Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Postulados Algebraicos Fundamentales

• Postulado 7: Postulado de la Multiplicación

  Si objetos iguales se multiplican por objetos iguales, sus productos son iguales. Es decir, si a = b y c = d, entonces ac = bd.

• Postulado 8: Postulado de la División

  Si objetos iguales se dividen entre objetos iguales, los cocientes son iguales. Es decir, si a = b y c = d, entonces a/c = b/d, donde c ≠ 0 y d ≠ 0.

• Postulado 9: Postulado de la Potencia

  Cantidades iguales elevadas a potencias iguales son iguales. Es decir, si a = b, entonces aⁿ = bⁿ.

• Postulado 10: Postulado de la Raíz

  Raíces n-ésimas iguales de cantidades iguales son iguales. Es decir, si a = b, entonces √ⁿa = √ⁿb.

Postulados Geométricos Clave

• Postulado 11

  Dos líneas rectas se intersectan en un

Elipse conocida un eje y un punto

Si conocemos el eje AB y el punto P, se traza con centro en O la circunferencia de diámetro AB. Por P se traza una perpendicular a AB que corta a la circunferencia en E. Se traza el segmento EO. Se traza una paralela a AB por P, que corta a EO en F. La distancia OF es el semieje menor. Con centro en O y radio OF, obtenemos C y D sobre una perpendicular a AB por O. En caso de que el eje conocido sea el CD, el trazado es similar, salvo que primero se obtiene el punto F y luego el E.

Ejes principales a partir de dos diámetros conjugados

Sean A’B’ y C’D’ dos diámetros conjugados. Por O se traza una perpendicular a A’B’. Se traza un arco de centro O y radio OA’ que corta a dicha perpendicular en 1.... Continuar leyendo "Construcción y Propiedades de la Elipse: Métodos y Procedimientos" »

Ejercicio 1. Verdadero/Falso razonado

a) Si G es un grafo plano con 14 aristas, es regular y tiene un vértice de grado 4, entonces G tiene necesariamente 9 caras.

Respuesta: Cierta.

Por la ley de los emparejamientos de grados (suma de los grados igual a dos veces el número de aristas) se tiene 2|E| = 28. Si G es regular de grado 4, entonces 4n = 28, donde n es el número de vértices. De ello n = 7.

Aplicando el teorema de Euler para grafos planos: n - m + f = 2, donde m = 14 y f es el número de caras. Así, 7 - 14 + f = 2, por lo que f = 9. Por tanto, la afirmación es verdadera.

b) Si n ≥ 3 y K_n es el grafo completo de n vértices, entonces es hamiltoniano siempre y nunca es bipartido.

Respuesta: Cierta.

Si los vértices son v1, v2, …, v_... Continuar leyendo "Teoría de grafos: teoremas y conceptos sobre planaridad, Hamilton y bipartición" »

A Traxedia Grega: Autores e Estrutura

Case todo canto coñecemos do xénero da traxedia grega débese ás obras conservadas dos tres autores que xa o Mundo Antigo considerou de maior calidade: Esquilo, Sófocles e Eurípides.

Esquilo: O Pai da Traxedia

Del coñecemos uns 80 títulos, aínda que só conservamos completas seis das súas obras:

• Os Persas (472 a.C.): única traxedia conservada de tema non mitolóxico.
• A triloxía chamada A Orestíada (458 a.C.), composta por Agamenón, As Coéforas e As Euménides.

Segundo parece, durante un tempo foi costume para os autores que se presentaban ó certame das Grandes Dionisíacas ofrecer tres traxedias de tema común, aínda que despois de Esquilo esta práctica foi menos frecuente.

A Xustiza Divina no

Operaciones Fundamentales con Vectores

Producto Escalar de Dos Vectores

El producto escalar entre dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{e}$ se define como: $$\vec{a} \cdot \vec{e} = |\vec{a}| \cdot |\vec{e}| \cdot \cos(\theta)$$ donde $\theta$ es el ángulo entre ellos.

