vr(lo que tiene parametro ) y n (x,y,z del plano) . Si Vr * N no es igual a 0 la recta es secante(se cortan), si es igual a 0 se sustituye PR por los valores de x,y,z en el plano, si la igualdad se cumple la recta pertenece al plano y la recta esta contenida en el plano, si no se cumple el punto es secante respecto a la recta. (Para Sacar punto de corte si es secante,sustituir parametros en el plano)/ Pos.

Ejercicios resueltos de álgebra y cálculo multivariable

1. Subespacio vectorial en R⁴

Considere el subespacio vectorial S de R⁴ dado por un sistema de ecuaciones. Encuentre una base de S y escriba sus ecuaciones paramétricas.

Solución:

Dimensión = n - número de ecuaciones cartesianas linealmente independientes (LI). Si una variable no aparece en las ecuaciones cartesianas, es un parámetro. Si aparece en ambas, también lo es. Se define S = {&, &, &, @} y, como la dimensión es 2, se buscan 2 vectores para la base.

2. Aplicación lineal en R²

La aplicación lineal f: R² -> R² es tal que f(1, 0) = (1, 1) y f(0, 1) = (0, -1). Exprese la matriz de dicha aplicación y su matriz semejante referida a una base de autovectores.

Solución:

Ejercicios de Matemáticas: Optimización, Probabilidad y Sistemas de Ecuaciones

Ejercicio 1: Optimización de Lámparas

Sopranos y Mezzos

Restricciones:

• x + y + z = 15
• 20x + 30y ≥ 6000 (Simplificado: 2x + 3y ≥ 600)
• 20x + 10y (Simplificado: 2x + y)

Ejercicio 2: Optimización de Unidades Sueltas y Lotes

Unidades Sueltas

y - 2 = z - 1

Lotes de 4

x + 4y

x+3y

Beneficio: B(x) = -x² + 360x - 18000

A) Calcular el beneficio para 100 unidades.

1. Sustituir x = 100 en B(x).

¿Cuántas unidades se han vendido si el beneficio diario es de 13500?

1. Igualar 13500 = -x² + 360x - 18000.

B) Número de unidades para beneficio máximo. ¿A cuánto asciende el beneficio?

1. Derivar B(x).
2. Igualar la derivada a 0.
3. Calcular B(180) y hacer un boceto.

C) ¿Cuántas unidades hay que vender