Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Razones trigonométricas

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

• El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "senos" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,

• El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,

• La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,

Razones trigonométricas recíprocas

• La Cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo:

En el esquema su representación

Conceptos básicos de geometría

1. PUNTO: Es un término indefinido, no tiene partes ni dimensiones.
2. LÍNEA: No tiene ancho, es una sucesión de puntos.
3. SEGMENTO: Porción de recta limitada por ambos sentidos.

• Método inductivo: Es aquel proceso en el que se razona partiendo de lo particular para llegar a lo general. Puede cumplirse para miles de casos y luego fallar en el siguiente.
• Método deductivo: Parte de categorías para hacer afirmaciones sobre casos particulares, general-particular. Forma de razonamiento donde se infiere una conclusión a partir de una o varias premisas. 1. Empieza con condiciones dadas (hipótesis) 2. Uso de lógica, definiciones, postulados o teoremas probados para justificar una serie de proposiciones o pasos que den el

Definiciones

A continuación, se presentan las definiciones de algunos conceptos clave en geometría analítica:

1. Geometría Analítica

Rama de las matemáticas que establece una conexión entre el álgebra y la geometría euclidiana.

2. Lugar Geométrico

Conjunto de puntos que comparten una característica en común.

3. Ordenada al Origen

Valor de la coordenada y en el punto donde una recta o curva interseca el eje y.

4. Pendientes de Rectas Paralelas

Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.

5. Pendientes de Rectas Perpendiculares

El producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares es igual a -1.

6. Circunferencia

Línea curva cerrada cuyos puntos equidistan de un punto interior llamado centro.

7. Diámetro

Segmento de recta que une dos... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Geometría Analítica" »

Conceptos Clave de Matemáticas Aplicadas a la Economía

Optimización y Cálculo de Beneficios

• Extremos Relativos: P'(x) = 0. Los valores resultantes se sustituyen en P''(x). Si el resultado es negativo, es un máximo; si es positivo, es un mínimo.
• Extremos Absolutos: Sustituimos los valores de x en la función P(x) que han resultado de P'(x) = 0 y de algún punto.
• Unidades para el Máximo Beneficio: B(q) = p*q - C(x). Luego, B'(x) = 0.
• Precio por Unidad: Sustituimos el resultado anterior en p(x).
• Importe Máximo Beneficio: En B(q), sustituimos el valor del máximo beneficio.

Análisis de la Demanda y Costos

• % Demanda: E(p) * (% de cambio de precio).
• Mínimo de Unidades: Cp = C(x) / x. Después, Cp'(x) = 0 y para comprobar, C''(x) = 0. Sustituimos

GARAPENA: 

Mugimendu gerra
1924:alemaniaren plana frantzia inbaditzea zen gero errusiaren kontra joateko. Horretarako frantzia inbaditu behr+ar zuten. Inbasioa belgatik egin zuten baina ez zuten parisera aiegatu. Errusiak erasoaldi bat egiten zuen alenariaren kontra eta alemania garaitu zuen.

Pozisioen gerra 1914-1917: Alemaniaren helburua lortutako pozizioak babestea horretarako trincherak eraikin zituzten. Alde berean britainen ontziak alemania blokeatu eta horrek itsaspeko gerra eragin zuen.

1917 krisia: Urte honetan egoera militarra aldatu zen eta aldaketak

1. errusai gerratik atera: Errusian iraultza hasi zen eta gobernu berria erabaki zuen gerratik ateratzea

2. ABK gerran sartu: Orain arte neutrala zen. 1915 alemaniak luzitania transalnantikoa

Relaciones entre conjuntos -a (E) A: si a es un elemento del conjunto A, se dice que a pertenece al conjunto A. - a (E/) A: si a no es un elemento del conjunto A, se dice que a no pertenece al conjunto A. - A=B: dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, es decir, cualquier elemento de A es de B y viceversa. * La igualdad de conjuntos es una relación de equivalencia, ya que cumple las propiedades: a) reflexiva: A=A b) simétrica: si A=B, entonces B=A c) transitiva: si A=B y B=C, entonces A=C - A=/ B: dos conjuntos son distintos si no son iguales, es decir, si A tiene al menos un elemento que no es de B o B tiene al menos uno que no es de A. Tipos de aplicaciones: a)Inyectiva: a)Inyectiva: cuando para cada dos elementos del

Conceptos Fundamentales de Teoría de Números

Relaciones de Orden

Menor que: Dados dos números a y b, definimos "a menor que b" y lo indicamos como a < b.

Mayor que: Dados dos números a y b, definimos "a mayor que b" y lo indicamos como a > b.

Conjuntos Acotados

Sea A un conjunto no vacío de números naturales:

• Cota Superior: K es una cota superior de A si y solo si para todo a perteneciente a A, a ≤ K.
• Cota Inferior: H es una cota inferior de A si y solo si para todo a perteneciente a A, H ≤ a.
• Conjunto Acotado Superiormente: A es acotado superiormente si y solo si existe al menos una cota superior de A.
• Conjunto Acotado Inferiormente: A es acotado inferiormente si y solo si existe al menos una cota inferior de A.
• Máximo: K es máximo

Elipse conocida un eje y un punto

Si conocemos el eje AB y el punto P, se traza con centro en O la circunferencia de diámetro AB. Por P se traza una perpendicular a AB que corta a la circunferencia en E. Se traza el segmento EO. Se traza una paralela a AB por P, que corta a EO en F. La distancia OF es el semieje menor. Con centro en O y radio OF, obtenemos C y D sobre una perpendicular a AB por O. En caso de que el eje conocido sea el CD, el trazado es similar, salvo que primero se obtiene el punto F y luego el E.

Ejes principales a partir de dos diámetros conjugados

Sean A’B’ y C’D’ dos diámetros conjugados. Por O se traza una perpendicular a A’B’. Se traza un arco de centro O y radio OA’ que corta a dicha perpendicular en 1.... Continuar leyendo "Construcción y Propiedades de la Elipse: Métodos y Procedimientos" »

4DESCRIPTIVA

Propiedades de la media aritmética:

• Es una realización empírica de la esperanza matemática
• Involucra todos los valores de la variable
• Unicidad de la media
• Ponderación de grupos o media ponderada.
• Desvíos respecto de la media
• Translatividad del promedio
• La suma de desvíos cuadrados respecto a la media aritmética representa un mínimo absoluto
• Linealidad de la media aritmética.
• Aditividad de la media aritmética.
• Representatividad de la media aritmética (no valores extremos, no variabilidad entre los datos, no intervalos abiertos, hay variables cuya unidad de medición justifican el uso de otro tipo de promedios.

Propiedades de la Varianza

• No negatividad. La varianza será siempre un valor no negativo. Sólo será cero si todos los