Perturbación Aleatoria en Econometría: Supuestos del Modelo, Estimador MCO y Coeficiente de Determinación

Término de perturbación aleatoria

u: Término de perturbación aleatoria. Este término recoge la aleatoriedad presente en las relaciones entre variables económicas. Al introducir u, la ecuación es estocástica en lugar de determinista y, por tanto, más adecuada para representar la realidad económica.

Razones concretas para introducir u en la ecuación

• Factores omitidos: u es la suma de innumerables factores de pequeña magnitud que inciden globalmente sobre la variable dependiente y y que no están presentes en la ecuación. Es decir, representa la suma de todos aquellos factores explicativos de y que, por cualquier razón, no están contenidos en los regresores X_ji.
• Errores de medida: Su introducción también se justifica por la existencia de errores de medida en las variables, por lo que la relación entre ellas no es perfecta.
• Agregación de datos económicos: Por último, la agregación de los datos económicos también provoca que las relaciones entre variables no sean perfectas.

Distribución de probabilidad de u

Esperanza nula

E(u_i) = 0, i = 1, ..., n. Esto significa que, aunque el término de perturbación u_i puede tomar valores positivos y negativos de forma aleatoria, su media vale cero; es decir, no toma sistemáticamente valores positivos ni negativos. Recoge, pues, multitud de factores de pequeña magnitud que, en promedio, se compensan. Matricialmente, esta hipótesis se expresa como E(u) = 0. Su incumplimiento afecta al proceso de estimación.

Homoscedasticidad

Los u_i son homoscedásticos (tienen varianza constante). Es decir, los términos de perturbación de todas las observaciones tienen la misma varianza:

Var(u_i) = E(u_i²) = σ², i = 1, ..., n.

La dispersión de los valores del término de perturbación para cada observación en torno a su media no va a depender de los valores que toman las explicativas, sino que va a ser constante a lo largo de todo el recorrido de la muestra. Intuitivamente, este supuesto significa que los factores inobservables que recoge u tienen igual variabilidad para todas las observaciones de la muestra.

El incumplimiento de esta hipótesis se denomina heteroscedasticidad. Formalmente se representa como Var(u_i) = σ_i², i = 1, ..., n. Se trata de una situación en la cual la dispersión de los valores de una determinada variable u_i depende de los valores que toma otra variable X_ji.

No autocorrelación

u_i no está autocorrelacionado. Es decir, los términos de perturbación correspondientes a dos observaciones diferentes no están relacionados. Formalmente:

Cov(u_i, u_s) = E(u_iu_s) = 0, i ≠ s; i, s = 1, ..., n.

Este supuesto significa que los factores inobservables recogidos en el término de perturbación correspondientes a dos observaciones muestrales no están relacionados. El incumplimiento de esta hipótesis se denomina autocorrelación, y se representa como Cov(u_i, u_s) = E(u_iu_s) = σ² ≠ 0, i ≠ s; i, s = 1, ..., n.

Matriz de varianzas y covarianzas

Conjuntamente, los supuestos de homoscedasticidad y no autocorrelación originan que la matriz de varianzas y covarianzas sea escalar y, en concreto, la siguiente:

Var(u) = E(uu') = σ² · I.

Distribución normal

u sigue un modelo de probabilidad normal. Considerando, además, que tiene media cero y varianza constante, podemos escribir esta hipótesis como u_i ~ N(0, σ²). Matricialmente, añadiendo la no autocorrelación, podemos escribir u ~ N(0, σ² · I). Es decir, dado que u es la suma de multitud de factores de pequeña magnitud, tiene sentido considerar que sigue un modelo de probabilidad normal.

Hipótesis que deben cumplirse para obtener el estimador β̂ MCO

Observando la expresión del estimador MCO, vemos que su existencia va a depender de la existencia de la matriz (X'X)^-1. Por eso, la única hipótesis que debe cumplir X es ser una matriz no singular, esto es, debe cumplirse que |X'X| ≠ 0. En ese caso, se verifica que el rango de X es igual al número de parámetros del modelo, p(X) = k, y por tanto existe la matriz (X'X)^-1.

Coeficiente de determinación R²

Definición de R²: El coeficiente de determinación se define a partir de la denominada descomposición de la suma de cuadrados:

R² = SCE / SCT ó R² = 1 − (SCR / SCT), siendo:

• SCE = Σ(ŷ_i − ȳ)²: suma de cuadrados explicada por el modelo.
• SCT = Σ(y_i − ȳ)²: suma de cuadrados total.
• SCR = Σe_i²: suma de cuadrados de los residuos.

R² también puede definirse como R² = S²_ŷ / S²_y = 1 − (S²_e / S²_y). Es un coeficiente adimensional que solo puede tomar valores entre 0 y 1. Cuando R² = 0, el modelo ajustado no explica nada de y, el ajuste es nulo y la representatividad del modelo es nula. Cuando la varianza de y se explica totalmente por X, la varianza residual es cero, por tanto no se generan residuos y R² = 1.

Por tanto, el coeficiente de determinación tiene una doble interpretación:

• Como la parte de la varianza de y explicada por X.
• Como medida de la bondad del ajuste realizado.

R² × 100: es el porcentaje de la varianza de y explicado por el modelo, es decir, por las variables independientes.

R² corregido

R̄² corregido: R̄² = 1 − [(SCR / (n − k)) / (SCT / (n − 1))] = 1 − ((n − 1) / (n − k)) · (1 − R²).

El coeficiente de determinación corregido se utiliza para comparar modelos con igual variable dependiente e igual forma funcional. Penaliza la pérdida de grados de libertad al incluir variables independientes adicionales.

Se cumple que R̄² ≤ R²; además, R̄² ∈ (−∞, 1], siendo mejor cuanto más próximo a 1.