Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Problema 1: Determinación de Parámetros y Estudio de una Función por Tramos

Se nos presenta la función definida por tramos:

f(x) = ax² - 2x si x ≤ 2

f(x) = x/2 - b si x > 2

a) Cálculo de los Parámetros 'a' y 'b'

Para que la función f(x) sea continua en ℝ, debe ser continua en el punto de unión x = 2.

• La función f(x) = ax² - 2x es continua en ℝ, en particular para x ≤ 2.
• La función f(x) = x/2 - b es continua en ℝ, en particular para x > 2.

La condición de continuidad en x = 2 implica que f(2) = lim (x→2⁻) f(x) = lim (x→2⁺) f(x).

• Calculamos el valor de la función y el límite por la izquierda: f(2) = lim (x→2⁻) (ax² - 2x) = a(2)² - 2(2) = 4a - 4.
• Calculamos el límite por la derecha: lim (x→2⁺) (x/2 - b)

Problema 1

Sea P(t) el porcentaje de células, de un determinado tejido.

a) Continuidad en t=5

Estudiamos la continuidad solo en t=5, ya que t² es continua en R y en particular en 0 ≤ t ≤ 5; y la función (100t - 250) / (t + 5) es continua en R - {-5} y en particular en t > 5.

lim (x → 5^-) de t² = 25.

lim (x → 5⁺) de (100t - 250) / (t + 5) = 25.

Igualamos los límites: P(5). Es continua.

b) Derivabilidad en t=5

Calculamos la función derivada:

P'(t) = 2t si 0 < t < 5

P'(t) = 750 / (t+5)² si t > 5

P'(5^-) = 10.

P'(5⁺) = 7.5.

No son iguales. No es derivable en t=5.

c) Monotonía

Estudiamos la monotonía.

2t = 0 ; t = 0. La función es creciente en 0 ≤ t ≤ 5, ya que P'(1) = +. En t = 0 tiene un mínimo absoluto o relativo.

750 / (t+5)² =... Continuar leyendo "Análisis de Continuidad, Derivabilidad y Monotonía de Funciones" »

Intervalo de Confianza para la Diferencia de Medias

a) Obtener el Intervalo de Confianza del 95% para la Diferencia de Medias

X: Gasto anual en euros de un corredor madrileño en carreras populares.

Y: Gasto anual en euros de un corredor valenciano en carreras populares.

Asumiendo independencia entre X e Y, es decir, que el gasto de un corredor madrileño no tiene relación con el de uno valenciano, y que los respectivos tamaños muestrales, n_x=300 y n_Y=250, pueden considerarse que:

Por lo tanto, el intervalo de confianza (1-α) para μ_X-μ_Y es:

donde Z_α/2 es el cuantil de la distribución N(0,1) que deja a su derecha una probabilidad igual a α/2.

Así, (sustituir la fórmula por datos) es el intervalo de confianza del 95% para μ_X-μ_Y, habiendo... Continuar leyendo "Intervalo de Confianza para la Diferencia de Medias: Corredores Madrileños vs. Valencianos" »

Análisis de la función f(x) = 2x² - (1/3)x³

a y b) Calculamos la derivada de la función y la igualamos a cero:

f’(x) = 4x - x² = 0 ; x = 0 ; x = 4.

La función es creciente en (0, 4) y decreciente en (-∞, 0) U (4, ∞). Tiene un máximo en (4, 32/3) y un mínimo en (0, 0).

c) Igualamos la derivada a 4.

f’(x) = 4x - x² = 4 ; x = 2.

Luego el punto es (2, 16/3).

Cálculo de Derivadas

Función 1: f(x) = e^3x / (1 + x²)

f’(x) = [3 * e^3x * (1 + x²) - e^3x * (2x)] / (1 + x²)² = e^3x * (3x² - 2x + 3) / (1 + x²)²

Función 2: g(x) = ln(x(1 + 3x²)) = ln(3x³ + x)

g’(x) = (9x² + 1) / (3x³ + x)

Función 3: h(x) = 2^5x + 1/x²

h’(x) = 5 * 2^5x * ln(2) - 2/x³

Estudio de Rentabilidad de Inversión en Publicidad

En una empresa han hecho un estudio sobre la rentabilidad... Continuar leyendo "Optimización de Funciones: Derivadas, Rentabilidad y Continuidad" »

Análisis de Funciones: Continuidad, Derivabilidad y Optimización

Continuidad y Derivabilidad de Funciones Definidas a Tramos

Función f(x):

Sea la función definida por tramos:

• f(x) = x³ - x² + 2, si -1 ≤ x ≤ 0
• f(x) = x² - 4x + 5, si 0 < x ≤ 1

Análisis en x = 0

Continuidad:

Para que f(x) sea continua en x = 0, debe cumplirse que f(0) = lim_x→0^- f(x) = lim_x→0⁺ f(x).