Operaciones con Componentes

• Producto Escalar (Componentes): Si $\vec{u} = (a, b)$ y $\vec{v} = (c, d)$, entonces: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = a \cdot c + b \cdot d$$ El resultado es un **escalar (número)**.
• Módulo de un Vector: El módulo del vector $\vec{u} = (a, b)$ es: $$|\vec{u}| = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Argumento de un Vector

Para un vector $\vec{u} = (3, 4)$: $$\tan(\alpha) = \frac{4}{3} \implies \alpha = \arctan\left(\frac{4}{3}\right)$$

Proyección Vectorial

La proyección de $\vec{u}... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Geometría Analítica Vectorial y Rectas" »

Factoring

1-Una empresa entrega a una sociedad de Factoring una factura de 20.000 € más Iva del 21% con fecha de cobro dentro de 150 días para su cobro anticipado. La sociedad cobra una comisión del 0.25% con un mínimo de 8 euros y un interés anual del 9%. Calcular el efectivo que recibirá la empresa, así como el TAE.

d= 9%               n=150       

D=  =  = 907.5   

G = N* C%= (20.000*1.21)*0.25%= 60.5

Ec = N – D – G = (20.000*1,21) – 907.5 – 60.5= 23.232€

E_TAE = Ec + Com. Mínima = 23.232 + 8 = 23.240 euros

N = E_TAE è 24.200 = 23.240 i_tae = -1 = 0.1035= 10.35%

Suma

Como trabajo previo a la introducción del algoritmo de la suma, hay que haber trabajado:

• Cómo se cuentan los objetos
• Materiales: ábaco, bloques multibásicos, regletas Cuisenaire…

Proceso:

• Representar los sumandos
• Juntar
• Reagrupar (siguiendo las reglas del SND)
• Contar cada posición, escribir resultado.

• Estructura del SND (Sistema Numérico Decimal)
• Propiedades conmutativa y asociativa
• Combinaciones básicas: tablas de sumar.

Resta

Algoritmo de la Resta:

• Se escribe el minuendo y debajo el sustraendo de manera que las unidades de un mismo orden de los dos números queden situadas en la misma columna.
• Se traza una raya horizontal debajo del sustraendo.
• En la columna de la derecha:
  • Si la cifra del minuendo es mayor o igual que la del sustraendo, se restan

Utopia eta Distopia: Definizioa eta Historia

Utopiak aurkeztu diren gizarte perfektu edo idealak dira, batzuetan gauzagarriak diruditenak, eta, oro har, munduaren kritika bat adierazteko erabili izan direnak. Distopiak, berriz, utopiaren kontrakoak dira, hau da, utopia negatiboki ikusita daudenak. Utopia eta distopia kontrako terminoak dira, eta haien artean errealitatea dago; errealitate hori hoberantz joanez gero, utopiara hurbildu daiteke, edo okerrerantz badoa, distopiara. Horrela islatzen da “Jardin de las delicias” margolanean: erdian errealitatea aurkitzen da, eta alboetan utopia eta distopia, hau da, errealitatea hoberantz edo okerrerantz joanda. Utopia eta distopiaren artean nahasmena sortu da beti, utopiek elementu distopikoak... Continuar leyendo "Utopia eta Distopia: Kontzeptuak eta Adibideak" »

Funciones Matemáticas: Una Introducción

Una función es una relación entre dos variables. La primera es la variable independiente, que denominamos 'x', y la segunda es la variable dependiente, 'y'. Se cumple cuando a cada valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente.

Formas de Representar una Función

1. Forma de tabla: Se colocan los valores de la variable 'x' en una fila o columna de una tabla y los valores correspondientes de 'y' en la contigua.
2. Forma gráfica: Se representa la función en ejes cartesianos.
3. Forma analítica: Se relacionan las variables mediante una fórmula.

Dominio e Imagen de una Función

Dominio: Es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente 'x'.

Imagen: Es... Continuar leyendo "Entendiendo Funciones Matemáticas: Dominio, Tipos y Representación" »