Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Introducción a los Procedimientos Estadísticos en SPSS

En SPSS podemos utilizar diferentes procedimientos para obtener estadísticos y gráficos. La mayoría se encuentran en los menús Estadísticos Descriptivos y Gráficos.

Estadísticos Descriptivos con SPSS

Utilizaremos el procedimiento Frecuencias del menú Estadísticos Descriptivos para obtener una descripción de las variables cualitativas de la matriz de datos.

Vamos ahora a describir el procedimiento de SPSS para obtener estadísticos descriptivos de variables cuantitativas. Seleccionamos nuevamente Estadísticos Descriptivos del menú Analizar.

Naturaleza de los Datos

Distribución Normal o Paramétrica

Distribución normal o paramétrica

Distribución No Paramétrica

Distribución no paramétrica

Pruebas

Sea la función f ( x ) = xcubo -24xcuadrado +4x

a) Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero: f ''(x) = 6x - 48 = 0 ; x = 8, que no está en su dominio. La función es cóncava en el intervalo (-∞,8) y convexa en el intervalo (8,+∞). Tiene un punto de inflexion en (8, -992). B) La ecuación de la tangente es: y -f(-2) = f’(-2)(x+2). F(-2)= (-2)cubo -24(-2)
cuadrado + 4(-2) = -112. F’(x)= 3xcuadrado - 48x +4 ; f’(-2)= 12+96+4=112. Sustituyendo, tenemos que: y -f(-2) = f’(-2)(x+2) ; y+112= 112(x+2) ; y=112x +112. C) Calculamos la primera derivada. F’(x)= 3xcuadrado -48x +4 ; f’(1)= 3(1)cuadrado -48 por 1+ 4= -41<0. Es="">0.> Derivadas:
f(x) = (x2 -5)cubo/3-xcuadrado = f’(x) = 3(x2-5)cuadrado por 2x (3-x2)... Continuar leyendo "Optimización de Funciones y Cálculo de Derivadas en Problemas de Cálculo" »

1. La diversitat lingüística

Aproximadament, hi ha entre 6.000 i 6.800 llengües al món. Es preveu que al segle XXI desapareixeran 2.000 llengües.

2. Classificació de les llengües

Es classifiquen segons criteris lingüístics i criteris d'ús.

2.1 Criteris lingüístics

2.1.1 Classificació genètica

Es basa en la noció de parentiu lingüístic. Una família lingüística és el conjunt de llengües que presenten un origen comú i comparteixen característiques lèxiques i estructurals. Es creu que una llengua no documentada (l'indoeuropeu) va ser la que va originar totes les altres.

2.1.2 Classificació tipològica

Es basa en les similituds estructurals, és a dir, en la manera de formar unitats lingüístiques. S'agrupen en tres grups:

• Llengües

1. Verdadero o Falso: Conceptos Fundamentales

• (V) En la función f(x) = 2x + 3, la gráfica es una línea recta y su pendiente es m = 2.
• (F) Todas las funciones trigonométricas son continuas. Nota: Pueden ser discontinuas.
• (F) En todas las funciones, el término independiente (que no tiene "x") representa la ordenada en el origen. Nota: En algunas representa la pendiente.
• (V) La gráfica de una función cuadrática puede ser abierta hacia arriba o hacia abajo.
• (F) Una función polinómica puede ser continua o discontinua. Nota: Solo puede ser continua.
• (F) En una función constante, la variable dependiente (y) adopta diferentes valores dependiendo del valor de la variable independiente (x). Nota: Tiene solo una variable.
• (V) La función f(x) = sen(

Problema 1: Determinación de Parámetros y Estudio de una Función por Tramos

Se nos presenta la función definida por tramos:

f(x) = ax² - 2x si x ≤ 2

f(x) = x/2 - b si x > 2

a) Cálculo de los Parámetros 'a' y 'b'

Para que la función f(x) sea continua en ℝ, debe ser continua en el punto de unión x = 2.

• La función f(x) = ax² - 2x es continua en ℝ, en particular para x ≤ 2.
• La función f(x) = x/2 - b es continua en ℝ, en particular para x > 2.

La condición de continuidad en x = 2 implica que f(2) = lim (x→2⁻) f(x) = lim (x→2⁺) f(x).

• Calculamos el valor de la función y el límite por la izquierda: f(2) = lim (x→2⁻) (ax² - 2x) = a(2)² - 2(2) = 4a - 4.
• Calculamos el límite por la derecha: lim (x→2⁺) (x/2 - b)

Secciones Cónicas: Definiciones y Lugares Geométricos

Elipse

• Definición: Lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante.
• Propiedad 2: Lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la focal de centro el otro foco.
• Circunferencia focal: Tiene su centro en un foco y su radio es la constante k (2a = AB). Existen dos.
• Circunferencia principal: Lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las infinitas tangentes a la elipse. Su centro es el de la elipse y su radio es el semieje mayor (oa).

