Capitalización simple y compuesta: fórmulas, tantos equivalentes y TAE

1. Concepto de Operación Financiera de Capitalización

La operación financiera de capitalización es aquella en la que se sustituye o cambia un capital financiero disponible en un determinado momento por su equivalente en un momento futuro o posterior, mediante la aplicación de la ley financiera de capitalización.

C₀ C_n

0 n

Conocemos la cuantía del capital C₀ y mediante la ley financiera de capitalización calculamos la cuantía del capital futuro, C_n.

La cuantía del capital futuro C_n, sabemos que será mayor ya que, quien posee hoy un capital solo aceptará entregarlo durante el tiempo n si recibe un capital de mayor cuantía en el futuro:

C_n = C₀ + ΔC₀

Esa cantidad ΔC₀, como ya sabemos, se denomina interés y es la compensación en dinero que recibimos o entregamos, según seamos acreedor o deudor, al realizar una operación financiera; lo representaremos por I_n.

La cuantía del capital futuro, C_n, se obtendrá añadiéndole al capital disponible hoy C₀ los intereses I_n generados durante el tiempo de duración de la operación.

La ley de capitalización tendrá por tanto como fórmula general la expresión:

C_n= C₀ + I_n

La nomenclatura y terminología que vamos a utilizar es la siguiente:

• 0: Origen de la operación
• n: Final de la operación.
• (0, n): Duración de la operación. Es el intervalo de tiempo en el que se desarrolla la operación
• C₀: Capital inicial. Valor del capital en el momento presente, en el momento 0.
• C_n: Capital final o montante. Valor del capital en el futuro, en el momento n.
• I_n: Interés total de la de la operación. Interés generado en n periodos.
• ( k-1, k ) Periodo de capitalización (k = 1, 2,..., n). Es el periodo de tiempo en el que se devengan o se calculan los intereses
• i: Tipo de interés del periodo expresado en tanto por uno. Es el interés por unidad de capital y de tiempo.

Por último, según la forma en que se estipule el cálculo de los intereses se distinguen dos tipos de operaciones de capitalización:

• Operación financiera de capitalización simple o de interés simple.
• Operación financiera de capitalización compuesta o de interés compuesto

2. Operación Financiera de Capitalización Simple o de Interés Simple

Las operaciones financieras de capitalización simple presentan la característica de que los intereses no son productivos; lo que significa que:

• Los intereses obtenidos al final del periodo no se acumulan al capital para producir nuevos intereses en el periodo siguiente.
• Los intereses se calculan siempre sobre el capital (no incluyendo intereses).
• Los intereses son constantes durante todos los periodos de la operación.

Las operaciones de capitalización simple se utilizan fundamentalmente en operaciones de capitalización a corto plazo, operaciones cuya duración no suele ser por lo general superior al año.

2.1. Obtención de la Ley Financiera de Capitalización Simple

Para deducir la fórmula matemática que exprese la ley financiera de capitalización simple, plantearemos, como hemos señalado, que solo el capital invertido produce intereses.

Si establecemos que se invierte un capital inicial C₀ durante n periodos a un tanto unitario de interés del periodo i, para calcular el capital final C_n al cabo de los n periodos, bastará con sumar al capital inicial C₀ los intereses producidos durante esos periodos.

Así: C_n= C₀ + I_n

Yendo periodo a periodo, veamos primeros los intereses obtenidos para luego calcular los montantes en que se convierte el capital inicial C₀.

El importe de los interés obtenido por el capital C₀ cada unidad de periodo es C₀ ·i

Gráficamente:

C₀ C₀i C₀i C₀i C₀i

0 1 2 3... n años

Luego:

• El interés ganado al cabo de un periodo es: C₀ × i
• Al cabo de dos períodos: C₀ × i + C₀ × i = 2 · C₀· i
• Pasados tres periodo: C₀· i + C₀· i + C₀· i = 3· C₀· i
• El interés en los n periodos transcurridos es igual a: n · C₀ · i

Por tanto, los sucesivos montantes en que se convierte el del capital final serán:

• Al final del primer periodo la cuantía del capital final es:

C₁ = C₀ + I₁ = C₀ + C₀ · i = C₀ (1+i)

• Al final del segundo periodo o periodo 2 la cuantía del capital final es:

