Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Cálculo de Intersecciones y Posición Relativa en el Espacio

1. Intersección de Plano ($\pi$) y Recta ($r$)

El documento presenta un sistema de ecuaciones que, por su estructura, corresponde a la intersección de tres planos, cuyo resultado es un punto único.

Sistema de Ecuaciones (Intersección de Planos)

• Plano $\pi_1$: $x + 2y - z = 0$
• Plano $\pi_2$: $3x - y = 5$
• Plano $\pi_3$: $x + y - 4z = -13$

Resolución del Sistema

Se utiliza la matriz ampliada para resolver el sistema (método de Gauss):

| $\pi_1$ | 1  2 -1 |  0 |
| $\pi_2$ | 3 -1  0 |  5 |
| $\pi_3$ | 1  1 -4 | -13|

(El texto original muestra pasos de reducción que llevan a la solución):

1  2  -1   0
0 -1  -3 -13  (Fila resultante de operaciones)
0  0  24  96  (Fila resultante de operaciones)

Bolzano eta Darboux Teoremak

Bolzano: soluzioa badu. 1) f jarraia (a,b) tartean 2) ikurra f(a)f(b) // CE (a,b)/f(c)=0 Darboux: ebaki puntua 1) f eta g funtzioak jarraiak izatea a,b tartean 2) f(a)g(b) // CE (a,b)/f(c)=g(c)

Welerstras Teorema

1) f ja9rraia (a,b) tartean // a,b tartean funtzioan maximo eta minimo absolutuak ditu xE (a,b) f(a)(b)>

Roller Teorema

1) f jarraia (a,b) tartean 2) deribagarria (a,b) tartean 3) f(a)=f(a) // CE (a,b)/f´(c)=0

Bataz Bestekoa

1) f jarraia (a,b) tartean 2) deribagarria (a,b) tartean CE (a,b) / /f ´(c)= f(a)-f(b)/b-a

Matrizeen Determinanteak

1) IAI=0 - Errenk/zutab bateko elementua 0 badira. - Bi errenk/zutab berdinak badira. - Bi errenk/zutab proportzionalak badira. - Errenk/zutab bat beste biren konbinazio lineala... Continuar leyendo "Matematika Aplikatua" »

Derivación

La derivación se refiere al proceso de encontrar la tasa de cambio instantáneo de una función en un punto dado. La derivada de una función describe cómo cambia la función a medida que su variable independiente se desplaza infinitesimalmente. La fórmula fundamental para la derivación es la derivada, denotada generalmente como f'(x), que se expresa de la siguiente manera:

f ′(x)=lim_h→0 (f(x+h)-f(x))/h

Esta fórmula calcula la pendiente de la tangente a la curva de la función en un punto particular. La derivación permite analizar la velocidad, la aceleración, la pendiente de las curvas y muchos otros aspectos de un fenómeno.

Integración

La integración, por otro lado, se relaciona con la acumulación de cantidades o el... Continuar leyendo "

Derivación e Integración: Conceptos Fundamentales del Cálculo

Dificultades y Errores Frecuentes en Estadística Descriptiva

A) Errores en la Elaboración y Comprensión de Tablas y Gráficos

Algunos profesores suponen que la elaboración de tablas y gráficos es sencilla y dedican poco tiempo a su enseñanza. Sin embargo, elaborar una tabla de frecuencias supone ya una primera reducción estadística. Este concepto es complejo, al referirse al conjunto de los datos y no a cada caso particular. La destreza en la lectura crítica de datos es una necesidad, ya que encontramos tablas y gráficos en la prensa.

Podemos distinguir 4 niveles distintos de comprensión de tablas y gráficos. El objetivo de la educación estadística sería llevar a cada alumno a adquirir el mayor nivel para el cual esté capacitado:... Continuar leyendo "Dominando la Estadística Descriptiva: Identificación de Errores en Gráficos y Promedios" »

Conjuntos

A ⊂ B (Subconjunto)
A = B (Conjuntos iguales)
A ∪ B (Unión)
A ∩ B (Intersección)

Operaciones con Racionales

Suma:
a/b + c/b = (a + c)/b
a/b + c/d = (ad + bc)/bd
a/b + c/bn = (an + c)/bn
Producto:
a/b * c/d = ac/bd
División:
(a/b) / (c/d) = (ad)/(bc)

Leyes de los Exponentes

1. (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
2. (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
3. aⁿa^m = a^n+m
4. a^m/aⁿ = a^m-n
5. (aⁿ)^m = a^nm
6. a^-1 = 1/a
7. a^-n = 1/aⁿ
8. a⁰ = 1

Propiedades de las Raíces

1. ⁿ√(a^m) = (ⁿ√a)^m
2. ⁿ√(ab) = ⁿ√a * ⁿ√b
3. ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b
4. ^m√(ⁿ√a) = ^mn√a