Hipérbola

• Definición: Lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a otros dos puntos fijos

Problema 1

Sea P(t) el porcentaje de células, de un determinado tejido.

a) Continuidad en t=5

Estudiamos la continuidad solo en t=5, ya que t² es continua en R y en particular en 0 ≤ t ≤ 5; y la función (100t - 250) / (t + 5) es continua en R - {-5} y en particular en t > 5.

lim (x → 5^-) de t² = 25.

lim (x → 5⁺) de (100t - 250) / (t + 5) = 25.

Igualamos los límites: P(5). Es continua.

b) Derivabilidad en t=5

Calculamos la función derivada:

P'(t) = 2t si 0 < t < 5

P'(t) = 750 / (t+5)² si t > 5

P'(5^-) = 10.

P'(5⁺) = 7.5.

No son iguales. No es derivable en t=5.

c) Monotonía

Estudiamos la monotonía.

2t = 0 ; t = 0. La función es creciente en 0 ≤ t ≤ 5, ya que P'(1) = +. En t = 0 tiene un mínimo absoluto o relativo.

750 / (t+5)² =... Continuar leyendo "Análisis de Continuidad, Derivabilidad y Monotonía de Funciones" »

Intervalo de Confianza para la Diferencia de Medias

a) Obtener el Intervalo de Confianza del 95% para la Diferencia de Medias

X: Gasto anual en euros de un corredor madrileño en carreras populares.

Y: Gasto anual en euros de un corredor valenciano en carreras populares.

Asumiendo independencia entre X e Y, es decir, que el gasto de un corredor madrileño no tiene relación con el de uno valenciano, y que los respectivos tamaños muestrales, n_x=300 y n_Y=250, pueden considerarse que:

Por lo tanto, el intervalo de confianza (1-α) para μ_X-μ_Y es:

donde Z_α/2 es el cuantil de la distribución N(0,1) que deja a su derecha una probabilidad igual a α/2.

Así, (sustituir la fórmula por datos) es el intervalo de confianza del 95% para μ_X-μ_Y, habiendo... Continuar leyendo "Intervalo de Confianza para la Diferencia de Medias: Corredores Madrileños vs. Valencianos" »

Conceptos básicos

1. ¿Qué entiendes por lugar geométrico?

Respuesta: Conjunto de puntos para los que se cumplen las mismas propiedades geométricas. Se puede expresar de forma verbal, mediante una ecuación o de forma gráfica.

2. ¿Qué es una pareja ordenada?

Respuesta: Es una forma de identificar un punto en el plano mediante un par (x, y), donde x es la abscisa y y la ordenada.

Ejercicios y explicaciones

Ejercicio 1. Uso del plano cartesiano: características

Utilizando un plano cartesiano, identificar sus características considerando:

• a) Cuadrantes: I (x>0, y>0), II (x<0, y>0), III (x<0, y<0), IV (x>0, y<0).
• b) Signo de las parejas ordenadas: según el cuadrante donde se encuentren.

Ejercicio 2. Obtener el lugar geométrico

Análisis de la función f(x) = 2x² - (1/3)x³

a y b) Calculamos la derivada de la función y la igualamos a cero:

f’(x) = 4x - x² = 0 ; x = 0 ; x = 4.

La función es creciente en (0, 4) y decreciente en (-∞, 0) U (4, ∞). Tiene un máximo en (4, 32/3) y un mínimo en (0, 0).

c) Igualamos la derivada a 4.

f’(x) = 4x - x² = 4 ; x = 2.

Luego el punto es (2, 16/3).

Cálculo de Derivadas

Función 1: f(x) = e^3x / (1 + x²)

f’(x) = [3 * e^3x * (1 + x²) - e^3x * (2x)] / (1 + x²)² = e^3x * (3x² - 2x + 3) / (1 + x²)²

Función 2: g(x) = ln(x(1 + 3x²)) = ln(3x³ + x)

g’(x) = (9x² + 1) / (3x³ + x)

Función 3: h(x) = 2^5x + 1/x²

h’(x) = 5 * 2^5x * ln(2) - 2/x³

Estudio de Rentabilidad de Inversión en Publicidad

En una empresa han hecho un estudio sobre la rentabilidad... Continuar leyendo "Optimización de Funciones: Derivadas, Rentabilidad y Continuidad" »