Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

¿Qué es el Álgebra?

El Álgebra es una rama fundamental de las matemáticas que se encarga del estudio de la combinación de elementos de estructuras abstractas, utilizando letras y símbolos para representar números y cantidades.

Padre de las Matemáticas

El padre de las matemáticas es Al-Juarismi (Abu Abdallah Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi), un matemático, astrónomo y geógrafo persa del siglo IX, cuyas obras fueron fundamentales para el desarrollo del álgebra y los algoritmos.

Clasificación de los Números

Los números se clasifican en diferentes conjuntos, cada uno con propiedades específicas:

• Números Imaginarios: Son aquellos que resultan de la raíz cuadrada de un número negativo. Se representan con la unidad imaginaria i (donde

Nombres Racionals i Propietats Fonamentals

Nombres Racionals

Tot nombre racional s'expressa de manera única per un nombre decimal que és exacte o periòdic.

La proporció (1 + arrel quadrada de 5) / 2 relaciona la longitud del costat gran amb la longitud del costat petit (proporció àuria).

Propietats de la Suma

• Associativa: (a + b) + c = a + (b + c)
• Commutativa: a + b = b + a
• Existència d'element neutre (0): a + 0 = a
• Existència d'element simètric (l'element oposat -a): a + (-a) = 0

Propietats de la Multiplicació

• Associativa: (a * b) * c = a * (b * c)
• Commutativa: a * b = b * a
• Existència d'element neutre (1): a * 1 = a
• Existència d'element simètric (l'element invers 1/a, si a ≠ 0): a * (1/a) = 1
• Distributiva de la multiplicació respecte a

P1. Cálculo de Días de Operación de Excavadora

Se pide hallar la cantidad de días de operación de una excavadora para mover un material en estado suelto, el cual conformará una base que, en su forma compacta, tendrá las siguientes dimensiones: base mayor de 9.50 m, base menor de 6.50 m, espesor de 0.30 m, y longitud de 3.75 km. El factor de compactación (F.C.) es 1.38. Los datos adicionales son:

Terreno:

• 50% tierra
• 50% roca

Maquinaria:

1. Tiempo de maniobra: 35 segundos
2. Factor de llenado (F.LL.) típico de material con partículas mayores a 12 mm
3. Tiempo contributorio: 13 minutos
4. Disponibilidad mecánica: 0.885
5. Capacidad del cucharón: 3.26 m³

Solución:

Primero, calculamos el volumen compactado (Vc) del material:

Vc = (9.50 + 6.50) / 2 * 0.30 * 3750... Continuar leyendo "Cálculo de Días de Operación de Maquinaria para Movimiento de Tierras" »

Propiedades de las Circunferencias

Si dos circunferencias son tangentes, el punto de tangencia está en la recta O₁O₂.

Si una recta es tangente a una circunferencia, el punto de tangencia está en la perpendicular a r trazada por O.

Si una circunferencia pasa por dos puntos, su centro está en la mediatriz del segmento que une dichos puntos.

Si una circunferencia es tangente a dos rectas, su centro está en la bisectriz del ángulo que forman dichas rectas.

Teorema de Thales

Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Definiciones Básicas

La bisectriz de un ángulo es una semirrecta que divide al ángulo en dos partes... Continuar leyendo "Conceptos Geométricos Fundamentales" »

Formulari de Matemàtiques

Gràfiques:

• Continuïtat: Una funció és contínua en un punt a si: f(a) = lim_x→a^- f(x) = lim_x→a⁺ f(x)
• Discontinuïtat de salt finit: lim_x→a^- f(x) ≠ lim_x→a⁺ f(x) ≠ f(a)
• Discontinuïtat de salt infinit: Un o ambdós límits laterals són infinits.
• Discontinuïtat evitable: lim_x→a^- f(x) = lim_x→a⁺ f(x) ≠ f(a)

Asímptotes:

• Asímptota Vertical (A.V.): lim_x→a f(x) = ±∞
• Asímptota Horitzontal (A.H.): lim_x→∞ f(x) = b (on b és un nombre finit)
• Asímptota Obliqua (A.O.):
  • m = lim_x→∞ (f(x) / x)
  • n = lim_x→∞ (f(x) - mx)
  • Equació de l'asímptota obliqua: y = mx + n

Teoremes:

• Teorema de Bolzano: Si f(x) és contínua en [a, b] i f(a) * f(b) < 0 (signes diferents), llavors existeix almenys un c ∈ (a, b)

Filosofia política

Nicolau Maquiavel.

No explica com hauria de ser un estat ideal.

Descriu com haurien de ser les tasques del govern i quina hauria de ser la política per a conservar la seguretat de l’Estat.

Objectiu principal de qualsevol sistema polític ha de ser conservar el benestar de l’estat.

• Per aconseguir-ho el príncep ha de tenir poder sobre el territori per a que ningú li pugui plantar cara.

• “El fi justifica els mitjans” (Napoleó)

• Maquiavel creu que els humans són egoistes i que només busquem el nostre propi profit i benefici. (Per aquest motiu el príncep no es pot fiar de ningú)

Thomas More i les utopies

• Obra més destacada → L’illa d’Utopia 

En aquesta illa descriu una societat perfecta, ideal, justa i igualitària.... Continuar leyendo "Filosofia política: Nicolau Maquiavel i Thomas More" »

Errusiako Iraultza mundu osoko historian garrantzi erabakigarria izan zuen. Errusia historiako lehen erregimen komunista izatera heldu zen. Iraultza oso bizkorra eta erradikala izan zen. Gerra zibil odoltsu baten ondorioz Leninek Sobietar Estatu berria sendotu egin zuen, Lenin hil zenean, 1924-an Stalinek planifikazio berria ezarri egin zuen, erregimen totalitario oso gogorra ere ezarri zuen.

Erregimen Tsarista

Tsarismoa erregimen autokratikoa izan zen, botere absolutuak zituen tsar batek gidatuak eta eredu sozioekonomikoa tradizionaletan oinarrituta.

Errealitate Ekonomikoa

Antzinako laborantzan oinarritzen zen Errusiako Inperioko jarduera ekonomikoa. Errusia herrialde atzeratua zen oso lehiakortasun txikikoa.

Errealitate Soziala

Gizarte errusiarra... Continuar leyendo "Errusiako Iraultza" »

Ciencia

Conjunto de conocimientos ordenados y establecidos por razonamiento

Características de la Ciencia

Comprobable, Sistemática y Falible

Clasificación

Formal - Ideas y Razonamiento - matemáticas y lógica

Factual - Hechos y Observación - Naturales y sociales

Método Científico

Procedimiento que nos indica de manera ordenada para obtener conocimiento

Elegir Tema, Observación, Hipótesis, Investigación del Tema, Experimentación, Análisis de Datos, Confrontación de Hipótesis, Conclusiones.

MEDIR

Comparar la cantidad desconocida que queremos determinar, con otra cantidad que ya conocemos.

MAGNITUD

Cantidad medible de un sistema físico.

U. DE MEDIDA

Es una cantidad estandarizada de una determinada magnitud física

Sistema MKS

Utiliza unidades fundamentales,