Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Repaso de Conceptos Clave en Cálculo y Álgebra Lineal

A continuación, se revisan afirmaciones sobre propiedades del cálculo diferencial y conceptos fundamentales del álgebra lineal, indicando su veracidad y proporcionando la justificación correspondiente.

Cálculo Diferencial: Propiedades de las Derivadas

1. Derivada de una Suma de Funciones

Dadas dos funciones $f(x)$ y $g(x)$, se cumple que $\frac{d}{dx} (f + g)(x) = \frac{d}{dx} f(x) + \frac{d}{dx} g(x)$.

• Verdadero. La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus derivadas individuales: $[f(x) + g(x)]’ = f’(x) + g’(x)$.

2. Derivada de un Producto de Funciones

Dadas dos funciones $f(x)$ y $g(x)$, se cumple que $\frac{d}{dx} (fg)(x) = [\frac{d}{dx} f(x)][\frac{d}{dx}... Continuar leyendo "Propiedades Fundamentales del Cálculo Diferencial y Álgebra Lineal" »

Problema 1: Estudio Completo de una Función Definida a Trozos

Sea la función $f(x)$ definida como:

$$f(x) = \begin{cases} (x+1)^2 & \text{si } x \le 1 \\ \frac{4}{x} & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

a) Estudio de la Continuidad y Derivabilidad

La función racional $g(x) = 4/x$ es continua y derivable en $\mathbb{R} - \{0\}$. Dado que en este tramo trabajamos con $x>1$, es continua y derivable. La función polinómica $h(x) = (x+1)^2$ es continua y derivable en $\mathbb{R}$.

Por lo tanto, solo es necesario estudiar la continuidad y la derivabilidad en el punto de unión $x=1$.

Continuidad en $x=1$

• Límite por la izquierda: $\lim_{x \to 1^-} (x+1)^2 = (1+1)^2 = 4$.
• Límite por la derecha: $\lim_{x \to 1^+} \frac{4}{x} = \frac{4}{1} =

Factorización: Casos y Ejemplos

Caso I: Factor Común

Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.

Factor Común Monomio

Factor Común por Agrupación de Términos

ab + ac + ad = a ( b + c + d)

ax + bx + ay + by = (a + b )( x + y )

Factor Común Polinomio

Primero hay que sacar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente) para luego operar; ejemplo:

ab - bc = b(a-c)

Caso II: Factor Común por Agrupación de Términos

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.... Continuar leyendo "Guía Práctica de Factorización: Casos y Ejemplos" »

Nombres Reals: Conceptes Fonamentals

Els nombres reals són un conjunt fonamental en matemàtiques que inclou tant els nombres racionals com els irracionals. A continuació, explorarem les seves definicions, propietats i operacions essencials.

Nombres Racionals (Q)

Són els nombres que es poden expressar com una fracció a/b, on a i b són nombres enters i el denominador b és diferent de 0. Matemàticament, es representen com:

Q = {a/b | a, b ∈ ℤ, b ≠ 0}

Valor Absolut d'un Nombre Real

El valor absolut d'un nombre real a, denotat com |a|, és el mateix nombre a si és positiu o zero, i el seu oposat si és negatiu. Es defineix com:

|a| = { a si a ≥ 0; -a si a < 0 }

Entorn de Centre a i Radi r

Un entorn de centre a i radi r és l'interval... Continuar leyendo "Nombres Reals: Conceptes Fonamentals, Propietats i Operacions Essencials" »

Análisis de Audiencia Radiofónica

El porcentaje de personas que sintonizan un programa de radio se modela mediante una función. Analicemos su comportamiento:

1. a) S(6) = 660 - 231 * 6 + 27 * 6² - 6³ = 30. Esto indica que al comenzar la emisión, un 30% de las personas sintonizan el programa.

   S(12) = 660 - 231 * 12 + 27 * 12² - 12³ = 48. Al cierre de la emisión, un 48% de las personas están sintonizando.

2. b) Para encontrar los puntos críticos, calculamos la derivada de la función y la igualamos a cero:

   S'(t) = -231 + 54t - 3t² = 0 ; t = 7 ; t = 11.

   Evaluamos S(t) para t = 6, 7, 11 y 12:

   S(6) = 30 ; S(7) = 23 ; S(11) = 55 ; S(12) = 48.

