Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Teorema Fundamental del Cálculo Integral

Si 𝑓 es una función continua en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] y 𝐹 es la función integral, definida en [𝑎, 𝑏] como 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 𝑥 𝑎 , entonces, 𝐹 es derivable y, además, 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥), para todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏].

𝑓 continua en [𝑎, 𝑏]                { 𝐻(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 𝑔(𝑥) 𝑎 derivable en [𝑎, 𝑏]

g derivable en [𝑎,b]         ⟹                          y

 g(𝑥) ∈ [𝑎, 𝑏] ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]         { 𝐻 ′ (𝑥) = 𝑓[𝑔(𝑥)] ∙ 𝑔 ′ (𝑥) , ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]

Regla de Barrow

Si 𝑓 es una función continua en un intervalo... Continuar leyendo "Teoremas fundamentales de cálculo integral" »

Conceptos Fundamentales de Estimación en Modelos Econométricos

El proceso de estimación en econometría implica varios pasos cruciales:

• Análisis de la magnitud y el signo de los estimadores.
• Evaluación de la significación estadística de los estimadores.
• Cálculo del grado de ajuste entre la realidad y la estimación.
• Determinación de los efectos de las variables explicativas sobre la variable endógena.

Usos Principales de los Modelos Econométricos

Los modelos econométricos se utilizan principalmente para:

• Análisis estructural: Comprender las relaciones entre variables.
• Planificación: Prever el comportamiento de una variable endógena.
• Simulación: Evaluar los posibles efectos de las intervenciones sobre la variable endógena, tanto en

Productos notables

• Binomio conjugado
• Binomio al cuadrado
• Binomio de Newton
• Binomio al cubo 
• Triangulo de pascal
• Productos de binomios con termino comun

Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas, que se obtienen en forma directa sin tener que afectuar la multiplicacion .

Binomio conjugado: el producto de un binomio por su conjugado es igual al cuadrado del primer termino menos el cuadrado de segundo.

(2c + 3d)*(2c – 3d) = (4c)² –( 9d)²  =16c²-81d²

Binomio al cuadrado: el producto de un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primer termino por el segundo, mas el cuadrado del sugundo termino.

binomio al cuadrado.

Productos de binomios con termino en comun: el producto de dos binomios que tienen un termino en comun es igual al... Continuar leyendo "Productos notables: Binomios y sus propiedades" »

Conceptos Fundamentales de Matemáticas

Sistemas de Numeración y Fracciones

Un sistema de numeración es un conjunto de reglas, palabras y símbolos que nos permiten nombrar y representar todos los números.

Una fracción (o un número quebrado) es una expresión de la forma a/b en la que a y b, que debe ser distinto de 0, son números enteros.

Una fracción se llama irreducible si el valor absoluto del numerador y el valor absoluto del denominador son números naturales primos entre sí y el denominador es positivo.

Dos fracciones a/b y c/d son equivalentes (representan la misma situación) si: a × d = c × b.

Un número racional es el número representado por cualquier elemento de una clase de fracciones equivalentes.

El representante canónico... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Matemáticas: Aritmética, Geometría y Estadística" »

Ecuaciones Cuadráticas

Forma General

Una ecuación cuadrática o de segundo grado es una ecuación polinómica donde el mayor exponente de la incógnita (generalmente x) es dos. Su forma general es:

ax² + bx + c = 0

Donde a, b y c son coeficientes numéricos, con a ≠ 0.

Ecuaciones Cuadráticas Incompletas

Son aquellas en las que el coeficiente b es cero (ecuaciones de la forma ax² + c = 0) o el término independiente c es cero (ecuaciones de la forma ax² + bx = 0).

Ejemplos de resolución:

Ejercicio 19: Tipos de muestreo

Relacione las columnas por tipo de muestreo:

Experiment:

Estudi en què l'investigador en controla o modifica expressament les condicions amb la finalitat d'analitzar els diferents patrons de resposta en les observacions. Exemples: estudiar com varien les qualificacions d'un grup d'estudiants segons si treballen o no; estudiar com varia el nombre de visites a un diari en línia segons s'opti o no per incloure-hi notícies sensacionalistes a la portada, etc.

Inspecció/enquesta:

Estudi en el qual l'investigador no pretén modificar les condicions de la mostra respecte a la variable d'interès, sinó simplement obtenir les dades corresponents a unes condicions estàndards. Exemple: registrar les qualificacions.

Paràmetre:

Valor numèric que sintetitza alguna propietat determinada de la població.... Continuar leyendo "Tipus d'estudis i variables en estadística" »

Asintota oblicua

Cálculo de máximos y mínimos relativos de una función f(x) en un intervalo [a, b]:. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.. Realizamos las segunda derivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces de la derivada primera, y si:.

f''(a) 0 es un mínimo relativo. Se comprueba si el punto inicial del intervalo 'a' y el punto final del mismo 'b', son máximos o mínimos relativos.

Integral definida: Representamos las funciones: Hallamos los puntos de corte de ambas funciones para saber los límites de integración  

Machiavelok 15 eta 16 mendean bizi izan zen italian, politikari filosofo eta idazle zen, bera izan zen estatuaren kontzeptua erabili zuen lehenegoa, esan zuen estatuak balio izan zuela politikoki antolatzeko gizartea.

Azaldu estatuaren ezaugarriak:

-Lurralde baten gainean boterea du estatua: Estatuaren lurralde zehatz batean boterea du bera.

-Subiranoa da: Bera baino botere handiago duten istantzia, bera botere handiena du istantzia batean.

-Estatua indarkeria legitimoki erabiltzen du: Bere lurraldeko kide guztiak biolentziatik (barrukoak zein kanpokoak) babeztu behar ditu.

-Hari dagokio ordena zaintzea.

Estatua beharrezkoa da?

Batzuk esaten dute baietz eta beste batzuk ezetz. Anarkistak(19): Ez dela beharrezkoa estatua, pentsalari nagusia Bakunin,... Continuar leyendo "Estatuaren Kontzeptua" »

Estatu Sozialaren Krisia (1945-1973)

Estatu liberala eboluzionatzen du eta estatu sozialetik zenbait ezaugarri hartzen ditu. Zerga-sistema eta aberastasun birbanaketa egiten du estatu sozialean. Keynesek dio estatuak ekonomian inbertitu behar duela, gehiago gastatu behar dela. Hori guztia 1929ko krakaren ondoren jarri zen martxan.

Bigarren Mundu Gerraren ondoren, jendea ongizate estatuaren alde jartzen da, estatu sozialaren alde.

Neoliberalismoaren Sorrera eta Printzipioak

70eko hamarkadako krisi ekonomikoa iritsiko da, eta estatu sozialean, keynesianismoaren eta ongizate estatuaren arteko "aldaketak" gertatuko dira, neoliberalismoa sortuz. Milton Friedman eta Chicagoko Ekonomia Eskola izango dira horren bultzatzaile nagusiak, keynesianismoari... Continuar leyendo "Estatu Sozialaren Krisia eta Neoliberalismoaren Gorakada" »