C₂= C₀ + I₂ = C₀ + 2 ·C₀· i =C₀( 1+ 2 × i)

• Al final del tercer periodo o periodo 3 :

C₃= C₀ + I₃ = C₀ + 3·C₀· i = C₀ (1+ 3 × i)

• Al final del n-ésimo periodo o periodo n se alcanzará el montante:

C_n = C₀ + I_n = C₀ + n·C₀· i = C₀ (1 + n × i)

que es la expresión de la ley financiera de capitalización simple:

C_n = C₀ (1 + n × i)

Con esta expresión no solo se pueden calcular el capital final o montante sino que, conocidas tres variables cualesquiera, se puede encontrar la cuarta.

(1 + n.i) recibe el nombre de factor de capitalización simple; y, dado un capital disponible C₀ este factor nos calcula su capital financiero equivalente en n.

Este factor de capitalización siempre es mayor que 1.

Es importante, a la hora de introducir valores en la fórmula de la ley, mantener la uniformidad entre el tipo de interés y la unidad de de medida del tiempo, es decir que el tiempo n y el tanto i deben ser correlativos, y en caso contrario realizar las oportunas modificaciones.

El tipo o tanto de interés i y el número de periodos de la operación n deben estar referidos a la misma unidad de tiempos.

En general los intereses se valoran, se cobran o se pagan, al final de la operación y es lo que se conoce como interés vencido o simplemente interés.

Ocasionalmente, se realizan operaciones financieras en las que el interés se cobra o por anticipado, es decir en el momento mismo en que se concierta la operación.

Siendo el capital prestado C₀, el tanto unitario de interés anticipado i*, los intereses cobrados por el prestamista será C₀ · i*, el capital neto recibido en el origen será:

C₀ - C₀ · i*= C₀ (1- i*)

Y el capital a devolver al final de la operación será el capital prestado C₀ ya que los intereses ya se han pagado.

2.3. Capitalización Simple con Tipo de Interés Variable

En general:

C_n = C₀ + I₁ + I₂ + … + I_n

3. Operación Financiera de Capitalización Compuesta o de Interés Compuesto

Las características que presenta las operaciones de capitalización compuestas es que los intereses son productivos, lo que significa que:

• A medida que se generan los intereses se acumulan al capital para producir nuevos intereses en los periodos siguientes.
• Los intereses de cualquier período siempre se calculan sobre la cuantía del capital disponible al principio de dicho periodo.

La ley de capitalización compuesta se utiliza en las operaciones financieras a largo plazo (más de un año).

Si invertimos ahora el capital de 1.000 € al 10% de interés compuesto durante 3 periodos, el comportamiento de capital e intereses durante los tres periodos podemos mostrarlo en el cuadro siguiente:

El importe de los intereses obtenido es diferente cada periodo, ya que cada periodo los intereses los genera el capital existente al principio de dicho período.

3.1 Obtención de Ley de Capitalización Compuesta

Para deducir la fórmula matemática que exprese la ley financiera de capitalización compuesta, plantearemos, como hemos señalado, que transcurrido el periodo establecido de capitalización (periodo en el que se producen los intereses: años, meses…), los intereses, se añadirán al capital para, a su vez, producir intereses en el periodo siguiente.

Supongamos que se invierte un capital financiero C₀ durante n periodos consecutivos, a un tanto unitario de interés del periodo i y queremos calcular el capital final C_n.

Veamos periodo a periodo los sucesivos montantes en que se convierte el capital inicial C₀.

• Al final del primer periodo el capital final o montante es:

C₁ = C₀ + I₁ = C₀ + C₀ × i = C₀ (1 + i)

• Al final del segundo periodo:

C₂ = C₁ + I₂ = C₁+ C₁ × i = C₁ (1 + i) =C₀ (1 + i) (1+ i) = C₀ (1 + i)²

• Al final del tercer periodo:

C₃= C₂ + I₃ = C₂+ C₂×i = C₂ (1+i) =C₀ (1+i)²(1+i) = C₀ (1+i)³

• Al final de n periodo el montante es:

C_n = C₀ (1 + i)ⁿ

que es la expresión de la ley financiera de capitalización compuesta:

C_n = C₀ (1 + i)ⁿ

Ley que permite conocer el capital final C_n obtenido al invertir C₀ a un tanto unitario de interés i, durante n periodos.

