Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Operaciones Fundamentales con Vectores

Cálculo de Ángulos entre Vectores

El coseno del ángulo (θ) entre dos vectores v1=(x1, y1, z1) y v2=(x2, y2, z2) se calcula mediante la fórmula del producto escalar:

cos(θ) = (v1 · v2) / (|v1| * |v2|)

• Donde v1 · v2 = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2 (producto escalar).
• Y |v| = √(x² + y² + z²) (módulo del vector).

Producto Escalar

Para determinar si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar debe ser cero.

Producto Vectorial

• Para hallar un vector perpendicular a otros dos vectores, se utiliza el producto vectorial.
• El área de un paralelogramo formado por los vectores AB y AC se calcula como el módulo del producto vectorial: Área = |AB x AC|.
• El área de un triángulo formado por los vectores AB y AC

Un centro comercial sabe en función de la distancia, en kilómetros, a la que se sitúe de un núcleo de población, acuden los clientes, en cientos, que figuran en la tabla:

1. Calcular el coeficiente de correlación lineal.

2. Si el centro comercial se sitúa a 2 km, ¿cuántos

clientes puede esperar?

3. Si desea recibir a 5 clientes,

¿a qué distancia del núcleo

Correlación negativa muy fuerte.

Posic. rel recta y plano. Forma 1. Hacer matriz y matriz ampliada. Si los 2 rangos=3: SCD,se cortan en un punto,recta secante al plano. Si los 2 rangos=2: SCI, recta contenida en el plano. SI rango M=2 y el de la ampliada =·3: SIncomp, recta y plano no se cortan,la recta es paralela al plano.  Forma 2 Sacar Pr (lo que no tiene parametro) Vr(lo que tiene parametro ) y n (x,y,z del plano) . Si Vr * N no es igual a 0 la recta es secante(se cortan), si es igual a 0 se sustituye PR por los valores de x,y,z en el plano, si la igualdad se cumple la recta pertenece al plano y la recta esta contenida en el plano, si no se cumple el punto es secante respecto a la recta. (Para Sacar punto de corte si es secante,sustituir parametros en el plano)/ Pos.

Ejercicios resueltos de álgebra y cálculo multivariable

1. Subespacio vectorial en R⁴

Considere el subespacio vectorial S de R⁴ dado por un sistema de ecuaciones. Encuentre una base de S y escriba sus ecuaciones paramétricas.

Solución:

Dimensión = n - número de ecuaciones cartesianas linealmente independientes (LI). Si una variable no aparece en las ecuaciones cartesianas, es un parámetro. Si aparece en ambas, también lo es. Se define S = {&, &, &, @} y, como la dimensión es 2, se buscan 2 vectores para la base.

2. Aplicación lineal en R²

La aplicación lineal f: R² -> R² es tal que f(1, 0) = (1, 1) y f(0, 1) = (0, -1). Exprese la matriz de dicha aplicación y su matriz semejante referida a una base de autovectores.

Solución:

Ejercicios de Matemáticas: Optimización, Probabilidad y Sistemas de Ecuaciones

Ejercicio 1: Optimización de Lámparas

Sopranos y Mezzos

Restricciones:

• x + y + z = 15
• 20x + 30y ≥ 6000 (Simplificado: 2x + 3y ≥ 600)
• 20x + 10y (Simplificado: 2x + y)

Ejercicio 2: Optimización de Unidades Sueltas y Lotes

Unidades Sueltas

y - 2 = z - 1

Lotes de 4

x + 4y

x+3y

Beneficio: B(x) = -x² + 360x - 18000

A) Calcular el beneficio para 100 unidades.

1. Sustituir x = 100 en B(x).

¿Cuántas unidades se han vendido si el beneficio diario es de 13500?

1. Igualar 13500 = -x² + 360x - 18000.

B) Número de unidades para beneficio máximo. ¿A cuánto asciende el beneficio?

1. Derivar B(x).
2. Igualar la derivada a 0.
3. Calcular B(180) y hacer un boceto.

C) ¿Cuántas unidades hay que vender

=Angela Davis, 1944 jaioa politikari marxista, filosofia irakaslea eta Pantera Beltzen jarraitzailea

•Umetatik ezagutu zuen beltzen kontrako indarkeria •Pantera Beltzen mugimendukoan zebilela, Kaliforniako Unibertsitatetik bota zuten, filosofia irakasle zela •AEBetako Alderdi Komunistan sartuta zegoelako. 1972an Soledad Stateko kartzelan izandako hilketa batzuekin harremandu zuten

•

•Mundu osoan izan kasua ezagun egin eta ez zuten kondenatu. 1973an absolbitu egin zuten

BELTZEN BAZTERKERIAREN KONTRAKO MUGIMENDUAREN BALANTZEA

•Lege-aurrerapausoak (Kennedyren garaian eskubide zibilen legea prestatu zen, Johnson garaian onetsi zena) baina horrek nabarian utzi zuen legedi eta errealitatearen arteko aldea

•

•Getoak eta beltzen pobrezia

Las estaturas y pesos de 10 jugadores de baloncesto de un equipo son:

Estatura (X)Peso (Y)

1868518985
1908619290
1938719391
19893201103
203100205101

Calcular:

1 La recta de regresión de Y sobre X.

2 
El coeficiente de correlación.

3 
El peso estimado de un jugador que mide 208 cm.

Xiyixi²yi²xi ·yi

1868534 5967 22515 8101898535 7217 22516 065
1908636 1007 39616 3401929036 8648 10017 280
1938737 2497 56916 7911939137 2498 28117563
1989339 2048 64918 41420110340 40110 60920 703
20310041 20910 00020 30020510142 02510 20120 705

1 950

921

380 618

85 255

179 971

Correlación positiva muy fuerte.