Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Análisis de Funciones: Continuidad, Derivabilidad y Optimización

Continuidad y Derivabilidad de Funciones Definidas a Tramos

Función f(x):

Sea la función definida por tramos:

• f(x) = x³ - x² + 2, si -1 ≤ x ≤ 0
• f(x) = x² - 4x + 5, si 0 < x ≤ 1

Análisis en x = 0

Continuidad:

Para que f(x) sea continua en x = 0, debe cumplirse que f(0) = lim_x→0^- f(x) = lim_x→0⁺ f(x).

• f(0) = (0)³ - (0)² + 2 = 2
• lim_x→0^- f(x) = lim_x→0^- (x³ - x² + 2) = (0)³ - (0)² + 2 = 2
• lim_x→0⁺ f(x) = lim_x→0⁺ (x² - 4x + 5) = 0 - 0 + 5 = 5

Como los tres valores no son iguales, la función f(x) no es continua en x = 0, y por lo tanto, tampoco es derivable en x = 0.

Función h(x):

Sea la función definida por tramos:

• h(x) = -x² + x + 2, si -1 < x ≤ 0
• h(x) = -x² - x + 2,

Números Complejos: Conceptos y Operaciones

La unidad imaginaria i se define como: i² = -1, lo que implica que i = √-1.

Las potencias de i siguen un ciclo de cuatro:

• i⁰ = 1
• i¹ = i
• i² = -1
• i³ = -i
• i⁴ = 1

En general, para cualquier entero n:

• i⁴ⁿ = 1
• i^(4n+1) = i
• i^(4n+2) = -1
• i^(4n+3) = -i

Conjugado y Opuesto de Números Complejos

Opuesto

El opuesto de un número complejo z = a + bi es -z = -a - bi. Se cambian los signos de ambas partes (real e imaginaria).

Conjugado

El conjugado de un número complejo z = a + bi se denota como z̄ = a - bi. Se cambia únicamente el signo de la parte imaginaria.

Representación Gráfica de Números Complejos

En el plano complejo, el eje real corresponde al eje horizontal y el eje imaginario al eje vertical.

Resolución

OA 22 - Eje Medición - 3° Básico

Demostrar que comprenden la medición del peso (g y kg):

Comparando y ordenando dos o más objetos a partir de su peso de manera informal.

Indicadores:

• Eligen objetos de su entorno para utilizarlos para determinar el peso de objetos de uso cotidiano.
• Comparan objetos de uso cotidiano, utilizando una balanza.
• Estiman el peso de frutas, útiles, mascotas, animales, usando un referente, y fundamentan su elección.
• Explican cómo funciona una balanza.
• Relacionan objetos del entorno y animales de acuerdo con su peso y fundamentan la solución.
• Calculan el peso de objetos a partir de datos conocidos del peso de unidades de un objeto (g o kg), utilizando un patrón.
• Relacionan medidas de poco y de mucho peso con respecto

Ontogenesia eta filogenesia

Ontogenesia: Izaki bizidunak etengabe aldatzen dira, baina aldaketa hori bi motatakoa izan daiteke. Banako bakoitzaren eraldaketak jaio aurretik hasi eta heriotzara arte jarraitzen du. Adibidez, arrautzatik hegazti heldura arteko garapena ontogenesiaren adibide bat da.

Filogenesia: Bereiztutako kontzeptuak edo espezieak denboran zehar aldatu direla adierazten du; espezie batzuek beste batzuk sortu dituzte.

Teoria fixista

Teoria fixista: ikuspegi honen arabera, izaki bizidunak finkoak dira eta ez dira aldatzen ("fixistak ez dira aldatzen"). Lehen azalpenek ez zuten filogenesia kontuan hartzen. Adibide historiko gisa, Aristotelesek ez zuen eboluzio-aldaketarik onartzen.

Antropogenesiaren prozesuak

Antropogenesiaren prozesuak... Continuar leyendo "Giza eboluzioa: Ontogenesia eta Antropogenesia" »

Teoría

Weierstrass

La matemática se apoya en la geometría y el álgebra. El cálculo infinitesimal, desarrollado en gran medida por Weierstrass, revolucionó la forma en que entendemos las funciones y sus propiedades.

En 1872, su discípulo Paul du Bois-Reymond publicó un teorema sobre funciones continuas que no tenían derivada en ciertos puntos. Este teorema desafió la creencia común de que una función continua siempre tenía derivada en todos sus puntos.

La continuidad de una función se entendía intuitivamente como la capacidad de trazar su gráfica sin despegar el lápiz del papel. Sin embargo, Weierstrass demostró la continuidad en un lenguaje analítico, sin necesidad de imágenes geométricas.