(1+i)ⁿ recibe el nombre de factor de capitalización y permite calcular el capital equivalente del un capital dado en un momento de vencimiento posterior.

A partir de la expresión anterior además de calcular montantes, podremos, conocidos tres datos cualesquiera, despejar el cuarto restante.

3.2. Interés Compuesto de la Operación

Conocidos los capitales inicial y final, por diferencia entre ambos, como ya sabemos, podemos calcular el interés de la operación:

I_n = C_n - C₀

Sustituyendo el valor de C_n:

I_n = C₀ (1 + i)ⁿ - C₀

Y, sacando factor común C₀, resultará que:

I_n = C₀ [(1+i)ⁿ - 1] INTERÉS COMPUESTO

3.3. Operación de Capitalización Compuesta con Tipos de Interés Variable

En general:

C_n = C₀ (1 + i₁)^t₁· (1 + i₂)^{t₂ - t₁} ·…· (1 + i_n)^{t_n - t_n-1}

4. Tantos de Interés Equivalentes

Cuando hemos obtenidos las leyes financieras de capitalización, hemos señalado como condición muy importante que en su expresión matemática el tipo o tanto de interés (i) y el tiempo (n) deben estar referidos siempre a la misma unidad de tiempos.

En el caso de que no coincidan sus referencias temporales tenemos flexibilidad para cambiar tanto (i) como (n), en función de lo que resulte más cómodo y sencillo.

En los ejemplos que hemos resuelto hasta ahora, cuando no se ha dado la coincidencia temporal entre n e i nos ha resultado más cómodo transformar la unidad de medida del tiempo de n en la unidad del tanto de interés.

No obstante otra opción que tenemos es la de transformar la unidad de medida del de la tasa de interés en la del tiempo.

En este caso, para modificar el tanto o tipo de interés debemos utilizar el concepto de tanto equivalente.

4.1. Concepto de Tantos Equivalentes

Dos tantos o tipos de intereses, referidos a periodos de tiempo distintos, se dice que son equivalentes si aplicados al mismo capital y durante un mismo plazo de tiempo, dan lugar al mismo capital final o montante.

En consecuencia un tanto anual i y otro tanto referido a una fracción de año o periodo inferior al año que llamaremos i_k, serán equivalentes si aplicados al mismo capital durante el mismo tiempo (expresado en años para i y en fracción para i_k) producen el mismo montante.

Por "k" representamos el número de veces que la fracción de año o el periodo menor del año se repite en el año. Así, para:

• Semestre, k = 2 y el tanto será i₂
• Cuatrimestre, k = 3 y el tanto será i₃
• Trimestre, k= 4 y el tanto será i₄
• Bimestre, k= 6 y el tanto será i₆
• Mes, k= 12 y el tanto será i₁₂

Para obtener la relación entre el tanto anual i y el tanto fraccionado i_k equivalente igualaremos los montantes que se obtienen al capitalizar un capital de cuantía C₀ durante n años al tanto i y al tanto i_k con la ley de capitalización simple y con la ley de capitalización compuesta.

4.2. Tanto Equivalente con la Ley de Capitalización Simple

Aplicando la ley de capitalización compuesta al capital C₀ durante n años el capital final o montante que se obtiene utilizando la tasa anual i será:

C_n = C₀ (1 + n× i)

Si aplicamos la ley utilizando la tasa i_k durante n · K periodos se obtiene el montante C_n:

C_n = C₀ (1 + i_k × n · k)

La equivalencia implica la igualdad de los dos capitales finales, luego:

C₀ (1 + n · i) = C₀ (1 +i_k ×n ·k)

simplificamos la igualdad eliminando C₀, el 1 y n :

(1 + i) = (1 +i_k × k)

y despejamos un tanto en función del otro se obtendrá el tanto anual i equivalente a un tanto de fracción de año i_k :

i = k × i_k

o bien, el tanto de fracción de año i_k equivalente a un tanto anual

i_k = ⁱ⁄_k

En las des expresiones anteriores se puede observar que los tantos equivalentes en interés simple son proporcionales.

