Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Aro modernoko gizartea: Nobleek, Kleroa eta Herritar gehienak

Aro modernoko gizartea: Nobleek: ez zuten lan egiten/zergarik ez ordaindu/feudoetako zergak kobratzen dituzte/justizia administratzen zuten. Kleroak: funtzio espirituala zuen gizartean/diezmo kobratzen zituen/justizia propioa/erregeari ez zion zergarik ordaintzen/jaun feudalak izan ztezkeen goi kleroko kideak. Herritar gehienak: nekazariak, artisauak, merkatariak, medikuak/ez zuten juztizia propiorik/zergak ordaintzen/Feudoetan edo koroaren mendeko eremuetan bizi ziren. XV eta XVI ekonomia: Ekonomiaren ikuspegitik, Aro Modernoko Europak landakoa izaten jarraitu zuen, eta lurra zuen bizibide nagusia Alabaina, XV mendetik aurrera, artisautzak, eta batez ere merkataritzak, gero eta garrantzi... Continuar leyendo "Aro Modernoa: Nobleak, Kleroa eta Herritarrak" »

Nombres Reals: Conceptes Fonamentals

Els nombres reals són un conjunt fonamental en matemàtiques que inclou tant els nombres racionals com els irracionals. A continuació, explorarem les seves definicions, propietats i operacions essencials.

Nombres Racionals (Q)

Són els nombres que es poden expressar com una fracció a/b, on a i b són nombres enters i el denominador b és diferent de 0. Matemàticament, es representen com:

Q = {a/b | a, b ∈ ℤ, b ≠ 0}

Valor Absolut d'un Nombre Real

El valor absolut d'un nombre real a, denotat com |a|, és el mateix nombre a si és positiu o zero, i el seu oposat si és negatiu. Es defineix com:

|a| = { a si a ≥ 0; -a si a < 0 }

Entorn de Centre a i Radi r

Un entorn de centre a i radi r és l'interval... Continuar leyendo "Nombres Reals: Conceptes Fonamentals, Propietats i Operacions Essencials" »

Análisis de Audiencia Radiofónica

El porcentaje de personas que sintonizan un programa de radio se modela mediante una función. Analicemos su comportamiento:

1. a) S(6) = 660 - 231 * 6 + 27 * 6² - 6³ = 30. Esto indica que al comenzar la emisión, un 30% de las personas sintonizan el programa.

   S(12) = 660 - 231 * 12 + 27 * 12² - 12³ = 48. Al cierre de la emisión, un 48% de las personas están sintonizando.

2. b) Para encontrar los puntos críticos, calculamos la derivada de la función y la igualamos a cero:

   S'(t) = -231 + 54t - 3t² = 0 ; t = 7 ; t = 11.

   Evaluamos S(t) para t = 6, 7, 11 y 12:

   S(6) = 30 ; S(7) = 23 ; S(11) = 55 ; S(12) = 48.

   El máximo de audiencia es del 55% y se alcanza a las 11 horas. El mínimo de audiencia es del 23% y se alcanza

Botere Politikoaren Jatorria eta Zilegitasuna

Zilegitasuna

Botere politikoa legitimoa ote den galdetzen badugu, ez dugu botere horrek zer jatorri duen jakin nahi. Fenomeno batek jatorri bat edo bestea izan, fenomeno hori ona edo txarra den galdetu behar dugu, fenomeno horrekin jarraitzea edo hobetzea komeni den ala ez galdetu behar da.

Filosofo gehienen arabera, botere politikoa ezinbestekoa da gizarteak behar bezala funtzionatzeko. Gainera, zenbat eta biztanle gehiago izan, orduan eta premiazkoagoa da. Baina botere politiko guztiak ez dira legitimoak. Irizpideak behar ditugu, zer den legitimoa eta zer ez bereizteko. Botere politikoa legitimoa den jakiteko, dagokion funtzioa ondo betetzen ote duen hartu behar da kontuan, herritar batek besteari... Continuar leyendo "Botere Politikoaren Jatorria, Zilegitasuna eta Estatu Modernoaren Oinarriak" »

Conceptos Fundamentales de Trigonometría

Definiciones Clave

Tangente: Segmento comprendido desde el punto A (1, 0) hasta la intersección de la prolongación del radio vector con la recta tangente a la circunferencia goniométrica en (1, 0). Se representa como AT = tg α.

Radián: Es la medida del ángulo cuyo arco comprendido mide lo mismo que el radio de la circunferencia.

