Propiedades de los Determinantes en Matrices Involutivas y Productos Lineales
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Determinante de una matriz que es su propia inversa
Si tenemos una matriz que es su propia inversa (conocida como matriz involutiva), como por ejemplo un giro de 180º sobre uno de los ejes, al aplicarla dos veces el resultado es la posición inicial. Si la posición final es igual a la inicial, la transformación lineal resultante es la identidad; por lo tanto, el determinante de dicha matriz debe ser 1.
Podemos entender que, si multiplicamos el determinante de una matriz que es su propia inversa por sí mismo, el resultado ha de ser 1. Dado que siempre que multipliquemos el determinante de una matriz por el determinante de su inversa el resultado es 1, si una matriz es su propia inversa, el determinante de dicha matriz solo puede tener dos valores posibles: 1 y -1. Ambos valores son válidos, ya que cumplen la condición de ser sus propios inversos al multiplicarse por sí mismos.
¿Producto de matrices linealmente dependientes?
Sabemos que si una transformación lineal está descrita por una matriz en la que sus columnas son linealmente dependientes, la transformación colapsa a un espacio de menor dimensión. Consideremos el siguiente escenario: tengo una matriz M1 cuyas columnas son linealmente dependientes y una matriz M2 cuyas columnas son linealmente independientes. ¿Es posible multiplicarlas? Si la respuesta es afirmativa, ¿la transformación resultante del producto colapsa? En otras palabras, ¿las columnas de la matriz producto M2 · M1 son linealmente dependientes?
Propiedades del determinante en el producto
Cuando una matriz es linealmente dependiente, su determinante es necesariamente 0. De acuerdo con las propiedades de los determinantes y el producto de matrices, sabemos que:
- det(A · B) = det(A) · det(B)
Al ser el determinante de la matriz cuyas columnas son linealmente dependientes igual a 0, al multiplicarlo por el determinante de la otra matriz (sea cual sea), el resultado será 0. Por tanto, el determinante de la matriz resultante de la multiplicación será 0, lo que confirma que la matriz producto es linealmente dependiente.