Equilibrio general, arbitraje y valoración de activos: probabilidades neutrales al riesgo

Resumen

El documento explica los fundamentos del modelo de equilibrio general en economía financiera y su aplicación a la valoración de activos. Aborda los supuestos del mercado eficiente, los flujos de caja por estados, los valores Arrow-Debreu y las carteras de arbitraje. Concluye con la regla de valoración en términos de probabilidades neutrales al riesgo y la tasa libre de riesgo.

Puntos clave

El modelo de equilibrio general parte de que, con preferencias convexas y competencia perfecta, la oferta agregada iguala a la demanda agregada.
Supuestos clave: mercados sin fricciones, posibilidad de comprar fracciones de activos, información completa reflejada en los precios (mercado eficiente) y posiciones largas y cortas.
Cada activo genera un flujo de caja en cada uno de los M estados del mercado, resumidos en una matriz de pagos.
Un valor Arrow-Debreu paga 1 unidad monetaria si ocurre un estado específico y 0 en caso contrario.
Una cartera de arbitraje ofrece beneficio con coste 0 o beneficio inmediato sin coste posterior; su inexistencia es la condición de no arbitraje.
Normalizando los precios-estado de Arrow-Debreu se obtienen las probabilidades neutrales al riesgo.
Según la regla de valoración riesgo neutral, el precio de un activo es el valor esperado de sus flujos descontados a la tasa libre de riesgo.

Ponte a prueba

Modelo de Equilibrio General y Valoración de Activos Financieros

Este documento explora los fundamentos del modelo de equilibrio general en economía financiera y su aplicación en la valoración de activos. Se analizan conceptos clave como la eficiencia del mercado, los flujos de caja y el arbitraje.

1. Equilibrio General y Supuestos

El modelo parte de la premisa de que en un mercado con un conjunto de activos negociados (Gi), la oferta agregada es igual a la demanda agregada bajo preferencias convexas, competencia perfecta e independencia de la demanda. Este modelo se utiliza para probar la existencia de un equilibrio general en una economía. Los supuestos clave son:

Mercados sin impuestos ni comisiones (mercados sin fricciones).
Posibilidad de comprar cualquier fracción de un activo.
La información reflejada en los precios de los activos (Gi) es completa y se ajusta instantáneamente a nueva información (mercado eficiente).
Posibilidad de tomar posiciones largas y cortas.

2. Flujos de Caja y Estados del Mercado

Durante un período de tiempo, se consideran N activos cotizados (i=1...N) y se definen M estados del mercado igualmente probables (j=1...M). Cada activo Gi genera un pago en cada estado del mercado (flujo de caja). Los flujos de efectivo se resumen en una matriz (2) donde cada fila representa los pagos del activo i en cada estado del mercado j, y cada columna representa los pagos de todos los activos i para el estado j.

3. Valor Arrow-Debreu

En una economía financiera, un valor Arrow-Debreu es un activo que paga 1 unidad monetaria si se alcanza un estado específico y 0 en caso contrario (3). La matriz de flujos de caja (4) se relaciona con estos valores. Además, cada uno de los N activos tiene un precio al principio del período, lo que genera un vector de precios (5).

4. Cartera de Inversión y Arbitraje

Una cartera se representa (6) donde wi es el número de unidades del activo i en la cartera. El inversor recibe el flujo correspondiente una vez realizado el estado del mercado j: wiGij. El precio de la cartera es (7) y el flujo es un vector (8).

Una cartera de arbitraje es una cartera W en la que se da alguna de las siguientes situaciones:

a) Obtención de beneficios con coste 0.
b) Beneficio inmediato sin coste posterior.

La condición necesaria que garantiza la inexistencia de una cartera de arbitraje es (9).

5. Precios-Estado y Probabilidades Neutrales al Riesgo

El vector de precios-estado (Pi) también se conoce como los precios de los estados de Arrow-Debreu, ya que pij es lo que los inversores están dispuestos a pagar en t=0 por una unidad monetaria si se realiza en el estado j del mercado. Si se normalizan los precios-estado de Arrow-Debreu, se obtienen las probabilidades neutrales al riesgo (10).

6. Representación Riesgo Neutral y Regla de Valoración

Se muestra la representación riesgo neutral de la regla de valoración (pricing rule), donde el precio es el valor esperado descontado, utilizando la tasa libre de riesgo y probabilidades neutrales al riesgo artificiales que asignan una probabilidad a los mismos estados de la naturaleza sobre las probabilidades reales, pues los activos se valoran con esperanzas descontadas de los flujos de caja con respecto a la probabilidad neutral al riesgo. Este descuento se hace respecto a la tasa de interés libre de riesgo dada por los precios-estado, esto es (12), por ello, se puede pensar en el precio de los activos como un tipo de valor esperado de los flujos de caja futuros. Entonces, los precios tienen cierta información sobre la distribución de probabilidad respecto a la cual se calcula dicha esperanza.

Preguntas frecuentes

¿Qué es un valor Arrow-Debreu?

Es un activo que paga 1 unidad monetaria si se alcanza un estado específico del mercado y 0 en caso contrario. Su precio se conoce como precio-estado.

¿Qué es una cartera de arbitraje?

Es una cartera que permite obtener beneficios con coste 0 o un beneficio inmediato sin coste posterior. La condición necesaria para evitarla es la ausencia de oportunidades de arbitraje en el mercado.

¿Cómo se obtienen las probabilidades neutrales al riesgo?

Se obtienen normalizando los precios-estado de Arrow-Debreu. Con ellas, el precio de un activo se calcula como la esperanza de sus flujos de caja descontados a la tasa libre de riesgo.