• f(0) = (0)³ - (0)² + 2 = 2
• lim_x→0^- f(x) = lim_x→0^- (x³ - x² + 2) = (0)³ - (0)² + 2 = 2
• lim_x→0⁺ f(x) = lim_x→0⁺ (x² - 4x + 5) = 0 - 0 + 5 = 5

Como los tres valores no son iguales, la función f(x) no es continua en x = 0, y por lo tanto, tampoco es derivable en x = 0.

Función h(x):

Sea la función definida por tramos:

• h(x) = -x² + x + 2, si -1 < x ≤ 0
• h(x) = -x² - x + 2,

Números Complejos: Conceptos y Operaciones

La unidad imaginaria i se define como: i² = -1, lo que implica que i = √-1.

Las potencias de i siguen un ciclo de cuatro:

• i⁰ = 1
• i¹ = i
• i² = -1
• i³ = -i
• i⁴ = 1

En general, para cualquier entero n:

• i⁴ⁿ = 1
• i^(4n+1) = i
• i^(4n+2) = -1
• i^(4n+3) = -i

Conjugado y Opuesto de Números Complejos

Opuesto

El opuesto de un número complejo z = a + bi es -z = -a - bi. Se cambian los signos de ambas partes (real e imaginaria).

Conjugado

El conjugado de un número complejo z = a + bi se denota como z̄ = a - bi. Se cambia únicamente el signo de la parte imaginaria.

Representación Gráfica de Números Complejos

En el plano complejo, el eje real corresponde al eje horizontal y el eje imaginario al eje vertical.

Resolución

OA 22 - Eje Medición - 3° Básico

Demostrar que comprenden la medición del peso (g y kg):

Comparando y ordenando dos o más objetos a partir de su peso de manera informal.

Indicadores:

• Eligen objetos de su entorno para utilizarlos para determinar el peso de objetos de uso cotidiano.
• Comparan objetos de uso cotidiano, utilizando una balanza.
• Estiman el peso de frutas, útiles, mascotas, animales, usando un referente, y fundamentan su elección.
• Explican cómo funciona una balanza.
• Relacionan objetos del entorno y animales de acuerdo con su peso y fundamentan la solución.
• Calculan el peso de objetos a partir de datos conocidos del peso de unidades de un objeto (g o kg), utilizando un patrón.
• Relacionan medidas de poco y de mucho peso con respecto

Teoría

Weierstrass

La matemática se apoya en la geometría y el álgebra. El cálculo infinitesimal, desarrollado en gran medida por Weierstrass, revolucionó la forma en que entendemos las funciones y sus propiedades.

En 1872, su discípulo Paul du Bois-Reymond publicó un teorema sobre funciones continuas que no tenían derivada en ciertos puntos. Este teorema desafió la creencia común de que una función continua siempre tenía derivada en todos sus puntos.

La continuidad de una función se entendía intuitivamente como la capacidad de trazar su gráfica sin despegar el lápiz del papel. Sin embargo, Weierstrass demostró la continuidad en un lenguaje analítico, sin necesidad de imágenes geométricas.

Este enfoque analítico proporcionó... Continuar leyendo "Teorema de Weierstrass: Funciones Continuas y Derivabilidad" »

Trigonometría

Teoría sen

Teoría cosen

Sin (izq arriba) todos (der arriba)  ta(iz abajo) cos(der abajo)

Estadística Descriptiva

Población: conjunto de individuos u objetos (elementos) en el que cada uno presenta características determinadas, observables y medibles.

Muestra: es un subconjunto aleatorio de la población. El número de elementos que lo conforman se denomina tamaño de la muestra.

Variable estadística: corresponde a la característica medible y observable que se asocia a los elementos de una muestra o población. Para representar una variable estadística se utilizan símbolos como x, y, z, D, T.

Variables estadísticas se pueden clasificar como: Cuantitativas Discretas(Número de hijos) Continuas (Tiempo) Cualitativas Nominal(... Continuar leyendo "Trigonometría y Estadística Descriptiva: Conceptos y Métodos" »