Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Conceptos Fundamentales de Estadística

Definiciones Clave en Estadística

Estadística: Es la disciplina que estudia los métodos científicos para la recolección, organización, presentación, análisis e interpretación de datos, con el fin de sacar conclusiones válidas y tomar decisiones razonables basadas en dicho análisis.

Estadística Descriptiva: Se encarga de describir, resumir y analizar las características principales de un conjunto de datos, obteniendo conclusiones sobre las propiedades de dicho conjunto y sus relaciones.

Estadística Inductiva (o Inferencial): Permite inferir o generalizar las características de una población a partir de los resultados obtenidos del análisis de una muestra representativa de la misma.

Población:

DE ENTRE TODAS LAS RECTAS DEL PLANO QUE PASAN POR EL PUNTO (1, 2), ENCUENTRA AQUELLA QUE FORMA CON LAS PARTES POSITIVAS DE LOS EJES COORDENADOS UN TRIÁNGULO DE ÁREA MÍNIMA. HALLA EL ÁREA DE DICHO TRIÁNGULO.

Es un problema de optimización.

La ecuación en forma explícita de una recta r en el plano es y = mx + n.

Como corta en la parte positiva de los ejes coordenados, la gráfica de la recta es como la de la figura con lo cual la pendiente m es negativa.

Como pasa por el punto C(1,2) tenemos 2 = m + n, de donde n = 2 – m, y la recta queda en la forma

y = mx + (2 – m)

El corte de la recta con el eje OX es el punto B que se obtiene haciendo y = 0, de donde mx = m – 2, con lo cual x = (m – 2)/m, y el punto tiene de coordenadas B(... Continuar leyendo "Optimización de Áreas y Volúmenes: Ejemplos y Resolución de Problemas" »

Conceptos Fundamentales de Matemáticas

Función Cuadrática

Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas de segundo grado, cuya gráfica es una parábola.

Método de Sustitución para Ecuaciones

Este método se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones y consta de los siguientes pasos:

1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Método de Reducción para Ecuaciones Lineales

El último de los métodos analíticos que vamos a aprender a... Continuar leyendo "Conceptos Clave en Matemáticas, Geometría y Psicología" »

Propiedades de los estimadores

Si un estimador es insesgado, su ECM coincide con la varianza

La media muestral es un estimador insesgado de la media poblacional

La Sc2 es un estimador insesgado de la varianza poblacional

Un estimador es consistente cuando n → infinito, su distribución se concentra en un único valor

La consistencia es una propiedad asintótica

Dos estimados insesgados, más eficiente, el menor varianza

Dos estimadores sesgados, preferimos el de menor ECM

Estimador máximo verosímil

Es el que se hace a partir de la muestra/más probable el observado

Distribución Sc2 (n -1)/sigma2 x Sc2

Distribución normal N (u, sigma/raiz n)

Intervalo al B%

Es un intervalo obtenido a partir de la muestra, donde confiamos que se encuentre el parámetro

Un... Continuar leyendo "Propiedades de los estimadores y conceptos estadísticos" »

La llengua ens permet expressar les nostres necessitats i opinions. Hi ha una íntima relació entre llengua i societat: la llengua ens fa evolucionar en societat, i la societat funciona mitjançant l'ús de la llengua. La situació sociolingüística del valencià és fràgil. La realitat és que la major part de la població utilitza el castellà com a llengua vehicular.

Això ens porta a anomenar el valencià com 'llengua minoritzada', amb una quantitat important de parlants però amb unes condicions politicosocials inferiors al castellà. A més, hi ha un conflicte lingüístic entre ambdues, la qual cosa ens du a parlar de diglòssia. En aquest cas, el castellà és una llengua prestigiada, amb presència en tots els àmbits d'ús i el... Continuar leyendo "La situació sociolingüística del valencià" »

Lagrange-ren Teorema

Funtzio bat baldin bada:

1. Jarraitua [a,b] tartean: f(1) = lim f(x)
2. Deribagarria (a,b) tartean: f´(1-) = f´(1+)

Orduan, existitzen da c ∈ (a,b) puntu bat (edo gehiago) non f´(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a) betetzen den.