Ejemplos de Raíces

∛64 = ∛(8²) = (∛8)²= 2² = 4
∛1000 = ∛(8 * 125) = ∛8 * ∛125 = 2 * 5 = 10
⁴√(16/81) = ⁴√16 / ⁴√81 = 2/3
∛√64 = ⁶√64 = 2

Propiedades de los Logaritmos

1. log_b(AB) = log_bA + log_bB
2. log_b(A/B) = log_bA - log_bB
3. log_b(Aⁿ) = n log_bA
4. log_b(^m√(

La función de beneficios f, en miles de euros, de una empresa depende de la cantidad invertida x, en miles de euros, en un determinado proyecto de innovación y viene dada por:

Maximización de Beneficios

A) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: f'(x) = -4x + 36 = 0 ; x=9. La función es creciente en el intervalo: (0, 9) y decreciente en el intervalo: (9, + ∞). Tiene un máximo relativo en el punto (9, 300). Luego, la inversión que maximiza el beneficio es x = 9 mil € y el beneficio óptimo es f (9) = 300 mil €.

Análisis de la Derivada

b) f ‘(7) = -4 * 7 + 36 = 8 > 0. Al ser positivo el valor de la derivada de esta función en ese punto, nos indica que la función es creciente en dicho punto.

Cálculo de Inversión

Glosario de Conceptos Estadísticos y Probabilísticos

Variables, Población y Muestreo

Característica de los **elementos** de una **población** que puede tomar cualquier valor y que se evalúa a través de una muestra.

Variable

Información **numérica** que se obtiene de una población.

Parámetro

Técnica que se emplea para obtener **información** de un universo a través de un grupo de sus integrantes.

Muestreo

Integrante de una población.

Elemento

Variable que clasifica siguiendo un **orden o jerarquía**.

Ordinal

Variable que clasifica **sin orden o jerarquía**.

Nominal

Variable que puede tomar **valores enteros y/o fraccionarios**.

Continua

Característica de los **elementos** de una población que puede tomar cualquier valor y que se evalúa a

Espacio Muestral

Se llama espacio muestral al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Se designa como E.

Ejemplo: ¿Cuál es el espacio muestral que corresponde al lanzamiento de un dado?

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Suceso

Un suceso es cualquier subconjunto de E.

Ejemplo: ¿Qué elementos forman el suceso “obtener número par” cuando lanzamos un dado?

A = {2, 4, 6}

Suceso Elemental

Un suceso elemental es aquel formado por cada uno de los elementos que forman el espacio muestral.

Ejemplo: ¿Cuáles son los sucesos elementales que se obtienen al lanzar un dado?

A = {1}, B = {2}, C = {3}, D = {4}, E = {5}, F = {6}

Suceso Seguro

Es el que ocurre siempre en un determinado experimento. Se representa por E.

Ejemplo: ¿Qué elementos... Continuar leyendo "Probabilidad: Conceptos básicos y aplicaciones" »

Fórmulas Fundamentales de Progresiones Aritméticas

A continuación, se presentan las fórmulas esenciales para trabajar con progresiones aritméticas, seguidas de ejercicios resueltos para su aplicación práctica.

Fórmulas Clave

• Razón (r): La diferencia común entre términos consecutivos.

  r = (An - A1) / (n - 1)

• Número de términos (n): Cantidad de elementos en la progresión.

  n = (An - A1) / r + 1

• Primer término (A1): El valor inicial de la progresión.

  A1 = An - (n - 1) * r

• Término general (An): El valor de cualquier término 'n' en la progresión.

  An = A1 + (n - 1) * r

Ejercicios Resueltos de Progresiones Aritméticas

Problema #1: Cálculo del Término General (An)

Calcula el término general (An) en una progresión aritmética donde el primer

Repaso de Conceptos Clave en Cálculo y Álgebra Lineal

A continuación, se revisan afirmaciones sobre propiedades del cálculo diferencial y conceptos fundamentales del álgebra lineal, indicando su veracidad y proporcionando la justificación correspondiente.

Cálculo Diferencial: Propiedades de las Derivadas

1. Derivada de una Suma de Funciones

Dadas dos funciones $f(x)$ y $g(x)$, se cumple que $\frac{d}{dx} (f + g)(x) = \frac{d}{dx} f(x) + \frac{d}{dx} g(x)$.

• Verdadero. La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus derivadas individuales: $[f(x) + g(x)]’ = f’(x) + g’(x)$.

2. Derivada de un Producto de Funciones

Dadas dos funciones $f(x)$ y $g(x)$, se cumple que $\frac{d}{dx} (fg)(x) = [\frac{d}{dx} f(x)][\frac{d}{dx}... Continuar leyendo "Propiedades Fundamentales del Cálculo Diferencial y Álgebra Lineal" »