Razones Trigonométricas de un Ángulo Agudo (0° a 90°)

Las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) de un ángulo agudo, α, se definen a partir de un triángulo rectángulo ABC:

Relaciones Trigonométricas Fundamentales

Entre las razones trigonométricas existen las siguientes relaciones fundamentales:

1. sen²x + cos²x = 1
2. tg x = sen x / cos x
3. 1 + tg²x = 1 / cos²x

Demostración

Los beneficios de una empresa en sus primeros 8 años vienen dados, en millones de euros, por la función

a) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: B ‘(t) = 3t2/ 4 -6t + 9= 0 ; t=2 ; t=6. La función es creciente en el intervalo: (0,2) U (6,8) y decreciente en el intervalo: (2,6). Tiene un máximo relativo en el punto (2,8) y un mínimo relativo en (6,0). Calculamos los extremos absolutos.
Para ello vemos los valores que toma la función en los extremos del intervalo [0,8]. -B(0)= 0 ; -B(8)=8. Por lo tanto, el máximo absoluto es 8 y se alcanza para t=2 y t=8. El mínimo absoluto es 0 y se alcanza para t=0 y t=6. B) Hacemos la gráfica de la función: Viendo la gráfica, observamos que los beneficios crecen en los años... Continuar leyendo "Optimización de Funciones y Derivadas: Análisis y Aplicaciones" »

Problema 1: Estudio de Continuidad, Derivabilidad y Recta Tangente

Sea la función definida a trozos:

f (x) =

• 1/(2-x) si x < 1
• x² - 6x + 6 si x ≥ 1

a) Continuidad y Derivabilidad

La función racional 1/(2-x) es continua y derivable en ℝ - {2}. La función polinómica x² - 6x + 6 es continua y derivable en ℝ. Por lo tanto, solo necesitamos estudiar la continuidad y la derivabilidad en el punto de unión, x = 1.

Estudio de la Continuidad en x = 1:

• Límite de x cuando tiende a 1 por la izquierda de 1/(2-x) = 1.
• Límite de x cuando tiende a 1 por la derecha de x² - 6x + 6 = 1.
• Evaluación de la función en el punto: f(1) = 1² - 6(1) + 6 = 1.

Dado que el límite por la izquierda es igual al límite por la derecha y ambos son iguales a f(1), la... Continuar leyendo "Resolución de Problemas de Cálculo Diferencial: Funciones, Derivadas y Puntos Clave" »

Introducción a los Procedimientos Estadísticos en SPSS

En SPSS podemos utilizar diferentes procedimientos para obtener estadísticos y gráficos. La mayoría se encuentran en los menús Estadísticos Descriptivos y Gráficos.

Estadísticos Descriptivos con SPSS

Utilizaremos el procedimiento Frecuencias del menú Estadísticos Descriptivos para obtener una descripción de las variables cualitativas de la matriz de datos.

Vamos ahora a describir el procedimiento de SPSS para obtener estadísticos descriptivos de variables cuantitativas. Seleccionamos nuevamente Estadísticos Descriptivos del menú Analizar.

Naturaleza de los Datos

Distribución Normal o Paramétrica

Distribución normal o paramétrica

Distribución No Paramétrica

Distribución no paramétrica

Pruebas

Sea la función f ( x ) = xcubo -24xcuadrado +4x

a) Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero: f ''(x) = 6x - 48 = 0 ; x = 8, que no está en su dominio. La función es cóncava en el intervalo (-∞,8) y convexa en el intervalo (8,+∞). Tiene un punto de inflexion en (8, -992). B) La ecuación de la tangente es: y -f(-2) = f’(-2)(x+2). F(-2)= (-2)cubo -24(-2)
cuadrado + 4(-2) = -112. F’(x)= 3xcuadrado - 48x +4 ; f’(-2)= 12+96+4=112. Sustituyendo, tenemos que: y -f(-2) = f’(-2)(x+2) ; y+112= 112(x+2) ; y=112x +112. C) Calculamos la primera derivada. F’(x)= 3xcuadrado -48x +4 ; f’(1)= 3(1)cuadrado -48 por 1+ 4= -41<0. Es="">0.> Derivadas:
f(x) = (x2 -5)cubo/3-xcuadrado = f’(x) = 3(x2-5)cuadrado por 2x (3-x2)... Continuar leyendo "Optimización de Funciones y Cálculo de Derivadas en Problemas de Cálculo" »

1. La diversitat lingüística

Aproximadament, hi ha entre 6.000 i 6.800 llengües al món. Es preveu que al segle XXI desapareixeran 2.000 llengües.

2. Classificació de les llengües

Es classifiquen segons criteris lingüístics i criteris d'ús.

2.1 Criteris lingüístics

2.1.1 Classificació genètica

Es basa en la noció de parentiu lingüístic. Una família lingüística és el conjunt de llengües que presenten un origen comú i comparteixen característiques lèxiques i estructurals. Es creu que una llengua no documentada (l'indoeuropeu) va ser la que va originar totes les altres.

2.1.2 Classificació tipològica

Es basa en les similituds estructurals, és a dir, en la manera de formar unitats lingüístiques. S'agrupen en tres grups:

• Llengües