Grafikoki, puntu bat dago non zuzen ukitzailea sekantearen paraleloa den.

Rolle-ren Teorema

Aurreko baldintzez gain, f(a) = f(b) betetzen bada, orduan existitzen da c ∈ (a,b) non f´(c) = 0 den.

Grafikoki, puntu bat dago non zuzen ukitzailea abzisa-ardatzarekiko paraleloa den.

Parametroak

• P(a,b) puntua: f(a) = b
• Minimoa edo maximoa x = 3 puntuan: f´(3) = 0
• Inflexio-puntua x = 3 puntuan: f´´(3) = 0
• Muturra x = 10, y = 8 puntuan: f(10) = 8 eta f´(10) = 0
• Ukitzailea x = 5 puntuan: f´(5) = m

Adierazpen Grafikoa

• Izate-

Derivació de funcions de funcions

Derivació de funcions de funcions.

Exemples de derivació

1) Derivar la funció: y = ln (1 + x + 3x²).

Fem:

u = (1 + x + 3x²) ➔ y = ln u

Aleshores:

y' = ^dy⁄_du = ¹⁄_u

^du⁄_dx = 1 + 6x

Per tant:

^dy⁄_dx = ^dy⁄_du · ^du⁄_dx = ¹⁄_{(1 + x + 3x²)} · (1 + 6x)

2) Derivar la funció: y = √(1 + 4x + 5x²) ➔ Fem: √U.

Si fos √U, la seva derivada seria:

¹⁄_(2·√U) = ¹⁄_{(2·√(1 + 4x + 5x²))}

La qual haurem de multiplicar per la derivada de la quantitat subradical:

y' = ¹⁄_{(2√(1 + 4x + 5x²))} · (4 + 10x) = ^{(2 + 5x)}⁄_{√(1 + 4x + 5x²)}

3) Derivar: y = ln(x + √(a² + x²)). La derivada d'un logaritme és: ¹⁄_{(x + √(a² + x²))}

Multiplicant per la derivada de la funció que segueix al "ln", que és alhora una funció... Continuar leyendo "Derivació de Funcions: Regles i Exemples" »

Este documento presenta una colección de ejercicios resueltos de derivación, aplicando las reglas fundamentales del cálculo diferencial. Cada problema ilustra la aplicación de una o varias reglas de derivación, como la regla del cociente, la regla del producto, la regla de la cadena y la regla de la potencia, con sus respectivas soluciones paso a paso.

Regla del Cociente

La regla del cociente se utiliza para derivar funciones que son el cociente de dos funciones diferenciables. Si f(x) = u(x)/v(x), entonces su derivada es:

  d   u   v du/dx − u dv/dx
  — ( — ) = —————————
  dx  v         v²

Problema 1: Derivada de una Función Racional

  d   c²+x²
  — (—————)
  dx  −c²+x²

Aplicando la regla del... Continuar leyendo "Dominando las Derivadas: Ejercicios Resueltos de Cálculo Diferencial" »

Sea la función f(x)= 3elevado a x si x≤1 ; x2-6x +8 si x>1

A) Estudiamos la continuidad en x =1. F(1)= 3 ;
luego lim de x tiende a 1 por la izquierda (3 elevado a x) = 3. Lim de x tiende a 1 por la derecha de (x2 -6x+8) =3. F(1)= lim de x tiende a 1 de f(x)=3. Luego es continua en R. Calculamos la función derivada:
F’(x)= 3 elevado a x por ln 3 si x<1 ;="" 2x-6="" si="" x="">1. F’(1izquierda) = 3 ln 3. F’(1derecha) = 4. No son iguales, por lo tanto no es derivable en x=1. B) La ecuación de la recta tangente es: y - f (3) = f ' (3) ( x - 3) ; f(3) = -1 ; f’(3) = 0. Sustituyendo, tenemos: y - (-1) = 0 (x-3) ; y= -1.

Sea la función f(x)= x3 -1

a) Corte con el eje X ; y= 0 ; x3 -1= 0 ; x=1 ; (1,0). Corte con el eje Y ; x=0... Continuar leyendo "Calcule la ecuación dela recta pasa por (3,1)y (-2,-3) es F x Creciente" »