   El máximo de audiencia es del 55% y se alcanza a las 11 horas. El mínimo de audiencia es del 23% y se alcanza

Botere Politikoaren Jatorria eta Zilegitasuna

Zilegitasuna

Botere politikoa legitimoa ote den galdetzen badugu, ez dugu botere horrek zer jatorri duen jakin nahi. Fenomeno batek jatorri bat edo bestea izan, fenomeno hori ona edo txarra den galdetu behar dugu, fenomeno horrekin jarraitzea edo hobetzea komeni den ala ez galdetu behar da.

Filosofo gehienen arabera, botere politikoa ezinbestekoa da gizarteak behar bezala funtzionatzeko. Gainera, zenbat eta biztanle gehiago izan, orduan eta premiazkoagoa da. Baina botere politiko guztiak ez dira legitimoak. Irizpideak behar ditugu, zer den legitimoa eta zer ez bereizteko. Botere politikoa legitimoa den jakiteko, dagokion funtzioa ondo betetzen ote duen hartu behar da kontuan, herritar batek besteari... Continuar leyendo "Botere Politikoaren Jatorria, Zilegitasuna eta Estatu Modernoaren Oinarriak" »

Conceptos Fundamentales de Trigonometría

Definiciones Clave

Tangente: Segmento comprendido desde el punto A (1, 0) hasta la intersección de la prolongación del radio vector con la recta tangente a la circunferencia goniométrica en (1, 0). Se representa como AT = tg α.

Radián: Es la medida del ángulo cuyo arco comprendido mide lo mismo que el radio de la circunferencia.

Razones Trigonométricas de un Ángulo Agudo (0° a 90°)

Las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) de un ángulo agudo, α, se definen a partir de un triángulo rectángulo ABC:

Relaciones Trigonométricas Fundamentales

Entre las razones trigonométricas existen las siguientes relaciones fundamentales:

1. sen²x + cos²x = 1
2. tg x = sen x / cos x
3. 1 + tg²x = 1 / cos²x

Demostración

Validez de una Prueba Diagnóstica

Se define como la capacidad de la prueba para discriminar entre casos y no casos para una enfermedad determinada. Los indicadores de validez son:

• Sensibilidad: Probabilidad de que una medida clasifique correctamente a un individuo enfermo.
• Especificidad: Probabilidad de que una medida clasifique correctamente a una persona no enferma.
• Valor Predictivo Positivo (VP+): Probabilidad de que un individuo con un resultado positivo tenga la enfermedad en estudio.
• Valor Predictivo Negativo (VP-): Probabilidad de que un individuo con un resultado negativo sea una persona sana.
• Razón de Verosimilitud Positiva (RV+): Cociente entre la fracción de verdaderos positivos (sensibilidad) y la fracción de falsos positivos (1 -

Los beneficios de una empresa en sus primeros 8 años vienen dados, en millones de euros, por la función

a) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: B ‘(t) = 3t2/ 4 -6t + 9= 0 ; t=2 ; t=6. La función es creciente en el intervalo: (0,2) U (6,8) y decreciente en el intervalo: (2,6). Tiene un máximo relativo en el punto (2,8) y un mínimo relativo en (6,0). Calculamos los extremos absolutos.
Para ello vemos los valores que toma la función en los extremos del intervalo [0,8]. -B(0)= 0 ; -B(8)=8. Por lo tanto, el máximo absoluto es 8 y se alcanza para t=2 y t=8. El mínimo absoluto es 0 y se alcanza para t=0 y t=6. B) Hacemos la gráfica de la función: Viendo la gráfica, observamos que los beneficios crecen en los años... Continuar leyendo "Optimización de Funciones y Derivadas: Análisis y Aplicaciones" »

Problema 1: Estudio de Continuidad, Derivabilidad y Recta Tangente

Sea la función definida a trozos:

f (x) =

• 1/(2-x) si x < 1
• x² - 6x + 6 si x ≥ 1

a) Continuidad y Derivabilidad

La función racional 1/(2-x) es continua y derivable en ℝ - {2}. La función polinómica x² - 6x + 6 es continua y derivable en ℝ. Por lo tanto, solo necesitamos estudiar la continuidad y la derivabilidad en el punto de unión, x = 1.

Estudio de la Continuidad en x = 1:

• Límite de x cuando tiende a 1 por la izquierda de 1/(2-x) = 1.
• Límite de x cuando tiende a 1 por la derecha de x² - 6x + 6 = 1.
• Evaluación de la función en el punto: f(1) = 1² - 6(1) + 6 = 1.

Dado que el límite por la izquierda es igual al límite por la derecha y ambos son iguales a f(1), la... Continuar leyendo "Resolución de Problemas de Cálculo Diferencial: Funciones, Derivadas y Puntos Clave" »