Razones trigonométricas: identidades, ángulo doble y ecuaciones trigonométricas

Razones trigonométricas

A continuación se presenta una tabla de valores de las razones trigonométricas para los ángulos de 30°, 37°, 45°, 53° y 60°.

30° 60° 45° 37° 53°

sen: 1/2, √3/2, √2/2, 3/5, 4/5

cos: √3/2, 1/2, √2/2, 4/5, 3/5

tg: √3/3, √3, 1, 3/4, 4/3

ctg: √3, √3/3, 1, 4/3, 3/4

sec: 2√3/3, 2, √2, 5/4, 5/3

csc: 2, 2√3/3, √2, 5/3, 5/4

Identidades trigonométricas

Identidades recíprocas

• sen θ · csc θ = 1    sen θ = 1/csc θ    csc θ = 1/sen θ
• cos θ · sec θ = 1    cos θ = 1/sec θ    sec θ = 1/cos θ
• tg θ · ctg θ = 1    tg θ = 1/ctg θ    ctg θ = 1/tg θ

Identidades pitagóricas

• sen²θ + cos²θ = 1    sen²θ = 1 − cos²θ    cos²θ = 1 − sen²θ
• sec²θ − tg²θ = 1    sec²θ = 1 + tg²θ    tg²θ = sec²θ − 1
• csc²θ − ctg²θ = 1    csc²θ = 1 + ctg²θ    ctg²θ = csc²θ − 1

Identidades auxiliares

1. sen⁴θ + cos⁴θ = 1 − 2sen²θ · cos²θ
2. sen⁶θ + cos⁶θ = 1 − 3sen²θ · cos²θ
3. tg θ + ctg θ = sec θ · csc θ
4. (sen θ ± cos θ)² = 1 ± 2sen θ · cos θ
5. sen²θ + csc²θ = sec²θ · csc²θ

Fórmulas de suma y resta de ángulos

1. sen(A + B) = sen A · cos B + sen B · cos A
2. sen(A − B) = sen A · cos B − sen B · cos A
3. cos(A + B) = cos A · cos B − sen B · sen A
4. cos(A − B) = cos A · cos B + sen B · sen A
5. tg(A + B) = (tg A + tg B) / (1 − tg A · tg B)
6. tg(A − B) = (tg A − tg B) / (1 + tg A · tg B)

Fórmulas del ángulo doble

1. sen 2θ = 2 sen θ · cos θ
2. cos 2θ = cos²θ − sen²θ
   • cos 2θ = 1 − 2sen²θ
   • cos 2θ = 2cos²θ − 1
3. tg 2θ = 2tg θ / (1 − tg²θ)

Nota: ctg 2θ = 1/tg 2θ, csc 2θ = 1/sen 2θ y sec 2θ = 1/cos 2θ.

Ecuaciones trigonométricas

Se resuelven ecuaciones de la forma R.T.(ax + b) = c.

1. sen(3x + π/4) = 1/2
2. cos(7x − π/5) = √2/2
3. tg(x/3) = 3/4

Valores principales

• a) sen(3x + π/4) = 1/2 → V.P. = 30°
• b) cos(7x − π/5) = √2/2 → V.P. = 45°
• c) tg(x/3) = 3/4 → V.P. = 37°

Solución general

• sen: ax + b = 180°n + (−1)ⁿ (V.P.)
• cos: ax + b = 360°n ± (V.P.)
• tg: ax + b = 180°n + (V.P.)