Fundamentos Lógicos y Epistemológicos: Axiomas, Teoremas y la Construcción de Teorías Científicas

Fundamentos de la Lógica y la Estructura del Conocimiento Científico

El Sistema Axiomático: Definiciones y Componentes

Un sistema axiomático consiste en un conjunto de axiomas que se utilizan, mediante deducciones lógicas, para demostrar teoremas.

Axioma

Un axioma es una "Verdad Evidente" que no requiere demostración, pues se justifica a sí misma. En otras palabras, los axiomas son enunciados muy evidentes, que se consideran verdades universales y que se utilizan en distintas ciencias y teorías como fundamentos para realizar otros enunciados o hipótesis.

• Ejemplo matemático: El resultado de 2 más 4 es igual que 4 más 2 (Propiedad conmutativa).
• Ejemplo geométrico: Dos líneas paralelas nunca se tocan.

Teorema

Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada como verdadera o falsa dentro de un marco lógico. Es un vocablo de origen griego que indica una verdad para un determinado campo de la ciencia, que tiene la particularidad de ser demostrable recurriendo a otras proposiciones previamente demostradas (axiomas).

Típicamente, los teoremas sostienen las ciencias denominadas ‘exactas’, especialmente las ‘formales’ (matemáticas, lógica), que son las que se valen de elementos ideales para extraer conclusiones generales. Ejemplos: Teorema de Pitágoras, Teorema del binomio, Teorema de Euler.

La demostración de un teorema requiere el uso de:

1. Hipótesis: Lo que se busca demostrar que es verdad.
2. Demostración: El proceso lógico deductivo.
3. Tesis: Lo demostrado.

Postulado

Un postulado es una proposición que se toma como punto de partida para la demostración de teoremas. Ejemplo: Una recta finita puede prolongarse y ser ilimitada.

Propiedades y Elementos de un Sistema Axiomático

Postulados, axiomas y teoremas conforman un sistema axiomático. Sus elementos y propiedades incluyen:

• Términos Primitivos/No Definidos: Son aquellos que se toman sin definición en el sistema. Ejemplo: Punto.
• Términos Definidos: Son aquellos que se definen en el sistema y requieren una definición. Ejemplo: Línea / Paralela.
  • Toda línea es un conjunto de puntos.
  • Dos líneas son paralelas si no existe a la vez dos puntos que se encuentren en ambas.
• Consistencia: Un sistema es consistente cuando sus proposiciones no pueden contradecirse entre sí.
• Independencia: Los axiomas no deben poder deducirse unos de otros dentro de la misma teoría.
• Completitud: El sistema debe poder responder a todos los valores posibles del respectivo tema, justificándose así su consistencia.

La Estructura del Conocimiento Científico

El Método Inductivista y la Formación de Leyes

La concepción inductivista del conocimiento científico se basa en la observación y la experimentación para pasar de enunciados singulares a enunciados universales.

1. Observación: Concluye enunciados singulares basándose en la experiencia. Ejemplo: "El trozo de metal al calentarse se dilató."
2. Experimentación: Estudia el hecho observado en condiciones de laboratorio, controlando las variables intervinientes, lo que permite efectuar una mejor observación.

Mediante la observación se adquieren hechos, y de las proposiciones singulares se obtiene la inducción, llegando a leyes y teorías. Para pasar a la deducción y sus proposiciones universales, se llega a predicciones y explicaciones.

Requisitos del Inductivismo

Para que la inducción sea válida, se requiere:

• Un número representativo de casos en la muestra.
• Observaciones expuestas a distintas condiciones.
• La ausencia de casos negativos.

Teorías y Proposiciones Científicas

El conocimiento científico posee ciencias formales y fácticas. De estas últimas provienen las teorías, que son un conjunto de proposiciones que explican el comportamiento de un determinado sector de la realidad.

Componentes de las Proposiciones

Las proposiciones están compuestas por:

• Términos Lógicos: Conectivas proposicionales, cuantificadores, etc. (Ej.: ¬, ⊃).
• Términos No Lógicos:
  • Empíricos: Entidades observables. Ejemplo: Mirar la luna.
  • Teóricos: Entidades NO observables. Ejemplo: Átomos de los distintos elementos, donde el número de protones es igual al número de electrones.

Leyes y Refutación de Teorías

Las Leyes son proposiciones generales que enuncian ciertas regularidades en los objetos estudiados y que, por lo tanto, permiten predecir el comportamiento futuro de objetos similares.

Respecto a las Teorías, un mismo hecho puede ser explicado de distinta manera, es decir, pueden construirse varias teorías para explicarlos (Ejemplo: Movimiento de los astros).

• Modelo Heliocéntrico: El Sol gira alrededor del cosmos (Nota: Esta es la definición dada en el texto original, aunque el modelo establece que la Tierra y los planetas giran alrededor del Sol).
• Modelo Geocéntrico: Los astros giran alrededor de la Tierra.

Una teoría es refutada cuando de la misma se deducen proposiciones que, al cotejarlas con los hechos, no se verifican. En ocasiones, dos teorías pueden convivir durante un largo período porque no se encuentran elementos concluyentes para refutar alguna de ellas.