4.3. Tanto Equivalente con Ley de Capitalización Compuesta

El capital final o montante que se obtiene utilizando un tanto anual i es :

C_n= C₀ (1 + i)ⁿ

y utilizando un tanto en fracción de año i_m :

C_n = C₀ (1 + i_k)^n·k

Igualamos los montantes:

C₀ (1 + i)ⁿ = C₀ (1 + i_k)^{n· k}

Simplificamos, eliminamos C₀ y n:

(1 + i ) = (1 +i_k)^k

Y despejamos un tanto en función del otro se obtendrá el tanto anual i equivalente a un tanto de fracción de año i_k :

i = (1 + i_k)^k - 1

o bien, el tanto de fracción de año i_k equivalente a un tanto anual i:

i_k = (1 + i)^1/k - 1

Podemos observar que los tantos equivalentes en compuesta no son proporcionales como ocurre en la capitalización simple.

5. Tasa o Tipo de Interés Nominal (TIN)

Es la tasa que utilizan las entidades financieras en sus contratos y en la publicidad Se representa por j_k y se define como

j_k = k · i_k

Un tanto de interés nominal no tiene ningún significado intrínseco, sino que no es más que un interés fraccionado multiplicado por el número de veces que la fracción se repite en el año.

Aunque el tanto nominal es anual, indica que los intereses se liquidan periódicamente por ello siempre hay que indicar el período al que está referido:``tanto nominal capitalizable .por '' . ``tanto nominal pagadero por '' o ``tanto nominal convertible por''.

En capitalización compuesta, como los tantos no son proporcionales se trata de un tanto anual teórico., que solo sirve para calcular el tanto efectivo fraccionado i_k :

Solo cuando el tanto nominal pagadero por año coincidirán el tanto nominal y el tanto efectivo anual. Para los demás casos, el tanto nominal j_k será menor que el tanto infectivo i:

j_k = k × i_k < i

Para indicar que un tipo de interés no es nominal se emplea la palabra efectivo.

Ejemplo 14 Dado un tanto anual efectivo del 17% calcular el nominal anual con fraccionamiento mensual.

Solución:

El nominal anual con fraccionamiento mensual es j₁₂ y es igual a i₁₂ × 12

Para calcularlo, primero hallamos el tanto i₁₂ equivalente el tanto anual i = 0,17:

i_k = (1 + i) ^1/k 1; i₁₂ = (1 + 0,17)^1/12 - 1 = 0,01317

y después lo multiplicamos por 12:

j₁₂ = 0,01317 × 12 = 0,15804

6. La TAE

Tal como señalamos en el tema anterior las operaciones financieras es un acuerdo entre dos sujetos económicos. Normalmente uno de estos sujetos es una entidad financiera y cuando esto ocurre las relaciones de dichas operaciones deben ser reguladas por la entidad supervisora bancaria, esto es, el Banco de España para que exista transparencia en el cálculo del coste o rendimiento de la operación.

El documento base el cálculo del coste y rendimiento cuando interviene una entidad de crédito es la Circular del Banco de España nº 8 de 7 de septiembre de 1990 de sobre Transparencia de las operaciones y protección de la clientela. En el se define la TAE como la medida indicativa del coste o rendimiento de una operación y se indica como ha de calcularse la TAE, qué gastos y comisiones han de tenerse en cuenta, en las operaciones.

La T.A.E. es definida como la tasa porcentual anual vencida equivalente procedente de la ley de capitalización compuesta que iguala en cualquier fecha el valor de las cantidades recibidas y entregadas a lo largo de la operación, por todos los conceptos.

Podemos decir que la TAE es un tipo de interés anual compuesto y vencido que iguala el valor de la prestación con el valor de la contraprestación teniendo en cuenta los gastos y comisiones que el cliente paga y la entidad financiera recibe, gastos llamados características comerciales unilaterales (comisión de apertura, comisión de estudio, etc.)

Cuando no hay gastos ni comisiones en la operación financiera, la TAE coincide con la tasa anual efectiva i de la operación financiera.

Ahora bien, el concepto de TAE sólo tiene en cuenta los gastos que el cliente tiene con la entidad financiera pero no tiene en cuenta los gastos que se originan en la operación, y que afectan al cliente y otras entidades o personas como pueden gastos de notario, registro de la propiedad impuestos.

Por ello si se quiere calcular la rentabilidad o el coste efectivo real del cliente habrá que tener en cuenta en el cálculo del tipo de interés anual compuesto todos los costes y gastos que tiene la operación.