Este enfoque analítico proporcionó... Continuar leyendo "Teorema de Weierstrass: Funciones Continuas y Derivabilidad" »

Operaciones Básicas y Propiedades

Cualquier cantidad operada con cero o consigo misma presenta las siguientes propiedades:

• x / 0 = ∞ (Indefinido)
• 0 / x = 0
• x / x = 1

Operaciones de Resta

Ejemplos de sustracción con números positivos y negativos:

• -6 - 3 = -9
• -5 - (-3) = -2
• 4 - 12 = -8
• -3 - 6 = -9
• 8 - (-2) = +10
• 6 - 4 = +2
• -5 - (3) = -8

Operaciones de Suma

Ejemplos de adición con diferentes signos:

• -6 + 3 = -3
• +5 - (-3) = +8
• -5 + (3) = -2
• +3 - 6 = -3
• 5 + 7 = +12

Ecuaciones y Funciones

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones que contiene una o más variables.

Gráfica de Funciones

Para identificar los puntos de intersección en una gráfica:

• Cuando la gráfica corta al eje x, entonces y = 0.
• Cuando la gráfica corta al eje y, entonces x = 0.

Si en una... Continuar leyendo "Fundamentos de Geometría Analítica y Álgebra para Estudiantes" »

Funciones condicionales (SI)

A continuación se presentan ejemplos de uso de la función SI y combinaciones con Y / O. Se asume que la columna B corresponde al PIB, la columna C a los productos y la columna D a las ventas de productos. Se han corregido errores de sintaxis y ortografía manteniendo el contenido original.

1. IF

Descripción: Si el PIB (B2, primer PIB) es menor o igual a 6771, dividir el PIB entre las ventas de productos; de lo contrario calcular el promedio del PIB.

=SI(B2<=6771;B2/D2;PROMEDIO($B$2:$B$12))

2. IFIF (SI anidado)

Descripción: Cuando el PIB (columna B) es menor que 4321, sumar el PIB (columna B) y las ventas de productos (columna D); de lo contrario, cuando sea menor que 6552, a las ventas de productos réstale el... Continuar leyendo "Funciones condicionales, estadísticas y financieras en Excel: ejemplos y fórmulas" »

Sea la función definida por f(x) = x2/2 si x ≤ 0 ; x3 -4x2 si 0 < x="" ≤="" 4="" ;="" 1="" -="" 4/x="" si="" x="">4

a) La función x2 /2 es una función polínómica luego es continua y derivable en todo R, en particular en x < 0.="" la="" función="" x3="" -x2="" es="" una="" función="" polínómica="" luego="" es="" continua="" y="" derivable="" en="" todo="" r,="" en="" particular="" en="" 0="">< x="">< 4.="" la="" función="" 1-4/x="" es="" una="" función="" racional="" luego="" es="" continua="" y="" derivable="" en="" todo="" r-="" {0},="" en="" particular="" es="" continua="" y="" derivable="" en="" x=""> 0. Falta estudiar la continuidad y derivabilidad en x = 0 y x = 4. Lim de x tiende a 0 por la izquierda... Continuar leyendo "Ejercicios resueltos de funciones: continuidad, derivabilidad y optimización" »

Metròpolis i Conseqüències de l'Imperialisme

Les principals metròpolis eren: Britàniques, Franceses, Portugueses, Italianes, Alemanyes, Belgues i Americanes.

Metròpolis i Colònies Principals

• Britàniques: Egipte, Sudan, Uganda, Unió Sud-Africana, Índia, Birmània, Malàisia.
• Franceses: Àfrica Occidental, Madagascar, Gabon, Indoxina.
• Portugueses: Angola, Moçambic, Guinea, Timor.
• Italianes: Líbia, Eritrea, Somàlia.
• Alemanyes: Àfrica del Sud-oest i Central, Camerun, Togo.
• Belgues: Congo.
• Americanes: Abissínia, Libèria, Filipines.

Impacte de l'Imperialisme

L'imperialisme va tenir com a conseqüències la pèrdua d'identitat dels pobladors indígenes i va implantar els patrons de conducta, l'educació i la mentalitat dels colonitzadors.

Aculturació

Conceptos Fundamentales de Estadística

Estadística

Recolección de información y conjunto de procedimientos para hacer inferencias y transmitir un resultado.

Estadística Inferencial

Generación de modelos inferenciales y predicciones asociados a los fenómenos en cuestión. Estas inferencias pueden tomar la forma de respuestas a preguntas (prueba de hipótesis), estimaciones de características numéricas o pronósticos de futuras observaciones.

Descriptores Numéricos

Media y desviación estándar.

Estadística Matemática

Bases teóricas de la materia.

Cultura Estadística

Conjunto de habilidades estadísticas básicas que una persona necesita para manejar información en el día a día.

Inferencia (Experiencia)

De lo particular a lo general. Se... Continuar leyendo "Fundamentos de Estadística: Conceptos Clave y Aplicaciones Prácticas" »